北师大版初中数学第二章_一元二次方程及其解法_辅导讲义

一元二次方程及其解法·辅导讲义
一、知识要点：
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次
项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2
≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2
()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是
21,240)2b x b ac a
-±=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3. 一元二次方程根的判别式：
关于x 的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .
（2）ac b 42
-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .
（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 4． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x 的一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x =⋅21x x .
二、讲练结合：
【考点一：一元二次方程定义】
例1、下列方程中是一元二次方程的是 （ ）
A 、0322
=-+y x B 、02=++c bx ax C 、22)1(35+=++x x x D 、06522
=+--x x 例2、下列方程中,常数项为零的是（ ）
A .x 2+x =1
B .2x 2－x －12=12
C .2(x 2－1)=3(x －1)
D .2(x 2+1)=x +2
例3、把2(1)(23)52x x x ++=+化成一般形式是 ，它的二次项系数
是 ，一次项系数是 ，常数项是
例4、有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为1-，一次项的系数为3，常数项
为6-，请你写出它的一般形式______________________
例5、（1）在关于x 的方程06)3()3(72=+++--x m x m m 中，当m =_____时，它是一元二
次方程，此时方程的根式 ；
（2）在关于x 的方程中，m ，则01)1()1(2
2=-++-x m x m 是一元二次方程.
【考点二：方程的解】
例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12
例2、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2－14x +48=0的一根, 则这个
三角形的周长为 ( )
A .11
B .17
C .17或19
D .19
例3、已知关于x 的一元二次方程2
0x kx k ++=的一个根是2-，那么k =______.
例4、已知方程2310ax bx --=和2250ax bx +-=,有共同的根1,-a = , b = .
例5、若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1,则a b c ++= ;若有
一个根为1-,则b 与,a c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c = .
例6、已知235x x ++的值为11,则代数式23912x x ++的值为 .
【考点三：根的判别式△= b 2 －4ac 】
例1、若关于y 的一元二次方程ky 2－4y －3=3y +4有实根,则k 的取值范围是 ( )
A .k >－74
B .k ≥－74 且k ≠0
C .k ≥－74
D .k >74
且k ≠0 例2、关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值
可以是m = ，n = .
例3、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例4、关于x 的方程()0212
=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A .10≠≥且m m B .0≥m C .1≠m D .1>m
例5、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。

【考点四：根与系数的关系：韦达定理】
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三
角形的斜边是（ ）
A .3
B .3
C .6
D .6
例2、已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）
（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2
（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大2
例3、一元二次方程x 2－3x －1=0与x 2－x +3=0的所有实数根的和等于___________.
例4、已知3是方程x 2+mx +7=0的一个根,则m =________,另一根为_______.
例5、已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是
___________.
例6、已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则
1112
x x +等于__________.
【考点五：解一元二次方程】
直接开平方法：如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负
常数，便可用直接开平方法来解．如（ax ＋b ）2＝c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，c ≥0）． 例1、解方程()02522=-+
x .
变式1、用直接开平方法解下列一元二次方程
① 0142=-x ② 2)3(2
=-x
③ ()512=-x ④ ()162812
=-x
配方法：将形如x 2＋px ＋q ＝0方程变形为（x ＋m ）2＝n （n ≥0）类型，然后利用直接开平方
来解题。

配方法步骤：①移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另
一边
②配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方（理论依据：等式的基本
性质和完全平方公式）
③直接开平方
例1、解方程4x 2–8x +1=0.
变式1、用配方法解下列方程：
（1）0432=-+x x （2）0362
=+-x x
（3）0542=-+x x （4）04122=--x x
（5）01522
=--x x （ 6）3x 2–4x –1=0
注意：①在使用公式法时，必须首先计算ac b 42-=∆，在判断了方程有根的情况下才可以
继续；②必须特别小心系数的符号，注意符号的运算.
例1、用公式法解下列方程：
（1）3x 2+5(2x+1)=0 （2）0742=-x
（3）1)4(2=+x x （4）02852
=+-x x
（5）03722=+-x x （6）032)22(2=-++-x x
因式分解：若0=⋅b a ，则a ，b 两个因式中必有一个等于0，即a =0或b =0。

