高三教学质量检测(二)数学文.doc

试卷类型：A
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表格内;答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

）
1．设函数ln(1)y x =-的定义域为A ，函数2
y x =的值域为B ，则A B =( )．
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．(,1]-∞
D ．(,1)-∞
2．等差数列{}n a 中，1548,7a a a +==，则5a =( )．
A ．3
B ．7
C ．10
D ．11
3．从一个信箱中任取一封信，记一封信的重量为ξ（单位：克），如果(10)0.3p ξ<=，(1030)0.4p ξ≤≤=，则(30)p ξ>=（ ）。

A ．0.2 B ．0.3
C ．0.7
D ．0.8
4．已知x 、y 满足约束条件20
10220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
，则z x y =-的取值范围为（ ）
A ．[]2,1--
B ．[]2,1-
C ．[]1,2-
D ．[]1,2 5．已知5
()lg ,f x x =则(2)f = ( )．
A ．lg 2 B.lg32 C.1
lg
32
D.1lg 25
6．已知,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线。

给出下列命题： ①若m ∥,,n m n αα⊥⊥则 ②若m ∥,,n m αα
β=则∥n
③若,,m m αβα⊥⊥则∥β ④若,,m n m n α⊥⊥则∥α
其中不正确的是（ ）
A ．①②
B ． ②④
C ．①③
D ．②③④
7．函数()sin()(0,,2
f x A x x π
ωϕωϕ=+><
∈部分图象如右图，则函数()f x 的表达式为（ ） A ．()4sin(
)44f x x π
π=+ B ．()4sin()44
f x x ππ
=-
C ．()4sin(
)84f x x π
π=-+ D ．()4sin()84
f x x ππ
=-- 8.设0,0,a b b +<>且则（ ）
A ．22b a ab >>
B ．22b a ab <<-
C ．22a ab b <-<
D ．22
a a
b b >-> 9.过点(1,0)P 的直线与抛物线2
4y x =交于相异两点A 、B ，O 为抛物线顶点，则OA OB = （ ）
A ． 0
B ．1
C ．3
D ．3-
10．定义在R 上可导的函数()y f x =，满足()/
1()0x f x -≤，且函数(1)y f x =+是偶函
数，当1211x x -<-时，有（ ）
A ．12(2)(2)f x f x ->-
B ．12(2)(2)f x f x -=-
C ．12(2)(2)f x f x -<-
D ．12(2)(2)f x f x -≥-
第14题图
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，其中11—13题是必做题，14—15题是选做题.每小题5分，满分20分）
11．已知复数12121,2(),()z i z x i x R z z a a R =+=+∈=∈且，则x =_____，a = . 12．为考察药物A 预防B 疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果试验的列联表：
经计算，随机变量 6.1K =，请利用下表和独立性检验的思想方法，估计有 （用百分数表示）的把握认为“药物A 与可预防疾病B 有关系”。

13．如果一个n 面体有m 个面是直角三角形，那么我们称这个n 面体的“直度”为
m
n
（例如一个五面体共有三个面是直角三角形，我们称这个五面体的“直度”为35
）。

那么所有的四面体“直度”的集合为 。

▲ 选做题：在下面二道小题中选做一题，二题都选只计算前一题的得分.
14．如图，圆的切线PA 的长为4，3PB =，则BC 15．在极坐标系中，过点⎪⎭
⎫
⎝⎛3,2π且与极轴垂直的直线l 的 极坐标方程是_______.
三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）
在三角形ABC
中，sin cos A A +=2,3,tan AB AC A ==求的值和三角形
ABC 的面积。

17、（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，
90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点。

（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB 。

18.（本小题满分14分）
设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。

一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。

设每天的购票人数为x ，盈利额为y 。

（Ⅰ）求y 与x 之间的函数关系；
（Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；
（Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？
注：（Ⅰ）利润=门票收入—固定成本—变动成本；
2.24===。

19．（本小题满分14分）
已知函数x x f ln 6)(=(0)x >和2
()8g x ax x b =+-(a 、b 为常数)的图象在3=x 处有公共切线.
(Ⅰ) 求a 的值；
(Ⅱ) 求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值.
A 1
B 1
C 1
B
A
C
D
第17题图
（Ⅲ）若关于x 的方程()()f x g x =有且只有3个不同的实数解，求b 的取值范围。

20．（本小题满分14分）
设A 、B 分别是直线y y ==和上的两个动点，并且3AB =，动点P 满
足OP OA OB =+。

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若经过点(0,3)Q 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线1
2
x =-
平分，求直线l 的方程。

