【单元练】深圳公明阳光学校九年级数学下册第二十六章《反比例函数》经典练习题(含答案)

一、选择题
1．正比例函数1y 的图像与反比例函数2y 的图像相交于点(2,4)A ，下列说法正确的是（ ）
A ．反比例函数2y 的解析式是28y x
=-
B ．两个函数图像的另一个交点坐标为(2,4)
C ．当2x <-或02x <<时，12y y <
D ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的
增大而增大C 解析：C 【分析】
由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可分别进行判断求解，即可得出结论． 【详解】
解：∵正比例函数y 1的图象与反比例函数y 2的图象相交于点A （2，4），
∴正比例函数12y x =，反比例函数28y x
=， ∴两个函数图象的另一个交点为（−2，−4）， ∴A ，B 选项错误；
∵正比例函数12y x =中，y 随x 的增大而增大， 反比例函数28
y x
=中，在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴D 选项错误；
∵当x ＜−2或0＜x ＜2时，y 1＜y 2， ∴选项C 正确； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键． 2．已知反比例函数1
3y x
=-
，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象必经过点11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．y 随x 的增大而增大
C ．图象在第二、四象限内
D ．若1x >，则1
03
y -
<<B 解析：B 【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积＝k ，可以判断出A 的正误；根据反比例函数的性质：k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增
大而增大可判断出B 、C 、D 的正误． 【详解】
A 选项：将1x =-代入得13y =故过11,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，故A 正确；
B 选项：1
03
k =-<，故在每个象限内y 随x 的增大而增大，故B 错误； C 选项：1
03
k =-
<，故图象过二、四象限，故C 正确； D 选项：若1x >，则1
03
y -<<，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是熟练掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y ＝
k
x
（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 3．反比例函数y ＝k
x
的图象经过点A （﹣2，3），则此图象一定经过下列哪个点（ ） A ．（3，2） B ．（﹣3，﹣2）
C ．（﹣3，2）
D ．（﹣2，﹣3）C
解析：C 【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】
解：∵反比例函数y ＝k
x
的图象经过点A （﹣2，3）， ∴k ＝﹣2×3＝﹣6，
将四个选项代入反比例函数y ＝k
x
的解析式，只有C 选项符合题意， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据A 点的坐标求出k 值．
4．已知反比例函数2
y -x
=，点A （a-b ，2），B （a-c ，3）在这个函数图象上，下列对于a ，b ，c 的大小判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a
D ．b ＜c ＜a B
解析：B 【分析】
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到2（a-b ）=-2，3（a-c ）=-2，则a-b=-1＜0，a-c=-
2
3
＜0，再消去a 得到-b+c=-13＜0，然后比较a 、b 、c 的大小关系．
【详解】
∵点A （a-b ，2），B （a-c ，3）在函数2
y -x
=的图象上， ∴2（a-b ）=-2，3（a-c ）=-2， ∴a-b=-1＜0，a-c=-2
3
＜0， ∴a ＜b ，a ＜c ，
∵-b+c=-
1
3
＜0， ∴c ＜b ， ∴a ＜c ＜b ． 故选B ． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k
x
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．
5．在反比例函数13m
y x
-=
图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，120x x <<，12y y <，则m 的取值范围是（ ）
A ．13
m >
B ．1
3
m <
C ．13
m ≥
D ．13
m ≤
A 解析：A 【分析】
根据反比例函数的图象与性质，可得该反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，从而可确定1-3m 的取值，进而求出m 的取值范围． 【详解】
解：∵120x x <<时，12y y <， ∴反比例函数图象位于第二、四象限， ∴1-3m ＜0， 解得：13
m >， 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正
半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=k
x
（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值
为（）
A．4 B．22C．2 D．2A
解析：A
【解析】
【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=22，BD=AD=CD=2，再利用AC⊥x轴得到C（2，22），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】作BD⊥AC于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=2AB=22，
∴BD=AD=CD=2，
∵AC⊥x轴，
∴C（2，22），
把C（2，22）代入y=k
x
得k=2×22=4，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反
比例函数y=k
x
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是
定值k，即xy=k是解题的关键.
