固安县二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

固安县二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 复数的虚部为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣2i
C ．2
D ．2i
2． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
3． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
4． 用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a ，b 不能被5整除
D ．a ，b 有1个不能被5整除
5． 如图甲所示， 三棱锥 的高 ，分别在P ABC -8,3,30PO AC BC ACB ===∠=o
,M N BC
和上，且，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与PO (),203CM x PN x x ==∈
（，N AMC -y 的变化关系，其中正确的是（
）
A ．
B ． C. D ．1111]
6． 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）
,m n ,,αβγA ．若，则,m βαβ⊂⊥m α⊥B ．若，则,//m m n αγ=I
//αβ
C ．若，则,//m m βα⊥αβ⊥
D ．若，则,αγαβ⊥⊥βγ
⊥7． 等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．
±
D ．以上皆非
8． 若三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O 的表面积为（ ）
A ．64π
B ．16π
C ．12π
D ．4π
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 的展开式中，常数项是（ ）6
2
)21(x x -
A ．
B ．
C ．
D ．
45-4516
15-16
15
10．i 是虚数单位，i 2015等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
11．已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a ，a ∈M}，则集合M ∩N=（ ）
A ．{0}
B ．{0，﹣2}
C ．{﹣2，0，2}
D ．{0，2}
12．如图可能是下列哪个函数的图象（
）
A ．y=2x ﹣x 2﹣1
B ．y=
C ．y=（x 2﹣2x ）e x
D ．y=
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，，，记，其中为坐标原点，
(1,1)=-a (1,2)=b {}
(,)|M OM λμλμΩ==+u u u u r
a b O 给出结论如下：
①若，则；
(1,4)(,)λμ-∈Ω1λμ==②对平面任意一点，都存在使得；M ,λμ(,)M λμ∈Ω③若，则表示一条直线；1λ=(,)λμΩ④；
{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=I
⑤若，，且，则表示的一条线段且长度为．0λ≥0μ≥2λμ+=(,)λμΩ其中所有正确结论的序号是
．
14．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．
16．设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题: x R ∈x []x {}[]x x x =-①对任意的，都有恒成立；x 1[]x x x -<≤②若，则方程的实数解为；
(1,3)x ∈{}2
2sin
cos []1x x +=6π-③若（），则数列的前项之和为；
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
n N *∈{}n a 3n 23
1
22n n -
④当时，函数的零点个数为，函数的0100x ≤≤{}2
2
()sin []sin
1f x x x =+-m {}()[]13
x
g x x x =⋅-
-零点个数为，则.
n 100m n +=其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

17．已知函数f （x ）=cosxsinx ，给出下列四个结论：①若f （x 1）=﹣f （x 2），则x 1=﹣x 2；②f （x ）的最小正周期是2π；③f （x ）在区间[﹣
，
]上是增函数；
④f （x ）的图象关于直线x=对称．
其中正确的结论是 ．　
18．已知f （x ）=，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2015（x ）的表达式为
．
三、解答题
19．（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程为，将曲线，（为参数），经过伸缩变
C 2sin cos 10ρθρθ+=1cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩α换后得到曲线．
32x x
y y
'=⎧⎨
'=⎩2C （1）求曲线的参数方程；
2C （2）若点的在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．
M 2C M C 20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，点在上，、的延长线交于点，、交于点，．
,,,A B D E O e ED AB C AD BE F AE EB BC ==（1）证明：；»»DE
BD =（2）若，，求的长．
2DE =4AD =DF
21．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．
（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；
（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥＋.
a b
22．求函数f（x）=﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．
23．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
24．（本小题满分12分）已知函数.
2
()x
f x e ax bx =--（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；0,0a b >=()f x (0,)+∞（2）证明：当，时，.
1b a ==1[,1]2
x ∈()1f x <
固安县二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．
故选；C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，
∴q2=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
故选：D
3．【答案】C
【解析】解：∵﹣2＜0
∴f（﹣2）=0
∴f（f（﹣2））=f（0）
∵0=0
∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2
∵2＞0
∴f（2）=22=4
即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4
故选C．
4．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故应选B．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
5．【答案】A
【解析】
考点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.
