2019年高考试题——数学(江苏卷)原卷版
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绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。
本卷满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式:
样本数据12,,,n x x x …的方差()22
11n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑. 柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 锥体的体积13
V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上.
. 1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{}
0,B x x x R =∈,则A B ⋂=_____.
2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是_____.
3.下图是一个算法流程图,则输出S 的值是_____.
4.函数276y x x =+-的定义域是_____.
5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.
6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2
2
21(0)y x b b -=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_____. 8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是_____. 9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x
=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.
11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是____.
12.如图,在V ABC 中,
D 是BC 的中点,
E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AB AC
的值是_____.
13.已知
tan2
π3 tan
4
α
α
=
-
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
,则
π
sin2
4
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
的值是_____.
14.设(),()
f x
g x是定义在R上的两个周期函数,()
f x的周期为4,()
g x的周期为2,且()
f x是奇函数.当
(0,2]
x∈时,2
()1(1)
f x x
=--,
(2),01
()1
,12
2
k x x
g x
x
+<≤
⎧
⎪
=⎨
-<≤
⎪⎩
,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程()()
f x
g x
=有8个不同的实数根,则k的取值范围是_____.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域
.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=2,cos B=
2
3
,求c的值;
(2)若
sin cos
2
A B
a b
=,求sin()
2
B
π
+的值.
16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.
求证:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为F 1(–1、0), F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点
D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点
E ,连结D
F 1.已知DF 1=52
.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)求点E 的坐标.
18.如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足)
,测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).
(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;
(2)规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;
(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离. 19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈,()f 'x 为f (x )的导函数.
(1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;
(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;
(3)若0,01,1a b c =<=…,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤
427
. 20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列{a n }满足:245132,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;
(2)已知数列{b n }满足:11
1221,
n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }θ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c +剟
成立,求m 的最大值.
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括21、22、23三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答......................若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A (1)求A 2;
(2)求矩阵A 的特征值.
22.
在极坐标系中,已知两点3,
,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭. (1)求A ,B 两点间的距离;
(2)求点B 到直线l 的距离.
23.设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -. 【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L …
.
已知23242a a a =. (1)求n 的值;
(2
)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值.
25.在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,
{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两
个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.
(1)当n=1时,求X的概率分布;
(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).。