山西省吕梁市2018-2019学年高三期末考试数学(文)模拟试题(精品解析)

山西省吕梁市2018-2019学年高三期末考试模拟试题文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则集合（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.
【详解】由一元二次方程的解法化简集合，
或，
，
或，故选B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.
2.复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，利用共轭复数的定义可得结论.
【详解】，
，
所以，故选D.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特
别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：如图补全过的平面，将上半部分切去，所以左视图如C选项，故选C.
考点：三视图
4.已知,则（）
A. B. C. 或1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二倍角公式及同角三角函数关系将化简得，再根据，即可求解.
【详解】∵
又∵
∴
故选D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．
5.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有种不同的结果，这两名同学加入同一个社团的有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是.
故选B.
6.函数的单调递增区间是( )
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正切函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案.
【详解】由题意，函数，
令，解得，
即函数单调递增区间是，故选B.
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，列出相应的
不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.函数是上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是（）
A. 增函数
B. 减函数
C. 先增后减的函数
D. 先减后增的函数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，先由f（x+1）＝﹣f（x）确定函数的周期为2，结合函数的奇偶性与在[﹣1，0]上单调递减，分析可得答案．
【详解】根据题意，∵f（x+1）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴函数的周期是2；
又f（x）在定义域R上是偶函数，在[﹣1，0]上是减函数，
∴函数f（x）在[0，1]上是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数，
∴f（x）在[3，5]上是先减后增的函数；
故选：D．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的周期．
8.已知两点，若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由可以得到在圆，此圆与题设中的圆至少有一个公共点，所以两圆位置关系是相交或相切，利用圆心距小于等于半径之和且大于等于半径之差的绝对值可得的取值范围．
详解：因为，所以点在圆，
又点还在圆，故，
解不等式有，故选B．
点睛：此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”
有：
（1）如果为定点，且动点满足，则动点的轨迹为圆；
（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．
9.函数的图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除；由，排除；由，排除，从而可得结果.
【详解】由，得为偶数，图象关于轴对称，排除；
，排除；
，排除，故选C.
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
10.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形是正三角形，推出关系，通过，求解，然后得到双曲线的方程
【详解】双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形（
为原点），
可得，，即，
解得
双曲线的焦点坐标在轴，所得双曲线的方程为
故选
【点睛】本题考查了双曲线的方程与几何性质，根据题意求出和，继而得到双曲线方程
11.在中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，则=（）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理将原式中边化弦，经化简，可得的值，根据同角三角函数可得，最后根据正弦定理求出，从而求出角C，舍去不合题意的结果即可.
【详解】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，
去分母移项得：，
所以：，所以.
由同角三角函数得：，
由正弦定理，解得所以或（舍）.
故选B.
【点睛】本题考查解三角形以及三角函数恒等变换的公式，要熟练掌握公式之间的互化，由正弦求角度时，注意一题多解的情况，由于本题有角度限制，所以要舍去一个结果.
12.如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：按如图所示作辅助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知
，则在中，，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为，故选D.
考点：球的内接多面体.
【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求，而其他不规则图形的外心，可利用正弦定理来求，若长方体长、宽、高分别为则其体对角线长为长
方体的外接球球心是其体对角线中点，找几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心做这个面的垂线，交点即为球心，棱锥顶点到底面的距离为，且顶点到底面的射影为底面外接圆圆心.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知单位向量的夹角为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得||＝||＝1，再利用两个向量的数量积的运算律求得的值．
【详解】∵，
∴＝22，
故答案为.
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义及运算，属于基础题．
14.某学校共有教师300人，其中中级教师有120人，高级教师与初级教师的人数比为.为了解教师专业发展要求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师72人，则该样本中的高级教师人数为
__________．
【答案】60
【解析】
【分析】
先求出高级教师与初级教师的人数之和，然后根据分层抽样的定义，即可得到结论．
【详解】∵学校共有教师300人，其中中级教师有120人，
∴高级教师与初级教师的人数为300﹣120=180人，
∵抽取的样本中有中级教师72人，
∴设样本人数为n，则，解得n=180，
则抽取的高级教师与初级教师的人数为180﹣72=108，
∵高级教师与初级教师的人数比为5：4．
∴该样本中的高级教师人数为．
故答案为：60
【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
（1）；
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
15.若实数，满足不等式组，则的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】
解：因为实数满足，则表示的为区域内的点到（-1,1）的两点的连线斜率的范围，则可以利用边界点（1,0）（0,0）得到结论。

