2.3 冲量矩与角动量

where P Mvcm
总力矩Total
LO rc P Lcm
z
M O rc FTot M cm
N
torque about
O
x O
cm
i

rc
i Pi , Fi ri
y
1 证明：? rc M mi ri ri rcm i vi vcm vi i 1 LO ri Pi (rcm i ) mi (vc vi) i i M O ri Fi (rcm i ) Fi
12
有心力场中的角动量 Angular
2.3 冲量矩与角动量
Momentum and Central Force
有心力场角动量守恒吗？ 答：力矩为零，所以守恒
L
v r

m
开普勒第二定律——面积定律
dr dr r sin L mvrsin m dt 1 dr r sin dS 2 2m 2m dt dt
2.3 冲量矩与角动量
引言
• Kepler’s Laws
Kepler’s first law
Planetary orbits are ellipses with the sun at one focus. Figure shows the shape and features of an ellipse. Planetary orbits are not as eccentric as the one drawn here, however.
平均角速度Average angular velocity
av
(t t ) (t )
t
O


瞬时角速度Instantaneous angular velocity
d ˆ dt
It is a Vector Direction: right-hand rule Unit: radians per second
T 恒量 3 a
2
T 4 3 a Gme
2 2
4
2.3 冲量矩与角动量
问题的提出：
dS 1 r v dt 2
面积定理成立！！
匀 速 直 线 运 动 • O
动量和动能均发生变化
动量和动能均守恒
5
动量和动能都不是对上述现象做出统一描述的物理量！
2.3 冲量矩与角动量
2.3.1 质点的角动量 角动量守恒定律
v v0 at
2 2 0
(t ) 0 0t t 2 2 0 2 ( 0 )
1 2
2
x x0 v 0 t at
1 2
2
v v 2a( x x0 )
7
v r, at r
2.3 冲量矩与角动量
质点的角动量Angular momentum of a point mass
质点的角动量定理：质点对某固定参考点的角动量的变 化率等于质点所受合力对同一参考点的力矩。
Mdt dL (微分形式) t L Mdt dL L L0
t0 L0
(积分形式)

t
t0
Mdt 称合力矩在 t0 t 时间内的角冲量或冲量矩。
11
2.3 冲量矩与角动量
求证201010202010mvmvmvmvmvmvmvmv小球速度增加3倍动能增加23冲量矩与角动量水平方向无外力动量守恒mvmvsincossinsincossinsincos23冲量矩与角动量411质量为m长为l的船浮在静止的水面上船上有一质量为m的人开始时人与船也相对静止然后人以相对于船的速度u从船尾走到船头当人走到船头后人就站在船头上经长时间后人与船又都静止下来了
动能定理：
r0
v0
r1
F 1 2 1 2 A mv1 mv0 2 2 2 r 2 1 2 r0 1 2 1 2 0 A mv0 mv0 mv0 1 r 2 r 2 2 1 1
15
2.3 冲量矩与角动量
L0 dS 1 r v dt 2 2m
2
2.3 冲量矩与角动量
Kepler’s third law The period of the orbit to the second power is equal to the semi-major axis to the third. The period must be in years and the semi-major axis in astronomical units for this formula to work
m2
v0

R
o m 1
v
m2v0 r0 sin m2vR 1 Gm1m2 1 Gm1m2 2 2 m2 v0 m2 v 2 r0 2 R r0 4R
1 3Gm1 12 sin (1 ) 2 4 2 Rv 0
r0 4 R
3Gm1 12 v v0 (1 ) 2 2 Rv 0
6
2.3 冲量矩与角动量
角加速度Angular Acceleration
d d ˆ 2 dt dt
2