7．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴
的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝k
x
的图象上，OA＝1，OC＝6，则正
方形ADEF的边长为( )
A．1.5 B．1.8 C．2 D．无法求C
解析：C
【分析】
根据OA、OC的长度，可得反比例函数的比例系数k=6，设正方形ADEF的边长为x，则OD DE=(1x)x=6
⋅+⋅，解得x即为正方形的边长．
【详解】
解：根据OA=1，OC=6，可得反比例函数的比例系数k=OA OC=6
⋅，
设正方形ADEF的边长为x，
则OD=OA+AD=1+x，DE=x，
则OD DE=(1x)x=6
⋅+⋅，解得：x=2或-3（舍），
故选：C．
【点睛】
本题主要考察了反比例函数与几何图形的综合、解一元二次函数，解题的关键在于根据图形求出反比例函数的比例系数k．
8．如图，函数
k
y
x
=-与1
y kx
=+（0
k≠）在同一平面直角坐标系中的图像大致（）
A．B．
C．D．B
解析：B
【分析】
分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】
解：当k ＞0时，函数1y kx =+的图象经过一、二、三象限，反比例函数k
y x
=-的图象分布在二、四象限，没有选项符合题意；
当0k <时，函数1y kx =+的图象经过一、二、四象限，反比例函数k
y x
=-的图象分布在一、三象限，B 选项正确， 故选：B. 【点睛】
考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k
y x x
=
>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()1
0y x x
=
>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）
A ．不变
B ．逐渐变大
C ．逐渐变小
D ．先变大后变小A
解析：A 【分析】
根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S COF S = 1
2
=
，则四边形OFAE 的面积为定值1k -． 【详解】 ∵点A 是函数(0k
y x x
=>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，
∴矩形ACOB 的面积为k ， ∵点E 、F 在函数1
y x
=的图象上， ∴BOE S
COF S
= 12
=
， ∴四边形OFAE 的面积11
122
k k =-
-=-，
故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．
10．如图，直线y ＝x +2与y 轴交于点A ，与直线y ＝﹣3x +10交于点B ，P 是线段AB 的中点，已知反比例函数y ＝
k
x
的图象经过点P ，则k 的值为( )
A ．1
B ．3
C ．6
D ．8B
解析：B 【分析】
先求出直线y ＝x +2与坐标轴的交点A 坐标，再由两条直线解析式构成方程组，解方程组求得B 点坐标，进而求得中点P 的坐标，问题就迎刃而解了． 【详解】
解：直线y ＝x +2中，令x ＝0，得y ＝2， ∴A (0，2)，
解2310y x y x =+⎧⎨=-+⎩得24x y =⎧⎨=⎩，
∴B (2，4)，
∵P 是线段AB 的中点， ∴P (1，3)，
把(1,3)P 代入k
y x
=中，得3k =， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了两条直线的相交问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法．本题的关键是求出P 点坐标．
二、填空题
11．若点()()125,,
3,A y B y --在反比例函数3y x
=的图象上，则12,
y y ，的大小关系
是_________．【分析】根据反比例函数的性质解答【详解】∵反比例函数中∴
此函数图象的两个分支分别位于一三象限并且在每一象限内随的增大而减小这两点都在反比例函数的图象上在第三象限故答案为：【点睛】此题考查反比例函数的 解析：21y y <
【分析】
根据反比例函数的性质解答． 【详解】 ∵反比例函数3
y x
=
中30k =>， ∴此函数图象的两个分支分别位于一三象限，并且在每一象限内，y 随x 的增大而减小．
()()125,,3,A y B y --这两点都在反比例函数3y x
=的图象上， A B ∴、在第三象限，
21y y ∴<，
故答案为：21y y <． 【点睛】
此题考查反比例函数的性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别位于一三象限，并且在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y 随x 的增大而增大． 12．如果反比例函数2
k y x
-=
的图像在第二、四象限内，那么k 的取值范围是______．k ＜2【分析】由反比例函数的图象位于第二四象限得出k-2＜0即可得出结果【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二四象限∴k-2＜0∴k ＜2故答案为：k ＜2【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟
