高二数学推理与证明苏教版知识精讲

高二数学推理与证明苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
推理与证明
二. 重点、难点：
教学重点：能用归纳和类比等进行简单的推理，掌握演绎推理的基本格式，并能运用它们进行一些简单推理．了解直接证明与间接证明的基本方法．
教学难点：类比方法的使用．
三. 基础知识与基本方法
1、本章知识结构
2、各种推理的思维模式
（1）归纳推理的思维过程为：实验、观察→概括、推广→猜测一般结论．
（2）类比推理的思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论
（3）演绎推理的思维过程为：大前提：M是P，小前提：S是M，结论：S是P．
（4）所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．
综合法的思维过程：已知可知1可知2…结论”．
（5）所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．
分析法的思维过程：“结论须知1须知2…已知”．
（6）反证法的思维过程
a. 当“结论”的反面只有一个时，这种反证法又叫做归谬法；当“结论”的反面不只一个时，这种反证法又叫做穷举法．
b. 反证法证明问题的一般程序
反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）
结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．（结论成立）
c. 哪些题型宜用反证法
反证法是证明数学命题的一种重要方法，是数学家的一个精良武器．
一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用反证法去证．
其次，否定型命题（命题的结论是“不可能……”，“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……”，“不等于……”，“不具有某种性质”等），唯一性命题，存在性命题，“至少”、“至多”型命题，某些命题的逆命题等都可用反证法去证．
此外，有的肯定式命题，由于已知，或结论涉及到无限个元素，如“无限多个数”，“无穷多交点”，“无限不循环小数”等，因为我们要直接证明无限的情形比较困难，因而也往往采用反证法．
反证法是一种重要的数学证明方法，这是因为有些数学命题采取反证法比较简捷，还有的数学命题至今除了用反证法外还没有找到别的证法．
【典型例题】
例1. 已知0＜a＜1
2，用分析法证明：128
12
a a
+≥
-
．
证明：要证12
812a a +
≥-，由0＜a ＜12
得1－2a>0
所以只要证（1－2a ）＋2a ≥8a （1－2a ）
只要证（1－4a ）2≥0
因为（1－4a ）2≥0成立，所以12
812a a
+
≥-成立．
例2. 已知平面上四个点A （－2，－52
）B （32
，－2）C （1，32
）D （－52
，1），用综合法证明：以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为矩形．
证明：∵A （－2，－52
）B （32
，－2）C （1，32
）D （－52
，1）
∴711771(,),(,),(,)222222
AB BC DC ==-= ∴BC AB
⋅7
117()02
2
22
AB BC =⨯-+⨯=．AB DC = ∴∠ABC ＝90°，ABCD 为平行四边形． ∴A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为矩形．
例3. 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ，S n ，S n －
2
1
成等比数列． （1）求a 2，a 3，a 4，并推出a n 的表达式； （2）并证明所得的结论；
命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识． 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤．采用的方法是归纳、猜想、证明． 错解分析：（2）中，S k ＝－
3
21
-k 应舍去，这一点往往容易被忽视． 技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，2
1为公差的等差数列，进而求得通项公式．
解：∵a n ，S n ，S n －2
1
成等比数列， ∴S n 2＝a n ·（S n －
2
1）（n ≥2） （*） （1）由a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，代入（*）式得：a 2＝－3
2
由a 1＝1，a 2＝－32，S 3＝31＋a 3代入（*）式得：a 3＝－15
2
同理可得：a 4＝－352，由此可推出：a n ＝⎪⎩
⎪
⎨⎧≥---=)2( )12)(32(2
)1( 1n n n n （2）∴由S n 2＝a n ·（S n －
21）（n ≥2）得∴S n 2＝（S n －S n －1）·（S n －2
1
）（n ≥2）
可化为1112n
n S S --=．
a n ＝
2
2
1(21)(32)2
n
n S n n S =
---
（n ≥2）
由①②知，a n ＝⎪⎩
⎪
⎨⎧≥---=)2()12)(32(2
