平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用(原稿)

平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用
王永洪1
北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081
过平面曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程可表示为12(,)(,)(,)0f x y x y f x y λ+=，其中
(,)x y λ的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的形式联合确定.曲线系方程的
上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解(,)x y λ表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。

用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中
(,)x y λ应具有的形式。

平面二次曲线方程的一般形式是221112*********a x a xy a y a x a y a +++++=，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。

为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程1(,)0f x y =和直线方程2(,)0f x y =为例，这时的曲线系方程为：11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，这个方程经过整理后即是二
次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，
即判断21112212I a a a =-的符号：10I >，曲线为椭圆或圆，10I =，曲线为抛物线，10I <，曲线为双曲线。

有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。

下面说明如何求解过圆锥曲线与直线交点的圆系的方程。

确定平面上一个圆方程需要有3个独立参数，即需要提供3个关于参数的独立方程，而交点坐标能提供两个方程，如上所述，圆系方程表示为11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，其中2(,)0f x y =为直线方程。

尽管根据圆方程中系数的固有的关系提供了两个方程，再根据其他条件补充一个系数方程则圆的方程即可确定，但求解关于系数123,,λλλ的3元一次方程组，还是有很多的不便之处。

针对上述问题，下文将介绍一种做法：先解出以1(,)0f x y =与2(,)0f x y =交点连线作为直径的圆的方程0(,)0g x y =，则过交点的圆系方程即可表示为02(,)(,)0g x y f x y λ+=，其中λ为待定参数，这种解法显然避免了解多元联立方程的过程，只要解出λ，圆方程即可确定。