解析：k ＜2． 【分析】
由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出k-2＜0，即可得出结果． 【详解】
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k-2＜0， ∴k ＜2， 故答案为：k ＜2． 【点睛】
本题考查了反比例函数的图象以及性质；熟练掌握反比例函数的图象和性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
13．如图，已知正比例函数11(0)y k x k =≠与反比例函数2
2(0)k y k x
=≠的图像交于两点M ，N ，若点N 的坐标是(1,2)--，则点M 的坐标为________
（12）【分析】直接利用正比例函数与反
比例函数的性质得出MN 两点关于原点对称进而得出答案【详解】解：∵正比例函数y ＝k1x （k1≠0）与反比例函数y ＝（k2≠0）的图象交于MN 两点∴MN 两点关于原点
解析：（1，2） 【分析】
直接利用正比例函数与反比例函数的性质得出M ，N 两点关于原点对称，进而得出答案． 【详解】
解：∵正比例函数y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数y ＝2
k x
（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点， ∴M ，N 两点关于原点对称， ∵点N 的坐标是（﹣1，﹣2）， ∴点M 的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点睛】
此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出M ，N 两点位置关系是解题关键．
14．如果反比例函数2
y x
=
的图象经过点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 且1230x x x <<<，请比较1y 、2y 、3y 的大小为__________．【分析】根据题意和反比
例函数的性质可以得到y1y2y3的大小关系从而可以解答本题【详解】解：∵反比例函数∴在每个象限内y 随x 的增大而减小当x ＜0时y ＜0当x ＞0时y ＞0∵反比例函数的图象经过点A （x 解析：213y y y <<
【分析】
根据题意和反比例函数的性质，可以得到y 1，y 2，y 3的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】
解：∵反比例函数2y x
=
∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y ＜0，当x ＞0时，y ＞0， ∵反比例函数2
y x
=
的图象经过点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），且1230x x x <<<，
∴213y y y <<，
故答案为：213y y y <<． 【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
15．已知点(,7)M a 在反比例函数21
y x
=
的图象上，则a=______．3【分析】把点代入反比例函数解析式求解即可【详解】解：∵点在反比例函数的图象上∴解得故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数上点的坐标特征掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键
解析：3 【分析】
把点(,7)M a 代入反比例函数解析式，求解即可． 【详解】
解：∵点(,7)M a 在反比例函数21
y x
=
的图象上， ∴21
7a
=
，解得3a =， 故答案为：3． 【点睛】
本题考查反比例函数上点的坐标特征，掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 16．如图，过x 轴正半轴上任意一点P 作x 轴的垂线，分别与反比例函数24y x
=
和12y x =
的图象交于点A 和点B .若点C 是y 轴上任意一点，则ABC 的面积为______________．
1【分析】设线段OP=x则可求出APBP再根据三
角形的面积公式得出△ABC的面积=AB×OP代入数值计算即可【详解】解：设线段OP=x则PB=AP=∵AB=AP-BP=-=∴S△ABC=AB×OP=
解析：1
【分析】
设线段OP=x，则可求出AP、BP，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积=1
2
AB×OP，
代入数值计算即可．【详解】
解：设线段OP=x，则PB=2
x
，AP=
4
x
，
∵AB=AP-BP=4
x
-
2
x
=
2
x
，
∴S△ABC=1
2
AB×OP
=1
2
×
2
x
×x
=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查反比例函数的k的几何意义，三角形的面积公式，解题的关键是表示出线段OP、BP、AP的长度，难度一般．