方法：把方程整理成“=”右边等于0的形式，然后将“=”左边进行因式分解。

因式分解的方法：①提（看因式有无公因式，如果有公因式，首先提取公因式）
②看（看能否运用公式：))((22b a b a b a -+=-，2222)(b ab a b a +±=±）
③十字相乘法
例1、用指定的方法解下列方程：
（1）0672=+-x x (因式分解法) （2）)15(3)15(2-=-x x (因式分解法)
（3）0)1(2)1(2=-+-x x x (因式分解法) （4）01452=--x x (因式分解法)
（5）025)2(10)2(2=++-+x x （因式分解法）
三、课后练习
1、下列等式中： 224(1)(2)5,1,x x x y -+=+=　22
5100,280x x x -=+= ，
0,=42211221
x x x =++，一元二次方程的个数有( )个 A A 、3 个 B 、4 个 C 、5 个 D 、6 个
2、等腰三角形的两边的长是方程091202
=+-x x 的两个根，则此三角形的周长为 （ ）
C
A 、27
B 、33
C 、27和33
D 、以上都不对 3、方程2
1504
x x ++=的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为( ) C A 、251()22x += B 、2523()416x += C 、2524()24x += D 、2537()24x += 4、若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） B
A ．x 2+3x ﹣2=0
B ．x 2﹣3x +2=0
C ．x 2﹣2x +3=0
D ．x 2+3x +2=0
5、若关于x 的一元二次方程0122
=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是（ ）D Ａ、1k >- B 、1k ≥- C 、10k k ≠＞－且 D 、10k k ≥≠－且
6、关于x 的方程2
5410a x x ---=（）有实数根，则a 满足（ ） A
A 、1a ≥
B 、15a a ≠＞且
C 、15a a ≥≠且
D 、5a ≠ 7、解方程2
3(12x 1)4(12x )=－
－1的最适当的方法是（ ） D A 、直接开平方法；B 、配方法 C 、公式法 D 、因式分解法 8、已知m 1520x ++-=（m-1）x 是一元二次方程，则m ＝ －1
9、已知x =3是方程212x m x 02+=（-3）+的解，则m ＝ 6
19- 10、已知方程2
m x 5x 10+-=（2+1）的一个解是x ＝1，则m ＝ 25- 11、若x =1是一元二次方程ax 2=bx +2的一个根，则a －b 的值为 2
12、若一个三角形的三边长均满足方程2
x 6x 80-+=，则此三角形的周长为 10
13、若方程2210x x --= 的两根分别为1x ，2x ，则1212x x x x +-的值为______3___ 14、已知α，β是方程0422=--x x 的两实根，则3
86αβ++的值为 . 30 15、如果221x +与2425x x --互为相反数,则x 的值为_______ －1或3
2 16、已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若
22124x x +=，则m 的值为 ． －1或－3
17、已知实数a ，b 是方程012=--x x 的两根，求
b
a a
b +的值． －3
18、根据方程的根的情况，求下列方程中未知数的值或范围
（1）a 为何值时，关于x 的一元二次方程2
x 2ax 40+=－有两个相等的实数根? 1±
（2）已知关于x 的方程()2m 1x (12x)m 2++=－，当m 为什么值时：①方程有两个不相等的实数根? ②方程有两个相等的实数根? ③方程没有实数根？
19、用合适的方法解下列方程：
（1）42)2)(1(+=++x x x （2）01432
=--x x
（3）0442=++x x （4）()()2
2132-=+y y
（5）0562=+-x x
（6）22)52()2(+=-x x
（7）2)2)(113(=--x x
（8）04)23(5)23(2=+---x x
（9）4)
2
)(1(13)1(+-=-+x x x x。