21．（本小题满分14分）
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按
此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.
(Ⅰ) 试给出(4),(5)f f 的值，并求()f n 的表达式（不要求证明）；
(Ⅱ) 证明：
111
14
(1)(2)(3)
()3
f f f f n ++++
<.
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题参考答案和评分标准（文科）
一、选择题（每题5分，共50分）
二、填空题（每题5分，共20分） 11．2-,4- 12．97.5％ 13．0,1,2,3,44m m ⎧⎫
=⎨
⎬⎩⎭
14．73 15．cos 1ρθ=
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明和演算步骤）
16. 解：由sin cos A A +=
)sin() 1.44
A A ππ
+=+=即 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
（或()2
sin cos 2,sin 21;A A A +==即或利用移项平方消“元”——化同名函数） 又在三角形ABC 中，0,A π<<
∴,424
A A π
π
π
+
=
=。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分
∴tan 1A = ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分
1sin 22
ABC S AB AC A =⋅=。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
17.解：（Ⅰ）证明：∵90,ACB ∠=︒∴AC CB ⊥ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
又在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AC BB ⊥ ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
∴AC ⊥平面
11BB C C ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
（Ⅱ）证明：设1BC 与1B C 交于点P ，连结DP 。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
6分 易知P 是
1BC 的中点，又D 是AB 的中点。

∴1AC ∥DP 。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 ∵DP ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，∴1AC ∥平面1CDB ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 18. 解：（Ⅰ）根据题意，当购票人数不多于100时，可设y 与x 之间的函数关系为
30500y x =-- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，
∴30255000⨯--=，解得50.k = ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅———4分
∴30500(,100),30700(,100).
x x N x y x x N x *
*
⎧-∈≤⎪=⎨-∈>⎪⎩ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
10分
（Ⅲ）设 每张门票价格提高为m 元，根据题意，得
205000m ⨯-≥ ------------------------------------------------------11分
∴2536.2m ≥+≈。

-----------------------------------------------------------------------------------13分 从而，每张门票最少要37元。

-------------------------------------------------------------------------14分 19．解：（Ⅰ）x
x f 6
)(=
',82)(+='ax x g ，根据题意，得)3()3(g f '=' 解得1-=a .
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
3分
（Ⅱ）2
()()()6ln 8F x f x g x x x x b =-=+-+。

令0826
)(=-+=
'x x
x F ，得3,1=x . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ∵10<<x 时，0)(>'x F ，)(x F 单调递增；31<<x 时，0)(<'x F ，)(x F 单调递减；3>x 时，0)(>'x F ，)(x F 单调递增。

∴)(x F 的极大值为(1)7F b =-，)(x F 的极小值为(3)156ln 3F b =-+.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10分
(Ⅲ)根据题意，2
()()()6ln 8F x f x g x x x x b =-=+-+的图象应与x 轴有三个公共
点。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 11分
由（Ⅱ）的结论及()F x 在0x →时()F x →-∞，()F x 在x →+∞时()F x →+∞，知方程()()f x g x =有且只有3个不同的实数解的充要条件为(1)0,
(3)0.
F F >⎧⎨
<⎩
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
13分
解得7156ln3.b <<-┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 14分
20．解：（Ⅰ）设(,)P x y ，因为A 、B
分别为直线y y =
=和
上的点，故可设
1122(),(,)A x B x 。

∵OP OA OB =+
，∴12
12)
x x x y x x =+⎧⎪⎨
=-⎪⎩
∴1212,.x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩
------------------------------------------------4分
又3AB =，∴22
1212()3()3x x x x -++=。

------------------------5分
∴22
1333
y x +=，即曲线C 的方程为2219y x +=。

--------------------7分 (Ⅱ)因为直线l 与直线1
2
x =-相交，不可能垂直x 轴，
故可设直线l 的方程为：3y kx =+。

--------------------------------8分
由22
399
y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，得229(3)9x kx ++=，整理得 22(9)60k x kx ++=。

---------------------------------------------10分
方程有两个不相等的实数根，12260,.9
k
x x k -==+----------------------11分
∵线段MN 恰被直线1
2
x =-平分，
∴122161229
x x k k +-=-=-+即。

-----------------------------------12分
解得3k =。

∴直线l 的方程为33y x =+。

----------------------------14分
（借助于形之间的几何特征进行推导，可相应给分）
21. 解： (Ⅰ) (4)37,(5)61.f f == ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
(Ⅱ)由于(2)(1)716,(3)(2)19726,f f f f -=-=-=-=⨯
(4)(3)371936,(5)(4)613746,
f f f f -=-=⨯-=-=⨯
因此，当2n ≥时，有()(1)6(1),f n f n n --=-
所以()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f n f n f n f n f n f f f =--+---+
+-+
26[(1)(2)21)1331n n n n =-+-+
+++=-+.
又2
(1)131311f ==⨯-⨯+，所以2
()331f n n n =-+. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 （注：直接给出结果也给分）
（Ⅲ）当2k ≥时，
22111111
()()3313331f k k k k k k k
=<=--+--. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 所以
11111111111[(1)()()(1)(2)(3)()32231f f f f n n n
++++<+-+-++-- 1114
1(1)1333
n =+-<+=. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分。