17．点A(a，b)是一次函数y=2x-3与反比例函数
9
y
x
的交点，则2a2b-ab2=_____．27
【分析】根据点A(ab)是一次函数y=2x-3与反比例函数的交点将点代入函数解析式得出等量关系再将因式分解即可求算答案【详解】∵点A(ab)是一次函数y=2x-3与反比例函数的交点将点代入解析式
解析：27 【分析】
根据点A(a ，b)是一次函数y=2x-3与反比例函数9
y x
=
的交点，将点代入函数解析式得出等量关系，再将222a b ab -因式分解即可求算答案． 【详解】
∵点A(a ，b)是一次函数y=2x-3与反比例函数9
y x
=
的交点，将点代入解析式得： 23,9b a ab =-=
又∵()2
2
2=2a b ab ab a b --
∴()2=93=27ab a b - 故答案为：27 【点睛】
本题考查函数交点的意义，将所求式子因式分解再利用整体思想求算是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为20，点B 在y 轴上，点C 在反比函数k
y x
=
的图像上，则k 的值为________． -10【分析】连接AC 交OB 于点D 根据菱形的性质可得
出SOCD ＝×20＝5再根据反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值由点C 在第二象限即可确定k 的值【详解】连接AC 交OB 于点D 如图所示∵四边形OAB
解析：-10 【分析】
连接AC 交OB 于点D ，根据菱形的性质可得出S OCD ＝
1
4
×20＝5，再根据反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，由点C 在第二象限，即可确定k 的值． 【详解】
连接AC 交OB 于点D ，如图所示． ∵四边形OABC 为菱形， ∴AC ⊥OB ，
∵菱形OABC 的面积为20， ∴S OCD ＝
1
4
×20＝5． ∵点C 在反比例函数k
y x
=
的图象上，CD ⊥y 轴， ∴S OCD ＝
1
2
|k|＝5， 解得：k ＝±10．
∵点C 在第二象限， ∴k ＝−10． 故答案为：-10．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何以及菱形的性质，根据菱形的性质找出S OCD ＝1
4
×20＝5是解题的关键．
19．点(),A a b 是一次函数3y x =-+与反比例函数2y x =
的交点，则11
a b
+的值__________．【分析】联立两函数构成方程组解方程组即可【详解】解：由解得
或或故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标解题的关键是学会利用方程组求两个函数的交点坐标属于基础题
解析：3
2
【分析】
联立两函数构成方程组，解方程组即可． 【详解】
解：由23
y x
y x ⎧
=
⎪⎨⎪=-+⎩解得12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩， ()1,2A ∴或()2,1，
113
2
a b ∴+=，
故答案为：3
2
．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是学会利用方程组求两个函数的交点坐标，属于基础题．
20．若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线y＝1
2x
上，点B在直线y＝x+6上，设点
A的坐标为(a，b)，则a b
b a
+＝_____．70【分析】根据点关于y轴对称的特点写出B
点坐标再把两点坐标分别代入所求关系式即可解答【详解】解：根据点A在双曲线y＝上得到2ab＝1即ab＝根据AB两点关于y轴对称得到点B（﹣ab）根据点B在直线
解析：70
【分析】
根据点关于y轴对称的特点写出B点坐标，再把两点坐标分别代入所求关系式即可解答．【详解】
解：根据点A在双曲线y＝1
2x
上，得到2ab＝1，即ab＝
1
2
，
根据A、B两点关于y轴对称，得到点B（﹣a，b）．根据点B在直线y＝x+6上，得到a+b＝6，
∴
22
a b a b
b a ab
+ +=
＝
2
()2 a b ab
ab
+-
＝
2
1 62
2
1
2
-⨯
＝361 1 2
-
＝70．
故答案为：70．
【点睛】
此题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，能够根据解析式求得点的坐标之间的关系式；熟悉两个点关于y轴对称的点的坐标关系：纵坐标不变，横坐标互为相反数；能够把要求的代数式变成和或积的形式．
三、解答题
21．如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数()0m
y m x
=≠的图象相交于点()1,2A ，(),1B a -．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）若直线()0y kx b k =+≠与x 轴交于点C ，x 轴上是否存在一点P ，使6APC
S =？
若存在，请求出点P 坐标；若不存在，说明理由． 解析：（1）2
y x
=；1y x =+；（2）存在；()5,0或()7,0-． 【分析】
（1）把点A （1，2）代入m
y x