例1：设曲线3145y x x =
+
，过点612,55P ⎛⎫
⎪⎝⎭作直线l 交曲线于两点,A B ，过,A B 作曲线的两条切线，两条切线交于一点N . (Ⅰ)求证：31
45y x x
=
+
为双曲线. (Ⅱ)若过,A B 和24,55⎛⎫
⎪⎝⎭
的圆与N 的轨迹直线相切，求直线l 的斜率.
（Ⅰ）证法一：
1
作者联系信息：北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，100081.
E-mail ：mt_xxx2007@ .
作正交坐标变换：
))
2:2x x y y x y σ⎧''=+⎪⎪
⎨⎪''=-⎪⎩
，得在新的坐标基下的标准的双曲线方程：22145x y ''-=．这
说明对于线性变换σ，曲线的类型是不会改变的．
证法二： 由于 3134
5lim 4x x x x →∞+
=，031lim 45x x x
→+=∞． 即3
4
y x =
和0x =是曲线的两条渐进线． 由曲线的两条渐近线位置可以进一步确定曲线的两条对称轴，焦点和准线，然后利用双曲线的第二定义验证．
(Ⅱ)解：取正交坐标变换：1(2)5:1(2)5x x y y x y τ****⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，逆变换11(2)5
:1(2)5x x y y x y τ*-*⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
.
曲线方程在新坐标系中为
2
214
x y **-=． 为便于表示，以下取为x oy **坐标系后,x y **用,x y 表示，并且相应坐标也随之取为新坐标系的坐标． (6,0)P ，设过P 直线方程是 (6)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．
1122,,,x y x y 表示的N 坐标为
()2101221
4y y x x y x y -=
-，12
01221
x x y x y x y -=
-．
因为1221126()x y x y k x x -=--，则02
3
x =
，所以N 点轨迹是一条直线． 联立方程： 2
214(6)x y y k x ⎧-=⎪
⎨⎪=-⎩
，消去变量y 得：
2222
11236104k x k x k ⎛⎫--++= ⎪⎝
⎭．
2
122
1214
k x x k +=-
，122614k y y k +=-.
22
2
2
121212122
281
(1)6()3614
k x x y y k x x k x x k k ++=+-++=-
．
以AB 为直径的圆方程形式是：
1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．
过,,(2,0)A B 的圆的方程可表示成待定参数λ的形式：
222
2
222
12328(6)0111444
k k k x x y y kx y k k k k λ-+-++--=---
.
将(2,0)代入圆系方程得 2
214
k k λ=
-
．
因此，圆心坐标为222552,1144k k k k ⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭
.该圆与023x =相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，即
2
2
2
222225525221113444k k k
k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 或
42
28188204
k k -
-=． 解得
k =.
在原坐标系中，直线的斜率是221
k
k -+，将以上结果代入可得最后结果．
例2：过点1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
作直线l 交24y x =于两点A B 、，在抛物线的准线上一点P 使APB ∠最大，已知点P 的
纵坐标是5
2
-，求直线l 的斜率.
解：首先确定当P 点在什么位置时，APB ∠最大，APB ∆的外接圆显然与抛物线的准线是有交点的，一般交点为两个，当相切时有一个，而APB ∠是一个圆周角，其对应的圆心角是圆周角的两倍，APB ∠时，圆心角也最大，而AB 的长为定值，于是圆心到直线AB 距离最小时圆心角最小，此时也是APB ∆外接圆与准线相切的位置，按照这样的分析可知，当APB ∆的外接圆与准线相切时，APB ∠最大.
设直线l 方程为1
2
x my =+
，11(,)A x y ，22(,)B x y .显然0m ≠. 联立方程2412
y x x my ⎧=⎪
⎨=+⎪⎩，得
2420y my --=. 124y y m +=，122y y =-.
21212()141x x m y y m +=++=+，121211
()()22
x x my my =++.
以AB 为直径的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，将上述关系代入整理得
2227
(41)404
x y m x my +-+--
=. 于是过A ，B 两点的圆系方程表示为 22271
(41)4()042x y m x my my x λ+-+--+-+=，
即
2227
(41)(4)02
4
x y m x my λ
λλ+-++--+
-
=.
由于P 点在圆上，于是且准线和圆相切于点P ，则5
(1,)2
P --满足圆方程，且圆心与P 点的纵坐标相
等，即有下列方程：
2
25571(41)(4)0;4224
15(4).22
m m m λλλλ⎧+++++-+-=⎪⎪⎨
⎪-=-⎪⎩ 由以上方程解得
m =
，544m λ=+=±.
直线l 斜率
1k m =
=.
例3：
直线y 和过(0,3)的直线与椭圆2
214x y +=交于四个点，已知该四点共圆，求该圆的半径.
解：设过点(0,3)的直线斜率为k .
记直线y 和过(0,3)的直线l 与椭圆2
214
x y +=的交点分别为
11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .
联立方程22
1
4x y y ⎧+=⎪⎨⎪⎩
，得
2
9104
x -=. 以AB 为直径的圆方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，整理之后得：224
03
x y +-=. 过A ，B 的圆系方程可表示为
224
()03
x y y λ++-
=. 将此方程与直线3y kx =+方程联立，消去参数y 得
2223
(1)(6)303
k x k k x λλ++++
+=. （3-1）
另外，联立方程22
1
43x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得
221
()6804
k x kx +++=.
(3-2).
由于（3-1）（3-2）两式具有相同的解，即过(0,3)的直线与椭圆的交点在过A ，B 的圆上，于是有下列方程：
2
2224;1423
3323.114k
k k k λ=+⎪
⎨+⎪⎪=++⎩
解之得
k =1λ=.
于是圆的方程为224
03
x y y ++-
=
，或22125(()212x y -++=.
.
例4：设抛物线22y x =，在x 轴上有两点()(,0),(,0)0a b ab ≠，过这两个点分别作直线12,l l 交抛物线于A ，
B 和
C ，
D ，已知A 、B 、C 、D 四点共圆，求证：四边形ACDB 外接圆的圆心轨迹是抛物线. 证 设两直线方程分别为：x my a =+，x ny b =+．A ，B 两点得坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ． 联立方程：22y x
x my a
⎧=⎨=+⎩消去x 得2220y my a --=．
以AB 为直径的圆方程是：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=， 或
22222()220x m a x y my a a -++-+-=．
一般地，我们引入参数λ和μ，使得过A ，B ，C ，D 的圆有以下两种表示形式： 22222()2(1)2(1)0
x m a x y m y a a λλλ-+++--++-=
22222()2(1)2(1)0x n b x y n y b b μμμ-+++--++-=．
以上两个方程描述的是同一个圆，于是其对应参数应该相等，即
2222;(1)(1);
2(1)2(1).m a n b m n a a b b λμλμλμ⎧++=++⎪
-=-⎨⎪+-=+-⎩
由以上三式得
222
222
2()()1;2()2()()1.2()b m n a b a b a m n a b a b λμ⎧----=
⎪-⎪
⎨-+-⎪-=⎪-⎩
且 22222212()()12()()b m n a b n a m n a b m
λμ----==--+-． 即 22()[()()()]0m n m n mb na a b +----=．
m n =-或2()()()0m n mb na a b ----=．
事实上，2()()()0m n mb na a b ----≠，若不然，设00(,)x y 是1l ，2l 是交点，
则，00x a m y -=，00
x b
n y -=，代入这个方程得到的结论是2
002y x =，这是与题意相悖的．
所以，
m n =-，1()12a b λ=--+，1
()12
a b μ=-+．
圆心坐标是211,()22a b m m a b +⎛⎫
++- ⎪⎝⎭
，这样圆心轨迹方程即写为
{}2241;()2
1max 2,2.2
y a b
x a b a b x a b ⎧+=++⎪⎪-⎨
+⎪--≥--⎪⎩. 可见这条轨迹是抛物线，证毕．
需要指出的是，由例3和例4可以得到一个结论，若圆锥曲线上的四点共圆，则过其中两个点的直线的斜率与过另外两个点的直线斜率互为相反数，因此，在例4中，还存在另外两组斜率互为相反数的直线。

另外，还有一个有趣的结论，当四点共圆的情况变为三点共圆，这是一种退化情况，可理解为四个点中有两个点重合了，过这两个点的直线即为曲线的切线，如果这个重合的点是固定的，切线斜率为定值，那么过其他两个点的直线斜率与与这条切线斜率互为相反数，也为一个定值。

以上介绍的构造圆系方程的方法也适用于一般的圆锥曲线系方程，这时需要求解方程中待定的2或3个参数。

实际上，无论是两条圆锥曲线相交，还是一条圆锥曲线和一条直线相交，最后都可以归结为后一种情况，因此过公共点的曲线方程的一般式都可以表示为11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，其中1(,)0f x y =为曲线方程，2(,)0f x y =为直线方程，这对于求解三种类型圆锥曲线方程而言已经是一个相当
好的构造形式了。