2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高三(上)第二次月考数学试卷(文科(解析版)

2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.）1．设全集I=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜3}B．{x|x≤﹣2}C．{x|x＜3} D．{x|x＜﹣2}2．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．3．函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．4．若△ABC的三个内角满足tanAtanBtanC＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣76．设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C． D．7．已知α∈（，），a=log3sinα，b=2sinα，c=2cosα（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a8．已知函数f（x）为奇函数，且x＞0时f（x）=2x﹣2，则不等式f（x+1）＜0的解集为（）A．{x|x＜0或1＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞0}C．{x|x＜﹣2或﹣1＜x＜0}D．{x|0＜x＜1或x＞2}9．要得到函数g（x）=2cos（2x+）的图象，只需将f（x）=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为（）A．10 m B．30 m C．10m D．10m11．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时；0＜f（x）＜2；当x∈（0，π）且时，，则函数y=f（x）﹣|tanx|在区间[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A．2 B．4 C．6 D．812．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2﹣a2=bc，•＞0，a=，则b+c的取值范围是（）A．（1，） B．（，）C．（，）D．（，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．14．若曲线y=1+log a x（a＞0且a≠1）在点（1，1）处的切线经过坐标原点，则a=．15．规定一种运算：a⊗b=，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数f（x）=sinx⊗cosx的值域为．16．关于函数f（x）=4sin（2x﹣），（x∈R），有下列命题①若f（x1）=f（x2）=0，则|x1﹣x2|必是π的整数倍；②函数y=f（x）在[﹣，]单调递增；③函数y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称④函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．所有正确命题的序号是．三、计算题17．已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1=0的一个实根，且α是第三象限角．（1）求的值；（2）求cosα+sinα的值．18．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a的最大值为2．（1）求a的值，并求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[，]上的值域．20．已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）．（1）若a=﹣4时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．21．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．22．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.）1．设全集I=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x）}，则A∩B等于（）A．{x|﹣2≤x＜3}B．{x|x≤﹣2}C．{x|x＜3} D．{x|x＜﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵全集I=R，集合A={y|y=x2﹣2}={y|≥﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x）}={x|x＜3}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜3}．故选：A．2．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B3．函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】题目中函数解析式中含有绝对值，须对x﹣1的符号进行讨论，去掉绝对值转化为对数函数考虑，利用对数函数的图象与性质解决．【解答】解：∵当x＞1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（x﹣1），其图象为：∵当x＜1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（1﹣x），其图象为：综合可得，B符合，故选B．4．若△ABC的三个内角满足tanAtanBtanC＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由已知不等式，利用正切函数的单调性确定出A，B，C的范围，即可作出判断．【解答】解：∵△ABC的三个内角满足tanAtanBtanC＞0，∴tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，∴A，B，C都为锐角，则△ABC为锐角三角形，故选：A．5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α+）等于（）A．B．7 C．D．﹣7【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知，则，∴=，故选A．6．设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2 B．﹣ln2 C． D．【考点】简单复合函数的导数．【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．【解答】解：对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y0），则，得或（舍去），得x0=ln2．7．已知α∈（，），a=log3sinα，b=2sinα，c=2cosα（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【考点】不等式比较大小．【分析】由α∈（，），可得，再利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵α∈（，），∴，∴b=2sinα＞2cosα=c＞0＞log3sinα=a．∴b＞c＞a．故选：D．8．已知函数f（x）为奇函数，且x＞0时f（x）=2x﹣2，则不等式f（x+1）＜0的解集为（）A．{x|x＜0或1＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞0}C．{x|x＜﹣2或﹣1＜x＜0}D．{x|0＜x＜1或x＞2}【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数为奇函数求出f（﹣1）=0，再将不等式f（x+1）＜0分成两类加以讨论，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集再求并即可．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，∴f（﹣1）=﹣f（1）=0，且函数f（x）在（﹣∞，0）内是增函数．∴f（x+1）＜0⇔当x+1＞0时，f（x+1）＜0=f（1）或当x+1＜0时，f（x+1）＜0=f（﹣1）根据f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数，得到：0＜x+1＜1或x+1＜﹣1⇒﹣1＜x＜0或x＜﹣2故选：C．9．要得到函数g（x）=2cos（2x+）的图象，只需将f（x）=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由=，即可作出判断．【解答】解：∵=，∴的图象向左平移个单位，，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象．故选C．10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为（）A．10 m B．30 m C．10m D．10m【考点】解三角形的实际应用．【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．