=得到反比例函数的解析式为2y x =；求出2a =-，把点
A （1，2），
B （−2，−1）代入y ＝kx ＋b 得到一次函数的解析式为y ＝x ＋1； （2）求出
C （−1，0），设P （x ，0），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】
解：（1）把点()1,2A 代入m y x
=，得21m =，
∴2m =，
∴反比例函数的解析式为2
y x
=； 把(),1B a -代入2
y x
=得，2a =-， ∴()2,1B --，
把点()1,2A ，()2,1B --代入
y kx b =+得2
21k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：1
1k b =⎧⎨=⎩
，
∴一次函数的解析式为：1y x =+． （2）当0y =时，01x =+， 解得：1x =-， ∴()1,0C -，
设(),0P
x ，
∴1
1262
APC S x =
⨯+⨯=△， ∴5x =或7x =-，
∴()5,0或()7,0-． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积计算，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 22．如图，一次函数3y x =-+的图像与反比例函数(0)k
y k x
=
≠在第一象限的图像交于()1,A a 和B 两点，与x 轴交于点C ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出另一个交点B 的坐标，并直接写出当0x >时，不等式3k
x x
-+<的解集； （3）若点P 在x 轴上，且APC △的面积为5，求点P 的坐标． 解析：（1）y ＝2
x
；（2）B （2，1），0＜x ＜1或x ＞2；（3）（﹣2，0）或（8，0） 【分析】
（1）先把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3中求出a 得到A （1，2）然后把A 点坐标代入y ＝k x
中求出k 得到反比例函数的表达式；
（2）先解方程组23
y x y x ⎧=⎪
⎨⎪=-+⎩得B （2，1），然后在第一象限内写出一次函数图象在反比
例函数图象下方所对应的自变量的范围即可；
（3）先确定C （3，0），设P （x ，0），利用三角形面积公式得到1
2
×|3﹣x |×2＝5，解方程可得到P 的坐标． 【详解】
解：（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3，得a ＝2， ∴A （1，2）
把A （1，2）代入反比例函数y ＝k x
， ∴k ＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y ＝
2x
； （2）解方程组23
y x y x ⎧=⎪
⎨⎪=-+⎩得12x y =⎧⎨
=⎩或21x y =⎧⎨=⎩， ∴B （2，1），
∴当x ＞0时，不等式3k
x x
-+<的解集为0＜x ＜1或x ＞2； （3）当y ＝0时，﹣x +3＝0， 解得x ＝3， ∴C （3，0）， 设P （x ，0）， ∴PC ＝|3﹣x |， ∴S △APC ＝
1
2
×|3﹣x |×2＝5， ∴x ＝﹣2或x ＝8，
∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax+b （a≠0）的图象与反比例函数
k
y x
=
（k≠0，x ＞0）的图象相交于A （1，5），B （m ，1）两点，与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，连接OA ，OB ．
（1）求反比例函数k
y x
=
（k≠0，x ＞0）和一次函数y ＝ax+b （a≠0）的表达式； （2）求△AOB 的面积．
解析：（1）5
y x
=，6y x =-+；（2）12 【分析】
（1）将点A （1，5）代入k
y x
=
（k≠0，x ＞0）,得到k 的值及反比例函数解析式；再将将点B （m ，1）代入反比例函数，得点B 坐标；将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b ，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；
（2）结合一次函数6y x =-+，得点D 坐标；再由△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积，经计算即可得到答案． 【详解】
（1）将点A （1，5）代入k
y x
=
（k≠0，x ＞0） 得：51
k =
解得：k ＝5
∴反比例函数的表达式为：5y x
= 将点B （m ，1）代入5y x
= 得：m ＝5 ∴点B （5，1）
将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b
得5
51a b a b +=⎧⎨
+=⎩ 解得：1
6
a b =-⎧⎨
=⎩ ∴一次函数表达式为：6y x =-+； （2）由一次函数6y x =-+可知：D （0，6） ∴△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积11
65611222
=⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了反比例函数、一次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解． 24．一次函数y = x + b 和反比例函数2
y x
=（k≠0）交于点A （a ，1）和点B ． （1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
解析：（1）1y x =-；（2）32
． 【分析】
（1）分别把A 的坐标代入反比例函数解析式求出a 的值，把A 的坐标代入一次函数解析式得出b 的值，即可求解；
（2）先求得点B 的坐标，再求出一次函数与y 轴的交点D 的坐标，根据三角形的面积公式求出△AOD 和△BOD 的面积即可． 【详解】
（1）∵点A （a ，1）是反比例函数2
y x
=
图象上的点， ∴2
y 1a ==， ∴2a =，
∴A （2，1），
又∵点A 是一次函数y x b =+的图象上的点， ∴12b =+，解得，b 1=- ， 故一次函数解析式为：1y x =-；
（2）联立方程组：y x 12
y x =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
，解得：1212x 2x 1y 1y 2==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，， 则()B 1
2--，， 因为直线1y x =-与y 轴交点D
01)-(，，则1OD =， ∴113
1211222
AOB AOD DOB S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，函数的图象等知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 25．如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）和反比例函数()20m
y m x
=≠的图象相交于点A （﹣4，2），B （n ，﹣4）
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式y 1＜y 2的解集．
解析：(1) y ＝﹣x ﹣2，;(2) x ＞2或﹣4＜x ＜0 【分析】
将点A （﹣4，2）代入2m
y x
=，求反比例函数解析式，再求得B 的坐标，将A 与B 两点坐标代入y 1＝kx +b ，即可求解；
（2）y 1＜y 2，在图象中找反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可. 【详解】
（1）将点A （﹣4，2）代入2m y x
=， ∴m ＝﹣8， ∴y ＝
8
x
-，
将B （n ，﹣4）代入y ＝8
x
-，
∴n ＝2， ∴B （2，﹣4），
将A （﹣4，2），B （2，﹣4）代入y 1＝kx +b ，
得到2442k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，
∴12k b =-⎧⎨=-⎩
，
∴y ＝﹣x ﹣2，
（2）由图象直接可得：x ＞2或﹣4＜x ＜0； 【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =6
x
的图象相交于点A （m ，3）、B （–6，n ），与x 轴交于点C ． （1）求一次函数y =kx +b 的关系式；
（2）结合图象，直接写出满足kx+b>6
x
的x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且S△ACP=3
2BOC
S
△
，求点P的坐标．
解析：（1）
1
2
2
y x
=+；（2）-6＜x＜0或2＜x；（3）（-2,0）或（-6,0）
【分析】
（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据函数图像判断即可；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根
据三角形的面积公式结合S△ACP=3
2
S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．
【详解】
（1）∵点A（m，3），B（-6，n）在双曲线y=6
x
上，
∴m=2，n=-1，
∴A（2，3），B（-6，-1）．
将（2，3），B（-6，-1）带入y=kx+b，
得：
32
16
k b
k b
+
⎧
⎨
--+
⎩
＝
＝
，解得，
1
2
2
k
b
＝
＝
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
．
∴直线的解析式为y=1
2
x+2．
（2）由函数图像可知，当kx+b>6
x
时，-6＜x＜0或2＜x；
（3）当y=1
2
x+2=0时，x=-4，
∴点C（-4，0）．
设点P的坐标为（x，0），如图，
∵S △ACP =32S △BOC ，A （2，3），B （-6，-1）， ∴12×3|x-（-4）|=32×12
×|0-（-4）|×|-1|，即|x+4|=2， 解得：x 1=-6，x 2=-2．
∴点P 的坐标为（-6，0）或（-2，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）根据函数图像判断不等式取值范围；（3）根据三角形的面积公式以及S △ACP =32