)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立 例4. 已知数列{a n }的通项为a n ＝1＋2＋3＋…n （n ∈N*），数列{b n }是{a n }中被3整除的项由小到大排列而成的数列，求数列{b n }的通项公式．
解：b 1＝a 2， b 2＝a 3 b 3＝a 5， b 4＝a 6 b 5＝a 8， b 6＝a 9 …
由此可见得
b 2n －1＝a 3n －1，b 2n ＝a 3n
令2n －1＝m ，则n ＝
31m ＋2，当n 为奇数时则b n ＝a 312
n +＝3(1)(31)
8n n ++， 令2n ＝m ，则n ＝
m 2， 当n 为偶数时则b n ＝a 32
n ＝3(32)8n n +， 综上得3(1)(31)
,()8
3(32)()8n n n n b n n n ++⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩
为奇数 ，为偶数
例5. 在ABC ∆中，猜想sin sin sin T A B C =++的最大值，并证明之．
证明：法一：
当且仅当cos 12cos()126cos()1412A B C A B C ππ-⎧=⎪⎪⎪
-=⎨⎪
+-⎪
-=⎪⎩
时等号成立，即33A B C A B C ππ⎧⎪=⎪
⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
所以当且仅当3
A B C π
===
时，sin
3
T π
+的最大值为4sin
3
π
所以max 3sin
3
2
T π
==
法二：sin sin sin 2sin
cos 2sin cos 2222
A B A B C C
A B C +-++=+ 当且仅当cos 12
33sin 1sin
22
A B c c -⎧
=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩时等号成立，
所以当且仅当3
A B C π
===
时，sin
3
T π
+的最大值为4sin
3
π
所以max 3sin
3
T π
==
法三：求导数． 令sin
2
c
＝x.则x ∈（0，1） t ＝（1－x 2）（1＋x ）2＝－x 4－2x 3＋2x ＋1.
令t ’＝－4x 3－6x 2＋2＝0＝－（x ＋1）2（2x －1）.得x ＝－1（舍去）或x ＝12
当x<
12时，t ’>0， 当x>1
2
时，t ’< 0. ∴x ＝
12
时，t 达到最大值，即3sin sin sin 4A B C ++=233为最大．
当且仅当1
sin 22
cos 12
c A B ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩时等号成立，
所以当且仅当3
A B C π
===
时，sin
3
T π
+
的最大值为4sin
3
π
所以max 3sin
3
2
T π
==
例6. 如果p>0，q>0且23
3
=+q p ，求证：2≤+q p ． 证法一（综合法）：33q p + ＝2
31
1q 311p 33+++
++∴＝2 又 p>0，q>0 ∴3
11q 311p 33+++
++≥p ＋q ∴p ＋q ≤2 证法二（反证法）：假设p ＋q>2，则p>2－q ，
p>0，q>0， 2q p 33=+ ∴q<2，即2－q>0
∴3233q q 6q 128)q 2(p -+-=->，
∴0)q p (q 6q 128332<+-+- 即0)1q (62<- 这与2)1q (-≥0矛盾．∴假设不成立．∴p ＋q ≤2 证法三（放缩法）：
p 2－pq ＋q 2＝（p ＋q ）2－3pq ≥（p ＋q ）2－34
（p ＋q ）2＝14
（p ＋q ）2
∴8)q p (3≤+ p>0，q>0 ∴p ＋q ≤2 证法四（判别式法）：
设p ＋q ＝a ，则 p>0，q>0， ∴a>0 33q p + ＝2 p ＝a －q 2
22q 3aq 3a 2
)q a (q 3a 2a +-=
--=
∴ 2322q (02a q a 3aq 3=-+-∴系数3a>0），
+∈R q 0)2a (a 12a 934≥--=∆∴即a 24a 34+-≥0 0)8a (a 3≤-∴ )0a (8a 3>≤∴ ∴p ＋q ≤2 证法五（换元法）：由已知p>0，q>0 设p ＝m θ2sin q ＝m θ2cos （0<2
π
θ<
，m>0），
则]2sin 4
3
1[m cos m sin m q p 23636333θθθ-=+=+
0<2
πθ< 12sin 02≤<∴θ 323m 41
)2sin 431(m ≥-∴θ
∴m ≤2，即p ＋q ≤2
变式：如果23
3
=+q p ，求证：2≤+q p ． 证：假设p ＋q>2则 p>2－q ，
p 3>（2－q ）3，
p 3>8－12q ＋6q 2－q 3. p 3＋q 3>8－12q ＋6q 2 （q －1）2<0矛盾．
假设不真，原命题成立．
【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每小题4分共40分）
1. 下列说法正确的是 （ ） A. 类比推理是由特殊到一般的推理
B. 演绎推理是特殊到一般的推理
C. 归纳推理是个别到一般的原理
D. 合情推理可以作为证明的步骤 2. 由“a b >则a c b c +>+”推理到“a b >到ac bc >”是 （ ） A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D. 都不是 3. 猜想数列1111
,,,,13355779
--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 （ ）
A.
