山东省淄博市2017届高三3月模拟考试数学理试题含答案

淄博市2016-2017学年度高三模拟考试试题
理科数学
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合{}24A x x =>，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ）。

A ．∅
B ．{}0
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2
2。

已知11x yi i
=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位,则x yi +的共轭复数为( ）。

A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -
3。

下列命题为真命题的是（ ）。

A ．若0x y >>，则ln ln 0x y +>
B ．“4π
ϕ=”是“函数sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件
C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x <成立
D ．已知两个平面,αβ，若两条异面直线,m n 满足,m n αβ⊂⊂且//,//m n βα，则//αβ
4.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 （ ).
A ．53
B ．73
C 。

3 D. 5 5。

已知圆C :22()(2)4(0)x a y a -+-=>，若倾斜角为45°的直线l 过抛物线的212y x =-焦点,且直线l 被圆C
截得的弦长为a 等于 （ )。

A 1
B 2．1 6.下列函数中，既是偶函数,又在区间（1,2）上使减函数的为（ ）。

A ．12
log y x = B ．12y x = C. 222x x
y -+= D 。

2lg 2x y x -=+ 7。

设向量(1,2)OA =-,(,1)OB a =-,(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0,0a b >>，若,,A B C 三点共线，则12a b
+的最小值为（ ）. A ．4 B ．6 C.8 D ．9
8.已知,x y 满足不等式组0,0,,2 4.
x y x y m y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35m ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( ）。

A ．[7，8］ B ．[7,15］ C 。

［6，8］ D ．［6,15］
9.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥内注水,小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切(小球完全浮在水面上方),则小球的表面积等于( ）。

A ．76π
B ．43π C. 23π D ．2
π 10。

如图所示，由直线,1(0)x a x a a ==
+>，2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之
间,即2
221(1)a a x dx a a +<<+⎰。

类比之,若对n N *∀∈，不等式111111 (122121)
A n n n n n n +++<<++++++-恒成立，则实数A 等于（ )。

A ．5ln 2
B ．ln 2
C 。

1ln 22
D ．1ln 52
第Ⅱ卷（共100分)
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11。

执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．
12。

函数()(0,0,)sin()2A f x A x πωϕωϕ=>><+的部分图像如图所示，则()4f π= ．
13.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时,需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有 种．
14.已知A 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点，12,B B 分别为虚轴的两个端点，F 为右焦点，若21B F AB ⊥,则双曲线C 的离心率是 ．
15。

在研究函数22()41240f x x x x =+-+()f x 变形为2222()(0)(02)(6)(02)f x x x =-+----并给出关于函数()f x 以下五个描述：
①函数()f x 的图像是中心对称图形；②函数()f x 的图像是轴对称图形；
③函数()f x 在［0,6]上使增函数；④函数()f x 没有最大值也没有最小值；
⑤无论m 为何实数，关于x 的方程()0f x m -=都有实数根。

其中描述正确的是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
16。

已知函数2()3sin cos sin 1(0)f x x x x ωωωω=-+>相邻两条对称轴之间的距离为
2
π。

（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间;
(Ⅱ）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足3,()1a f A =，求ABC ∆面积S 的最大值.
17. 如图，四棱锥中,90P ABCD ABC BAD -∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆与PAD ∆都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点.
（Ⅰ）求证://AE 平面PCD ；
（Ⅱ)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。

18。

为弘扬传统文化,某校举行诗词大赛.经过层层选拔，最终甲乙两人进入总决赛，争夺冠军。

决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道,两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对,自己得1分；若答错，则对方得1分;④先得3分者获胜。

已知甲、乙答对每道题的概率分别为
23和34
,且每次答题的结果相互独立.
（Ⅰ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；
（Ⅱ）若甲先答题,记乙所得分数为X ,求X 的分布列和数学期望EX 。

19。

数列{}n a 是公差为正数的等差数列，2a 和5a 是方程212270x x -+=的两实数根，{}n b 数列满足113(1)n n n n b na n a -+=--.
（Ⅰ）求n a 与n b ;
(Ⅱ）设n T 为数列的前n 项和,求n T ,并求7n T <时n 的最大值。

