异面直线所成角的几种求法

异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。

求A1E和B1F所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线
1 到某个点上。

作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，
连结GH，有GH//A1E。

过F作CD的平行线RS， B1 S 分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。

Q 由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。

E 在△GHS中，设正方体边长为a。

GH=6a（作直线GQ//BC交BB1于点Q， 4B P
连QH，可知△GQH为直角三角形）， HS=6a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形）， 2
26a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。

4
1GS=∴Cos∠GHS=1。

6
1。

6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，
所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用
向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。

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则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），
点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA，向量B1的坐标为（2，1，-1）， 1的坐标为（-1，2，1）所以这两个向量的夹角θ满足
cosθ11=(-1)⨯2+2⨯1+1⨯(-1)
(-1)2+(2)2+(1)2⋅(2)2+(1)2+(-1)2
1 6=-1。

6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为
小结：上述解法中，解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小。

而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角。

当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量的坐标表示来求两个向量的夹角。

如果没有这样的性质，我们也可以利用空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。

例2：已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和
AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。

解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面，
且两两之间的夹角均为60°。

由向量的加法可以得到，其中 11，=-+ =（+）22所以向量AM与向量NC的夹角θ（即角α或者α的补角）满足cosθ11AM·=
（AB+）·（-AD+） 22
111=（-AB·AD+AB·AC+（-AD）·AC+AC·AC） 222
11111=a2（-+-+1）=a2； 22424
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1113（+）·（+）=（1+1+1）a2= a2； 2244
11113||2=（-AD+）·（-AD+）=+1- a2= a2。

44222
2所以cosα=| cosθ|=。

3||2=
例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成的角的大小。

解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。

连结EG、FG，
可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。

由向量的知识可知=+=F E 21+， 33设向量BA和CD的夹角为θ。

则由|EF|2=（
得cosθ=2121BA+CD）·（BA+CD）=4+1+4cosθ=7， 33331，所以AB和CD所成的角为60°。

2
二、利用模型求异面直线所成的角
引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b 与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。

求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。

P 证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，
OB//b，如图所示。

则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，
过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。

可知PB⊥AB。

α所以cosθ1=
所以cosθ= cosθ1·cosθ2。

这一问题中，直线a和b可以是相交直线，也可以是异面直线。

我们不妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角。

很明显，线线角是这三个角中最大的一个角。

我们可以利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。

从引理中可以看出，我们需要过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b在α内的射影。

例4：如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。

M
第 3 页共 4 页 OAABAB，cosθ=，cosθ2=。

PAOAPA
解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，
直线MB与平面ABCD所成的角为45°，
直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°，
所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足
cosθ=cos45°· cos45°=1， 2
所以直线AC与MB所成的角为60°。

例5：如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，
∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。

求异面直线AE与CD所成的角的大小。

解：过E作的平行线EF交AD于F，
由PA⊥底面ABCD可知，直线AE在平面
ABCD内的射影为AD，直线AE与平面ABCD所成的角为∠DAE，其大小为60°，
射影AD与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，
B 所以直线与直线所成的角θ满足
cosθ=cos60°· cos45°=2， 4
所以其大小为arccos2。

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由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到利用线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的介绍，不再重复。

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