2 dv d r a 2 dt dt
Constant angular acceleration Linear motion expression
0 t
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2.3 冲量矩与角动量
例 1 质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管， 使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球一速度v0 绕管心作半径为r0的圆周运动，然后向下拉绳子，使小 球运动半径变为r1。求小球的速度以及外力所作的功。 解： 角动量守恒
v0
r0 mv0 r0 mvr v v0 1 r1
3
2.3 冲量矩与角动量
开普勒定律
1、行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点 上。行星轨道的偏心率都比较小，很接近圆。
2、对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在 相等的时间内扫过相等的面积。——面积定律
dS 1 L0 r v dt 2 2m
3、行星绕太阳运动周期T的平方和椭圆轨道的半长轴a的立 方成正比，即：
T 4 3 a Gme
2 2
Kepler's second and third laws can be stated in ordinary language as: •Planets move faster near perihelion than near aphelion •Planets that are close to the sun orbit faster than more distant planets.
Ly zmvx xmvz Lz xmvy ymvx
Kinetic energy
x px
y py
k z pz
L x , Ly , Lz 即质点关于三个坐标轴的角动量。
1 2 1 2 Ek mv J 2 2
9
2.3 冲量矩与角动量
质点的角动量定理
d( mv ) d( mv ) 由 F r F r dt dt =0 dL d( r mv ) d( mv ) dr r mv dt dt dt dt dL r F dt
Linear momentum
p mv
Angular momentum
O
L
mv
r

2 L r p r mv mreff
Magnitude ：L rmv sin
m r O r
v
m
Direction: right-hand rule v
x
O
M ij ri f ij rj f ji ( ri rj ) f ij rij f ij 0
f ij i rij ri
O
质点系内力矩的矢量和为零。
rj
j
f ji
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2.3 冲量矩与角动量
质点系角动量守恒定律Angular momentum conservation of systems
Johannes Kepler (1571 - 1630)
地球轨道的偏心率为0.0167
1
2.3 冲量矩与角动量
开普勒第二定律Kepler’s second law The line joining a planet to the sun sweeps out equal amounts of area in equal amounts of time. Figure 2 shows this area. If the time interval is equal on both sides, the green area will equal the blue area.
i •质点系的总力矩
2.3 冲量矩与角动量
L ri mvi Li
dLi M i ri Fi dt
i
Total angular momentum and torque
z cm
i Pi , Fi ri
y
dL M Mi dt •质点系的内力矩 i
质点角动量守恒定律Angular
dL M dt dL 若 M 0， 则 0， L L0 (恒矢量) dt
Momentum Conservation
各分量具有独立性：
M x 0 时， Lx C1
M y 0 时， Ly C2
M z 0 时， Lz C3
[例2-30] 将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形碗的内面 水平地投射, 碗保持静止, 如图, 设 v0 是质点恰好能达到 碗口所需的初速率. (1) 试说明质点为什么能到达碗口? (2) 求 v0 与 0 的关系。 (0 是质点的初始角位置) z 解：(1) 当 Ncos > mg 时，质点将 向上加速，向碗口运动。
dS L0 (常量) dt 2m
13
2.3 冲量矩与角动量
[例2-12] 发射宇宙飞船去考察一质量为 m1、半径为 R 的行 星，当飞船静止于距行星中心 4R 处时，以速度 发射一 质量为 m2 (m2远小于飞船质量)的仪器, 要使仪器恰好掠着 行星的表面着陆，θ 角应是多少? 着陆滑行初速度 v 多大? 解： 有心力场中, 运用角 动量守恒和(m1 , m2 )系 统机械能守恒定律：
(2) M 0 质点的角动量不守恒。
N v 0
mg
但 Mz=0，则 Lz=常数，且系统的机械能守恒。
mv0 r sin 0 mvr 2 gr v0 1 2 1 2 cos 0 mv0 mgr cos 0 mv 2 2
END 16
2.3.2 质点系的角动量定理与角动量守恒定律 •质点系的总角动量
Rotational inertia: J=mre2
Pi 0 ,
i
Li 2rmv
i
8
2.3 冲量矩与角动量
L r p r mv J Cartesian components： Lrp Lx ymvz zmv y i j
If
M Mi ri Fi 0,
i
Then
L Li L0
i
i
——质点系角动量守恒定律
dL ri Fi M dt i
质点系的角动量定理
18
2.3 冲量矩与角动量
参考点的作用与质心系的转动The Role of the Reference Point 质点系对参考点O的总角动量Angular momentum about O
定义合力对参考点O的力矩Torque：
M r F
M
O
r
Lever arm

F
M Fd Fr sin
d
10
2.3 冲量矩与角动量
Equation for Rotatiodt M
dt
Dynamical equation of rotation