20. 设2
()ln (21),f x x x ax a x a R =-+-∈。

(Ⅰ）令()()g x f x '=,求()g x 的单调区间；
(Ⅱ）当0a ≤时,直线(10)y t t =-<<与()f x 的图像有两个交点12(,),(,)A x t B x t ，且12x x <,求证：122x x +<。

21.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>经过点33，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;
（Ⅱ)当0AP AQ •=时，求OPQ ∆面积的最大值；
（Ⅲ)若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点。

淄博市2016—2017 学年度高三模拟考试
理科数学试卷答案
一、选择题
1—5：CBDBD 6-10:ACACB
二、填空题
11. 12； 12. 3; 13.48； 14。

12
； 15。

①③④。

三、解答题
16。

解：（Ⅰ）1cos 21()1sin(2)2262
x f x x x ωπωω-=-+=++. 因为相邻两条对称轴之间的距离为
2π， 所以T π=，即22ππω
=，所以1ω=。

所以1()sin 262f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭. 令3222()26
2k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得22()63
k x k k Z ππππ+≤≤+∈。

所以()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈。

（Ⅱ)由()1f A =得1sin(2)62A π
+=。

因为132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭。

所以5266A π
π+=,3
A π=。

由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
即2222cos
3b c bc π=+-。

所以2232bc b c bc +=+>,解得3bc ≤.
当且b c =仅当时等号成立。

所以11sin 322ABC S bc A ∆=≤⨯= 17。

解:（Ⅰ) 因为90ABC BAD ∠=∠=︒,
2BC AD =，E 是BC 的中点。

所以//AD CE ，
且AD CE =，
四边形ADCE 是平行四边形，所以//AE CD 。

AE ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD
所以//AE 平面PCD 。

（Ⅱ)连接DE BD 、，设AE 交BD 于O ,连PO ,
则四边形ABED 是正方形,所以AE BD ⊥.
因为2PD PB ==，O 是BD 中点，所以PO BD ⊥。

则PO ==2,2==PA OA 。

所以POA ∆是直角三角形,则 AO PO ⊥;
因为O AE BD = ,所以⊥PO 平面ABCD .
如图建立空间坐标系,
则)0,20(),00,2(),200(，，，，B A P -，()()
0,20,00,2-，，D E 。

所以()()()()
00,22,2,20,2,20,20,2，，，，=-=-=-=AE PD PB PA 。

设1111(,,)n x y z =是平面PAB 的法向量，则11111102200220
n PA x z n PB y z ⎧⎧•=-=⎪⎪⇒⎨⎨•==⎪⎪⎩⎩，
取11=x ，则111-==z y ，所以1(1,1,1)n =--。

2222(,,)n x y z =是平面PCD 的法向量,
22222220022000220n PD n PD y z n DC n AE x ⎧⎧⎧•=•=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨•=•==⎪⎪⎪⎩
⎩⎩. 取12=y ,则()1,1,02-=n 。

所以02
30cos 212
121=•=•=n n n n ， 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角是90°.
18. 解：（Ⅰ）分别记“甲、乙回答正确”为事件A B 、,“甲3：0获胜"为事件C ，则2()3P A =,3()4P B =. 由事件的独立性和互斥性得： ()()()()()P C P BAB P B P A P B ==， 121143424
=⨯⨯=。

（Ⅱ)X 的所有可能取值为。

0,1，2,3。

2211(0)()349
P X ==⨯=, 21222311211(1)()()3443349
P X C ==⨯⨯+⨯⨯⨯=， 2211222231123(2)()()()343434P X C C ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯2211261()()343216
+⨯⨯=， 107(3)1(0)(1)(2)216
P X P X P X P X ==-=-=-==。

(或212222213123113231(3)()()()()()34334344343
P X C ==⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
1212222213111107()()()334434216
C C +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=.) X 的分布列为：
1161107467()02=99216216216
E X =⨯⨯+⨯⨯+1+3。

19。

解：（Ⅰ)由1512a a +=， 1527a a =且0d >,得153,9a a ==。

因此5123
a a d -==， 11a =,因此21n a n =+. 13(21)(1)(21)41n n
b n n n n n -=+---=-,
所以1
413n n n b --=。