6．【答案】C
【解析】
试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C．
考点：空间直线、平面间的位置关系．
7．【答案】C
【解析】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，
∴a3a9=3，
又数列{a n}是等比数列，
则a62=a3a9=3，即a6=±．
故选C
8．【答案】A
【解析】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，
∵SA⊥平面ABC，SA=2
∴球O的半径R=4，
∴球O的表面积S=4πR2=64π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．　
9． 【答案】D
【解析】，2612316611
()()()22
r r r r r r r T C x C x x --+=-
=-令，解得．
1230r -=4r =∴常数项为．4461
15()216
C -=
10．【答案】D
【解析】解：i 2015=i 503×4+3=i 3=﹣i ，故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．　
11．【答案】A
【解析】解：N={x|x=2a ，a ∈M}={﹣2，0，2}，则M ∩N={0}，故选：A
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合N 是解决本题的关键．　
12．【答案】C
【解析】解：A 中，∵y=2x ﹣x 2﹣1，当x 趋向于﹣∞时，函数y=2x 的值趋向于0，y=x 2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x ﹣x 2﹣1的值小于0，∴A 中的函数不满足条件；
B 中，∵y=sinx 是周期函数，∴函数y=的图象是以x 轴为中心的波浪线，
∴B 中的函数不满足条件；
C 中，∵函数y=x 2﹣2x=（x ﹣1）2﹣1，当x ＜0或x ＞2时，y ＞0，当0＜x ＜2时，y ＜0；且y=e x ＞0恒成立，
∴y=（x 2﹣2x ）e x 的图象在x 趋向于﹣∞时，y ＞0，0＜x ＜2时，y ＜0，在x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞；∴C 中的函数满足条件；D 中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x ∈（0，1）时，lnx ＜0，
∴y=
＜0，∴D 中函数不满足条件．
故选：C ．
【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．　
二、填空题
13．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．
由得，∴，①错误；
(1,4)λμ+=-a b 124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩2
1λμ=⎧⎨=⎩
与不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；
a b 记，由得，∴点在过点与平行的直线上，③正确；
OA =u u u r a OM μ=+u u u u r a b AM μ=u u u u r
b M A b 由得，，∵与不共线，∴，∴，∴④
2μλ+=+a b a b (1)(2)λμ-+-=0a b a b 1
2λμ=⎧⎨=⎩
2(1,5)μλ+=+=a b a b 正确；
设，则有，∴，∴且，∴表示的一
(,)M x y 2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩2133
1133x y x y λμ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩260x y -+=(,)λμΩ条线段且线段的两个端点分别为、，其长度为
(2,4)(2,2)-14．【答案】　75
【解析】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，有C 31C 63=60，第二类，若从其他六门中选4门有C 64=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．15．【答案】　84　．
【解析】
解：（x 2﹣）9的二项展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r •x 18﹣
3r ，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T 7===84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．　
16．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然，①是真命题；对于②，由得，
1[]x x x -<≤{}2
2sin
cos []1x x +=，即.当 时，，，此时
{}22sin 1cos []x x =-{}22sin sin []x x =12x <<011x <-<0sin(1)sin1x <-<化为，方程无解；当 时，，，
{}22sin sin []x x =22sin (1)sin 1x -=23x ≤<021x ≤-<0sin(2)sin1x ≤-<此时化为，所以或，即或，所以原方
{}2
2sin
sin []x x =sin(2)sin 2x -=22x -=22x π-+=4x =x π=程无解.故②是假命题；对于③，∵（），∴，，，