()
1
2n n +
B. ()
()
1
12n
n n -+
C. ()
()()
1
1
12123n n n +-++
D. ()
()()
1
1
12121n n n +--+
4. 要证明5273<+可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （ ） A. 综合法 B. 分析法 C. 反证法 D. 归纳法
5. 平面内有n 个点（没有任何三点共线），连接两点所成的线段的条数为 （ ） A.
()112n n + B. ()1
12
n n - C. ()1n n + D. ()1n n -
6. 等式22
2
2
2
574
1232
n n n -++++
+= （ ）
A. n 为任意正整数时都成立
B. 仅当1,2,3n =时成立
C. 4n =时成立，5n =时不成立
D. 仅当4n =时成立
7. 已知1,1x y <<，下列各式成立的是 （ ） A. 2x y x y ++-> B. x y = C. 1xy x y +>+
D. x y =
8. 用反证法证明：“,a b 至少有一个为0”，应假设 （ ） A. ,a b 没有一个为0
B. ,a b 只有一个为0
C. ,a b 至多有一个为0
D. ,a b 两个都为0
9. 编辑一个运算程序：1&1 ＝ 2 ， m & n ＝ k ， m & （n ＋ 1） ＝ k ＋ 2，则 1 & 2006 的输出结果为（ ）
A. 4006
B. 4008
C. 4010
D. 4012
10. 已知+
∈R a ，不等式 ,3x
4x ,2x 1x 2≥+≥+，可推广为,1n x a x n +≥+则a 的值为
（ ）
A. n
2 B. 2
n
C. )
1(22
-n
D. n
n
二. 填空题（每小题4分共16分）
11. 211
122
2n
n
-的值为_____________________.
12. 在等差数列
{}
n a 中，（29n <且*
n N
∈）若200a =，则有
1231239n n a a a a a a a -++++=++
+成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若
201b =，则存在怎样的等式___________________________.
13. 已知()22
x
f x x =+，若()111,n n x x f x +==，则5x ＝_______，猜想n x ＝_______________.
14. 半径为r 的圆的面积S （r ）＝πr 2，周长C （r ）＝2πr ，若将r 看作（0，＋∞）
上的变量，则（πr 2）′＝2πr ○
1， ○
1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数． 对于半径为R 的球，若将R 看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于○
1的式子： ○
2 ②式可以用语言叙述为： ． 三. 解答题
15. （满分14分）如图：在四面体A －BCD 中，AE ⊥平面BCD ，CB ＝CD ，E 是BD 的中点．
求证：AC ⊥BD 16. （满分16分）已知：10<<a ，求证：
9141≥-+a
a （分析法证明） 17. （满分14分）已知()()3
1f x x x x R =--+∈，证明()y f x =是减函数，且满足
()0f x =的x 至多只有一个．
11. 333n 个
12. n 39321n 321b b b b b b b b -⋅⋅=⋅⋅ 13.
13
，
21
n + 14. 32
4(),'()43
V R R V R R ππ==，球的体积函数的导数等于球的表面积的函数． 15. 证明：∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥BD CB ＝CD ，E 是BD 的中点．∴CE ⊥BD ∴BD ⊥平面ACE ∴AC ⊥BD ． 16. 证明：要证
9141≥-+a
a ，由0＜a ＜1得1－a>0 所以只要证（1－a ）＋4a ≥9a （1－a ） 只要证（1－3a ）2≥0 因为（1－3a ）2≥0成立，所以
9141≥-+a
a 成立． 17. 证明：f ′（x ）＝－3x 2－1<0，()y f x =是减函数.
假设满足()0f x =的x 至少有二个，x 1与x 2，则f （x 1）＝ f （x 2）＝0． 不妨设x 1<x 2，则f （x 1）> f （x 2）与f （x 1）＝ f （x 2）＝0矛盾． 所以符合条件的x 至多只有一个．。