(Ⅱ）由（Ⅰ）知，1413
n n n b --=, 因此22137114541 (13333)
n n n n n T ----=+++++， 23137114541 (333333)
n n n T n n ---=+++++。

相减得212444413 (33333)
n n n T n --=++++-, 111(1)2414533345133313n n n n T n n ---+=+•-+=--。

因此11545223
n n n T -+=-•. 114(1)545(43)023233n n n n n n n n T T +-+++-+-=-=<••， 因此1n n T T +<,即{}n T 为递增数列.
(或因为14103
n n n b --=
<,即{}n T 为递增数列.) 又3459647,799T T =<=>, 因此7n T <时n 的最大值为3。

20。

解：（Ⅰ）由()ln 22f x x ax a '=-+，
可得()ln 22,(0,)g x x ax a x =-+∈+∞,
则112()2ax g x a x x
-'=-=. 当0a ≤时, (0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增;
当0a >时，1(0,
)2x a ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增;1(,)2x a
∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减; 所以，当0a ≤时,函数()g x 单调递增区间为(0,)+∞;当0a >时,函数()g x 单调递增区间为1(0,)2a
，单调递减区间为1(,)2a +∞. （Ⅱ）由(Ⅰ）知，(1)0f '=。

当0a ≤时, ()f x '是增函数，且当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.
所以()f x 在1x =处取得极小值,且min ()(1)11f x f a ==-≤-，
所以1201x x <<<。

221111111
()(2)()(2)ln (21)f x f x f x f x x x ax a x --=--=-+-21111[(2)ln(2)(2+21)(2)]x x a x a x -------）（
11111ln (2)ln(2)2(x x x x x =-----1）
. 令111111()ln (2)ln(2)2(h x x x x x x =-----1），则()2
111111()ln ln(2)ln (2)ln[]0h x x x x x x '=--=-=-<-1， 于是1()h x 在（0，1）上单调递减，故1()(1)0h x h >=，
由此得21()(2)0f x f x -->即21()(2)f x f x >-。

因为1221,21x x ->>，()f x 在(1,)+∞单调递增，
所以212x x >-即122x x +>. 21. 解:(Ⅰ)由题意知:
且22222141c a a b c a b
⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，
可得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=. (Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设:l x m =，与2
214
x y +=联立得：
((,P m Q m 。

由于0AP AQ •=,得()22
2104m m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭,解得65m =或2m =（舍去）。

此时85PQ =，OPQ ∆的面积为2425。

当直线l 的斜率不存在时，设:l y kx m =+，与2
214
x y +=联立得： ()()222418410k x kmx m +++-=.
由0∆>，得22410k m -+>； 且122841kmx x x k +=+，()()21224141
m x x k -=*+. 由于0AP AQ •=，
得:()()()
2212121212(2)(2)(1)240x x y y k x x km x x m --+=++-+++=. 代入()*式得：22
125160k m km ++=， 即65
m k =-或2m k =（此时直线l 过点A ，舍去）
.
PQ ==， 点O 到直线l
的距离为：d =.
OPQ ∆
,将65m k =-代入得： OPQ ∆
的面积为24242525
<. OPQ ∆面积的最大值为2425。

学必求其心得，业必贵于专精
（Ⅲ)设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程2
214
x y +=得： ()221716410x mx m ++-=①.
设APQ ∆的外接圆方程为：联立直线l 的方程y kx m =+的： ()225(42)0x M D E x m mE F ++++++=②.
方程①②为同解方程，所以:()22411716542m m m D E m mE F
-==++++。

又由于外接圆过点()2,0A ,则24D F +=-。

从而可得到关于,,D E F 的三元一次方程组：
224122173201717D F D E m mE F m ⎧⎪+=-⎪⎪+=⎨⎪⎪+=-⎪⎩,解得：6241731217122017m D m E m F -⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=-⎪⎩
. 代入圆的方程为:22
62431212200171717
m m m x y x y -+++++-=。

整理得：222412203()(24)017171717m x y x y x y +-+-++-=； 所以222412200171717240x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎨⎪+-=⎩，解得3017817x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或20x y =⎧⎨=⎩（舍去). APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭
.。