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦n N *∈1103a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦2203a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，…，，，所以数列的前项之和4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
{}n a 3n 为，故③是真命题；对于④，由
3[12(1)]n n +++-+=L 231
22
n n -
17．【答案】　③④　．
【解析】解：函数f （x ）=cosxsinx=sin2x ，
对于①，当f （x 1）=﹣f （x 2）时，sin2x 1=﹣sin2x 2=sin （﹣2x 2）
∴2x 1=﹣2x 2+2k π，即x 1+x 2=k π，k ∈Z ，故①错误；
对于②，由函数f （x ）=sin2x 知最小正周期T=π，故②错误；
对于③，令﹣+2π≤2x ≤
+2k π，k ∈Z 得﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z 当k=0时，x ∈[﹣，]，f （x ）是增函数，故③正确；对于④，将x=代入函数f （x ）得，f （
）=﹣为最小值，故f （x ）的图象关于直线x=
对称，④正确．综上，正确的命题是③④．
故答案为：③④．
18．【答案】 ．
【解析】解：由题意f 1（x ）=f （x ）=．
f 2（x ）=f （f 1（x ））=，
f 3（x ）=f （f 2（x ））==，
…
f n+1（x ）=f （f n （x ））=
，
故f 2015（x ）=故答案为：
．　三、解答题
19．【答案】（1）（为参数）；（2.3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
【解析】
试
题解析：
（1）将曲线（为参数），化为1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩
α，由伸缩变换化为，221x y +=32x x y y '=⎧⎨'=⎩1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩代入圆的方程，得到，211132x y ⎛⎫⎛⎫''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22
2:194x y C ''+=可得参数方程为；3cos 2sin x y αα=⎧⎨
=⎩考点：坐标系与参数方程．
20．【答案】
【解析】（1）证明：∵，∴．
EB BC =C BEC ∠=∠∵，∴．
BED BAD ∠=∠C BED BAD ∠=∠=∠∵，，
2EBA C BEC C ∠=∠+∠=∠AE EB =∴，又．
2EAB EBA C ∠=∠=∠C BAD ∠=∠ ∴，∴．
EAD C ∠=∠BAD EAD ∠=∠∴．»»DE
BD =（2）由（1）知，
EAD C FED ∠=∠=∠
∵，∴∽，∴．EAD FDE ∠=∠EAD ∆FED ∆DE AD DF ED
=∵，，∴．
2DE =4AD =1DF =21．【答案】【解析】解：（1）由|x －a |＋|x ＋b |≥|（x －a ）－（x ＋b ）|
＝|a ＋b |得，
当且仅当（x －a ）（x ＋b ）≤0，即－b ≤x ≤a 时，f （x ）取得最小值，
∴当x ∈[－b ，a ]时，f （x ）min ＝|a ＋b |＝a ＋b .
（2）证明：由（1）知a ＋b ＝2，（＋）2＝a ＋b ＋2≤2（a ＋b ）＝4，
a b ab ∴＋≤2，a b ∴f （x ）≥a ＋b ＝2≥＋，a b 即f （x ）≥＋.
a b 22．【答案】
【解析】解：∵
，∴f ′（x ）=x 2﹣4，由f ′（x ）=x 2﹣4=0，得x=2，或x=﹣2，
∵x ∈[0，3]，∴x=2，当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下表：
x 0（0，2）2（2，3）
3f ′（x ）
﹣0+f （x ）4单调递减极小值单调递增1由上表可知，
当x=0时，f （x ）max =f （0）=4，
当x=2时，
．
23．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，
10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，
解得a=0.005．
∴图中a 的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05
=73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
24．【答案】（1）当时，有个公共点，当时，有个公共点，当时，有个公共2(0,)4e a ∈24e a =2
(,)4
e a ∈+∞点；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得,构造函数,利用求出2x e a x =2()x
e h x x
=()'h x 单调性可知在的最小值,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数()h x (0,)+∞2
(2)4
e h =,利用导数可判断的单调性和极值情况,可证明.1
2()1x h x e x x =---()h x ()1f x <试题解析：
当时，有0个公共点；2
(0,)4
e a ∈当，有1个公共点；2
4
e a =当有2个公共点.2
(,)4
e a ∈+∞（2）证明：设，则，
2()1x h x e x x =---'()21x h x e x =--令，则，'()()21x m x h x e x ==--'()2x
m x e =-因为，所以，当时，；在上是减函数，1(,1]2x ∈1[,ln 2)2
x ∈'
()0m x <()m x 1[,ln 2)2
当时，，在上是增函数，(ln 2,1)x ∈'()0m x >()m x (ln 2,1)
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.。