【解答】解：如图，依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣105°=30°，由正弦定理知=，∴AC=•sin∠ABC=×=20（m），在Rt△ACD中，AD=•AC=×20=30（m）即旗杆的高度为30m．故选：B．11．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时；0＜f（x）＜2；当x∈（0，π）且时，，则函数y=f（x）﹣|tanx|在区间[﹣2π，2π]上的零点个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断；导数的运算．【分析】根据导数研究函数的单调性，利用函数的奇偶性和周期性，作出两个函数的图象，即可判断函数零点的个数．【解答】解：∵当x∈（0，π）且时，，∴当＜x＜π时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当0＜x＜时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，由y=f（x）﹣|tanx|=0得f（x）=|tanx|，∵f（x）是最小正周期为2π的偶函数，∴作出函数y=f（x）和y=|tanx|在区间[﹣2π，2π]上的图象如图：则两个函数图象有8个交点，即函数数y=f（x）﹣|tanx|在区间[﹣2π，2π]上的零点个数为8个，故选：D．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2﹣a2=bc，•＞0，a=，则b+c的取值范围是（）A．（1，） B．（，）C．（，）D．（，]【考点】余弦定理．【分析】利用已知代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，利用平面向量的运算可得B的范围，利用正弦定理，正弦函数的图象和性质即可得解b+c的取值范围．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA===，∵A是三角形内角，∴A=60°，∵a=，∴=1=，∵•=||•||•cos（π﹣B）＞0，∴可得：cosB＜0，B为钝角，∴b+c=sinB+sin=sinB+cosB=sin（B+30°），∵B∈（90°，120°），可得：B+30°∈，可得：sin（B+30°）∈（，），∴b+c=sin（B+30°）∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是5．【考点】三角函数的最值．【分析】利用二倍角余弦及诱导公式变形，然后换元，再由配方法求得函数的最大值．【解答】解：f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx=﹣2sin2x+6sinx+1．令t=sinx，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y=，∴当t=1时，y有最大值为．故答案为：5．14．若曲线y=1+log a x（a＞0且a≠1）在点（1，1）处的切线经过坐标原点，则a=e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的方程，即可求得a，【解答】解：∵y=1+log a x，∴y′=，∴y′|x=1=，∵曲线y=1+log a x（a＞0且a≠1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣1），∵曲线y=1+log a x（a＞0且a≠1）在点（1，1）处的切线经过坐标原点，∴0﹣1=（0﹣1），∴a=e故答案为e．15．规定一种运算：a⊗b=，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数f（x）=sinx⊗cosx的值域为[﹣1，] ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】先根据题意确定函数f（x）的解析式，再由正余弦函数的图象可得答案．【解答】解：由题意可知f（x）=sinx*cosx=故由正余弦函数的图象可知函数f（x）的值域为：[﹣1，]故答案为：[﹣1，]16．关于函数f（x）=4sin（2x﹣），（x∈R），有下列命题①若f（x1）=f（x2）=0，则|x1﹣x2|必是π的整数倍；②函数y=f（x）在[﹣，]单调递增；③函数y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称④函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．所有正确命题的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正弦型函数的图象和性质，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=4sin（2x﹣），（x∈R），∴①若f（x1）=f（x2）=0，则|x1﹣x2|必是的整数倍，故错误；x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，故②函数y=f（x）在[﹣，]单调递增；故正确；当x=﹣时，2x﹣=﹣，sin（2x﹣）=﹣1≠0，③函数y=f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，而关于直线x=﹣对称，故错误；当x=时，2x﹣=，sin（2x﹣）=1，④函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．故正确；故答案为：②④三、计算题17．已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1=0的一个实根，且α是第三象限角．（1）求的值；（2）求cosα+sinα的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，计算即可．（2）利用同角三角函数的基本关系式，通过解方程求解即可．【解答】解：∵2x2﹣x﹣1=0，∴，∴或tanα=1，又α是第三象限角，…（1）．…（2）∵且α是第三象限角，∴，∴…18．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【考点】圆的参数方程；直线的参数方程．【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．19．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a的最大值为2．（1）求a的值，并求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[，]上的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由条件利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数图象的性质解答．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=g（x）在区间[，]上的值域．【解答】解：（1）y max=2+a+1=2⇒a=﹣1，对称轴：；（2）函数g（x）在区间上的值域为：．20．已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）．（1）若a=﹣4时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，问题转化为f'（x）≤0在区间（1，2）上恒成立，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1），；，，；（2），f（x）在区间（1，2）上单调递减，⇒f'（x）≤0在区间（1，2）上恒成立．21．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．【解答】解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．综上可得：A=或．22．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）对f（x）求导，对导函数中m进行分类讨论，由此得到单调区间．（2）借助（1），对m进行分类讨论，由最大值小于等于0，构造新函数，转化为最值问题．【解答】解：（1）f′（x）=﹣m=若m≤0，则f'（x）＞0（x＞0）恒成立；若m＞0，当f′（x）＞0，解得0＜x＜，当f′（x）＜0，解得x＞，此时f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）综上m≤0，f（x）在（0，+∞）递增；m＞0，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．（2）由（1）知：当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，f（1）=0，显然不成立；当m＞0时，只需f（x）max=f（）=m﹣1﹣lnm，只需m﹣lnm﹣1≤0即可，令g（m）=m﹣lnm﹣1，则g′（m）=1﹣，得函数g（m）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（m）min=g（1）=0，g（m）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，也就是m﹣lnm﹣1≥0对m∈（0，+∞）恒成立，∴m﹣lnm﹣1=0，解得m=1．2017年1月10日。