漫谈正项级数的收敛性及收敛速度

漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
++++=∑∞
=n n n
a a a a
211
称为无穷级数。

当0≥n a 时，此级数称为正项级数。

记
n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。

级数∑∞
=1
n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛
散性来定义。

显然，级数∑∞=1
n n a 时，有0lim =∞
→n n a 。

因此，0lim ≠→∞
n n a 时，必有级数∑∞
=1
n n a 发散。

但是
0lim =∞
→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。

只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞
=1
n n a 才收敛。

可以证明：
几何级数∑∞
=1
n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。

p -级数∑
∞
=11
n p
n
，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

由p -级数∑
∞
=1
1
n p
n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞
=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。

因而，无穷小n 1
是衡量级数∑∞
=1
n n
a 敛散性的一把“尺子”。

可是，这把“尺子”有点粗糙了。

事实上，尽管无穷小
n
n ln 1
趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。

可以证明，级数∑∞
=1ln 1
n p
n
n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

于是，无穷小
n
n ln 1
是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1
时，级数∑∞
=1n n a 发散。

可是，马
上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞
=1ln ln ln 1
n n
n n 仍然发散级
数。

于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。

这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺
子”：n 1
，n n ln 1，
n
n n ln ln ln 1。

这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。

实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。

由几何级数的∑∞
=-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一
项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。

在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达
朗贝尔）判别法和根值（柯西）判别法：若ρ=+∞→n
n n a a 1lim （ρ=∞→n
n n lim ）
，则当1<ρ时，正项级数∑∞
=1n n a 收敛；当1>ρ时，正项级数∑∞
=1
n n a 发散；而当1=ρ时，判别法失效。

这两种判别法具有明显的优
势：仅需要级数自身项的性质，不需要比较级数，使用起来较为方便。

然而它们是基于几何级数的判别敛散性的“尺子”，其精度远比基于p -级数的“尺子”粗糙的多。

事实上，对于∑
∞
=1
1n n ，∑∞
=11n n
，∑∞
=1
21
n n 可计算1=ρ，因此，比值和根值判别法失效。

但是，根据比较判别法和p -级数的敛散性，前两个级数发散，后一个级数收敛。

比值和根值判别法的本质是比较判别法，与之相比较的是几何级数∑∞
=-11n n q 。

在判定级数收敛时，要求级数的通项受到n q （10<<q ）的控制。

而在判定级数发散
时，则是根据其一般项不趋于0。

由于二者相去甚远。

因此判别法在许多情况下都会失效，即便对
p -级数∑
∞
=1
1
n p n 也无能为力。

为了弥补上述比值和根植判别法的局限性，我们有拉阿伯判别法：设r a a n n n n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞→1lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞
=1n n a 发散。

虽然拉阿伯判别法有时可以处理比值和根植判别法失效的级数，如p -级数等，但是对于11lim 1=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→n n n a a n 时，阿伯判别法仍然失效。

例如，对于∑∞
=1ln 1n p n n 成立11lim 1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞
→n n n a a n ，但是由积分判别法可知，∑∞
=1ln 1n p n n 当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

事实上还可以建立比阿伯判别法更有效的判别法，如，Bertrand 判别法：设
r a a n n n n n =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞
→11ln lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞=1n n a 发散。

但是，当1=r 时，该判别法有失效了。

这种逐次建立更有效的判别法的过程是无限的。

每次都能得到新的适用范围更广的
判别法。

下面给出两个与级数收敛性及速度有关的有趣例子。

问题1：曾经有同学向我提出这样一个问题：假设汽车速度1v 快于自行车的速度2v ，而汽车在自行车的后方s ，则显然经过时间2
1v v s
T -=
后，汽车就会追赶上自行车。

但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程s 到达自行车原来所在的位置时，即经过了时间1
1v s
t =
时，自行车又前进了路
程s v v t v s 1
2
121=
=。

当汽车前进路程1s ，即又经过了⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==121112v v v s v s t 时，自行车又前进了路程 s
v v t v s 2
12222⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==，这样一直下去，直观上感觉，汽车总是差一点才能追赶上自行车。

问题
出在哪里呢？事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。

汽车追赶第n 段路程化肥的时间为
1
121-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=n n v v v s t ，此时，汽车与自行车相距路程为s v v s n
n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=12，汽车追赶自行车花费的时间的总和
是一个无穷级数∑∑∞=-∞
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==11
1211n n n n v v v s t t ，它是一个公比)1(1
2
<=
v v q 的几何级数，因此，和为
T v v s v v v s t =-=-=
21121/1/。

所以，经过时间2
1v v s
T -=
后，汽车就会追赶上自行车。

问题2：爬金箍棒的蚂蚁的故事（选自数学趣题与妙解）：这天，孙悟空闲暇无时，他把他的金箍棒变成了10cm 长的小棒，立在地上。

这是一只蚂蚁来到棒的底部，沿着小棒往上爬，孙悟空眼睛一亮，心想“要爬，没那么容易！”只听他叫了一声“变”，地上的棒应声长了起来，眼看越长越高，而那只蚂蚁似乎什么都没有发现，还是慢悠悠地一如既往地往上爬。

如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬，每分钟上升1cm 。

在孙悟空叫变时，已经爬至高1cm 处，此后，棒的各部分每个时刻都是匀速地变长，每经1分钟，棒就增长10cm ，即第一分钟末，高10cm ，第二分钟末，高20cm ，第三分钟末，高30cm ，... 请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗？
不少人会说，由于蚂蚁爬行的速度不变，而棒的长度不停的变长，蚂蚁永远不会爬到棒的顶端。

这样他就忽略了一个事实：由于棒的各部分均匀变长，因而每个时刻，尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的。

第一分钟，蚂蚁爬过了1cm ，为棒高的10
1； 到第二分钟末，棒高伸长为20cm ，而爬过的
1cm ，也变成了2cm ，因而，仍是棒高的10
1 且以后始终保持为棒高的10
1。

如果第一分钟 末到第二分钟末这段时间内，新爬过的部分
没有变长，则第二分钟内爬过的部分是棒高
的201，但实际上，新爬过的部分也在变长，因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高的20
1并且这一小段在以后棒变高的过程中，始终要大于棒高的201。

同理，第三分钟内，蚂蚁爬过的高度大于棒
高的
30
1
，... 。

若棒高为L ，则在第n 分钟末，蚂蚁爬过的高度将大于)131211(10n L ++++ 。

于是，
问题转化为：是否存在n ，使得10131211>++++n 。

这当然可以做到，因为调和级数∞=∑∞
=11
n n
是
发散级数。

A 1
B 1110A 1’B 1’B 2220。