S △BOC ，得出|x+4|=2． 27．已知一次函数y 1 = yy − (2y + 1)的图象与 x 轴和 y 轴分别交于 A 、B 两点，A （3，0），一次函数与反比例函数21k y x
+=-的图象分别交于 C 、D 两点．
（1）求一次函数与反比例函数解析；
（2）求△OCD 的面积；
（3）直接写出 y 1> y 2时，y 的取值范围．
解析：（1）13y x =-，22y x =-
；（2）32
；（3）1x <或2x > 【分析】
（1）将点A （3，0）代入y 1 = yy − (2y + 1)即可求一次函数解析式，将k 代入21k y x +=-即可求反比例函数解析式； （2）如图所示作出辅助线，通过一次函数和反比例函数的解析式求出C 、D 的坐标，再由COD COE FOD CHD S S S S S =---矩形OEFH 计算即可；
（3）结合图象以及C 、D 的坐标即可得出．
【详解】
解：（1）将点A （3，0）代入y 1 = yy − (2y + 1)得：3(21)0k k -+=，
解得k=1，
∴13y x =-，22y x
=- （2）如图，连接OC ，OD ，作CE ⊥y 轴于点E ，作DF ⊥x 轴于点F ，CE,DF 交于点H ， ∴212
COE FOD S S ===，四边形OEFH 为矩形， 由23x x
-=-
，解得：121,2x x ==， ∴(1,2),(2,1)C D --， ∴CE=1，OE=2，OF=2，DF=1，CH=DH=1，
∴COD COE FOD CHD S S S S S =---矩形OEFH
=1322111122
⨯-
⨯⨯--= ∴△OCD 的面积为32；
（3）由（2）可知(1,2),(2,1)C D --，
通过图象可知：若y 1> y 2，则1x <或2x >．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及反比例函数与几何问题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
28．如图，已知一次函数1332
y x =
-与反比例函数2k y x =的图象相交于点A (4，n )和M(m ，﹣6)，与x 轴相交于点B ．
（1）求m ，n 的值；
（2）观察图象，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为 ，若y 1﹣y 2＜0时自变量x 的取值范围为 ；
（3）若P 点为x 轴上一点， Q 点为平面直角坐标系中的一点，以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，求Q 点的坐标．
解析：（1）m =－2，n=3 ；（2）x ≤﹣2或x ＞0；0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）点Q 的坐标为（413，3）或（4133）或（
34，3）或（4，﹣3） 【分析】
（1）把点A 、B 的坐标代入直线的解析式求解即可；
（2）满足条件y 2≥﹣6且y 2≠0时的x 的取值范围即为反比例函数2k y x
=在直线y =﹣6与x 轴之间的图象与第一象限内的图象对应的x 的范围，满足y 1﹣y 2＜0时自变量x 的取值范围即为反比例函数比直线高的图象部分对应的x 的取值范围，据此解答即可；
（3）先求出点B 的坐标，再分三种情况：①AB 、BP 为菱形的边，如图1；②AB 为菱形的对角线，如图2；③AB 为边、BP 为对角线，如图3；分别利用菱形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】 解：（1）把点A (4，n )和M (m , ﹣6)代入一次函数1332
y x =-， 得：34332
n =
⨯-=，3632m -=-， ∴2m =-，3n =； （2）对2k y x
=
，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为x ≤﹣2或x ＞0； 若y 1﹣y 2＜0即y 1＜y 2时自变量x 的取值范围为0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）对1332
y x =-，可得点B 的坐标为（2，0）， ①若AB 、BP 为菱形的边，则()()22423013AB =-+-=
若点P 在点B 右侧，如图1，则13
所以点Q 的坐标为（4133）；
若点P 在点B 左侧，同理可得点Q 的坐标为（413，3）；
②若AB 为菱形的对角线，如图2，设点Q 坐标为（n ，3），则BQ=AQ=4－n ， 过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，则BF=2－n ，QF=3，
在Rt △BQF 中，根据勾股定理，得()()222324n n +-=-，解得34n =
， ∴点Q 的坐标为（34
，3）；
③若AB 为边、BP 为对角线，如图3，由菱形的性质知：点Q 、A 关于x 轴对称， ∴点Q 的坐标为（4，﹣3）；
综上，点Q 的坐标为（413，3）或（413+，3）或（
34
，3）或（4，﹣3）． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．。