16.已知函数，函数．若当时，函数与函数的值域的交集非空，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得函数的值域为，然后对分成和两类，讨论函数的值域，使得这两个值域有交集，来求得的取值范围.
【详解】依题意，；
当时, 是减函数，
当时,时单调递减,
，；
当时, 时单调递增, 显然不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为 .
【点睛】本小题考查对数的运算，考查对数函数求值域的方法，考查指数函数的单调性以及值域的取法，属于中档题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
由,当时，；当时，，从而可得出结论；（2）由（1)可得，
==,利用“裂项相消”可求出数列的前项和.
【详解】(1)当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,a n=S n-S n-1
=n2+2n-=2n+1.
当n=1时,也符合上式,
故a n=2n+1.
（2）因为==,
故T n=
==.
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是
根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）
；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18.为了解太原各景点在大众中的熟知度，随机对岁的人群抽样了人，回答问题“太原市有哪几个著名的旅游景点？”，统计结果及频率分布直方图如图表．
（1）分别求出，，，的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
【答案】(1)，，，；(2) 第2组2人，第3组3人，第4组1人；(3)．
【解析】
试题分析：（1）利用“”进行求解；（2）利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；（3）列举基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解．
解题思路:涉及古典概型的概率问题，往往要求正确列举出所有基本事件，找出所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式进行求解．
试题解析：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知,，
，4分
（2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人8分
（3）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1,A2），（A1,B1），（A1,B2），（A1,B3），（A1,C1），
（A2,B1），（A2, B2），（A2,B3），（A2,C1），（B1,B2），（B1,B3），（B1,C1），（B2,B3），（B2,C1），（B3,C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，．10分
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．．12分
考点：1．频率分布表；2．分层抽样；3．古典概型．
19.在梯形中（图1），，，，过、分别作的垂线，垂足分别为、，已知，
，将梯形沿、同侧折起，使得，，得空间几何体（图2）．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
试题分析：（1）连接交于，取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，由已知得
，所以，由线面平行的判定可得BE∥面ACD；．
（2）由已知得，四边形为正方形，可证面，所以，又，进而证明平面，
故面，所以是三棱锥的高，四边形是直角梯形，则由可求体积.
试题解析：（1）证明：连接交于，取的中点，连接，则是的中位线，所以，
由已知得，所以，连接，
又因为面，面，所以面，即面．
（2）解：由已知得，四边形为正方形，且边长为2，则在图2中，，由已知，，可得面，又平面，所以，又，，所以平面，且，所以面，所以是三棱锥的高，四边形是直角梯形，
．
20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）根据椭圆的焦距为,离心率为，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由，可得x1=-2x2，利用韦达定理，化简可得
消去解得，求出k，即可求直线l的方程．
试题解析：
（1）设椭圆方程为，因为，
所以，
所求椭圆方程为.
（2）由题得直线的斜率存在，设直线方程为，
则由得，且.
设，则由得，又，
所以消去解得，
所以直线的方程为.
点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，由得，结合韦达定理即可可解，注意计算的准确性.
21.已知常数项为的函数的导函数为，其中为常数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若在区间（为自然对数的底数）上的最大值为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
（1）根据题意由导函数得到函数的解析式为，故当时，，然后根据导函数的符号判断函数的单调性，从而可求得最大值．（2）求导后得，然后根据和两种情况分别讨论函数的单调性，并进一步求出最大值后进行判断可得的值为．
试题解析：
（1）∴函数的常数项为，
．
当时，，
∴ ，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴当时，有极大值，也为最大值，且．
（2）
①若，则在上是增函数，
，不合题意．
②若，
则当时，单调递增；
当时，单调递减．
∴当时，函数有极大值，也为最大值，且，
令
则
解得，符合题意．
综上.
点睛：
（1）求函数的最值时，需要先求出导函数，然后根据导函数的符号判断出函数的单调性，并结合所给的范围求出最值．若函数在所给的区间内有极值，还需要比较极值与区间端点值的大小才能确定最值．
（2）已知函数在给定区间上的最值求参数值时，一般要用到分类讨论．解题时要根据参数的不同取值来分类讨论，分别判断出函数的单调性，然后根据所给的最值求出参数的值，再判断参数是否符合条件，以求得所要结果．
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（1）求的参数方程；
（2）求直线被截得的弦长．
【答案】(1) 的参数方程为（为参数）;(2) .
【分析】
（Ⅰ）根据圆的极坐标方程，先转化为圆的直角坐标方程；再根据参数方程与直角坐标的关系，求得圆的参数方程。

（Ⅱ）将直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离与垂径定理求得弦长。

【详解】（Ⅰ）因为的极坐标方程为
，
所以的直角坐标方程为，即
，
所以
的参数方程为
（为参数）.
（Ⅱ）因为直线的参数方程为（为参数）， 所以直线的普通方程为，所以圆心到直线的距离
，
所以直线被
截得的弦长为
.
【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的关系，点到直线距离与垂径定理的简单应用，属于中档题。

23.已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且
，求
的最小值．
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）分段去绝对值求解不等式即可； （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得
，再由
，展开利用基本不等式求解即可.
【详解】（Ⅰ）
或 或
,不等式解集为
.
（Ⅱ）
,
又,,
,
,
当且仅当 即时取等号,所以.
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。