高中数学第一章不等关系与基本不等式1.5不等式的应用不等式性质的三个重要应用素材北师大版选修(1)

不等式性质的三个重要应用
关于不等式的性质及其推论有哪些可用之处教材中叙述甚少，但我们学习不等式的性质及其推论恰恰是关心如何把他们和以后学习的各个内容相结合，使其能解决问题.
一．利用不等式性质证明不等式
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。

解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
例1：若0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：d
b e
c a e ->-. 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。

注意性质的使用条件. 解：∵0<<
d c ，0>->-d c ，又0>>b a
∴0>->-d b c a ，故
d b c a -<-11。

而0<
e ，∴d
b e
c a e ->-. 二．利用不等式性质求范围
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.
例2：已知二次函数f (x) = ax 2+ bx ，且满足1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－
2)的取值范围．
分析：如果试图把a 、b 从两个约束不等式中解脱出来，然后求f (－2)的范围，这是一种扩大解集的方法．若用f (－1)、f (1) 表示f (－2)，用待定系数法求此三者的关系，就不会出错．
解：令f (－2) = m f (－1) + n f (1)，即
4a －2b = m(a －b) + n(a + b) = (m + n)a + (n －m)b ．比较两边的系数，得 ⎩⎨⎧-=-=+.2,4m n n m ⇒ ⎩⎨⎧==.
1,3n m
又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，
∴f (－2) = 3f (－1) +f (1)∈．
评注：从上述两例可以看出,待定系数法可以整体使用已知条件,简化运算过程,避免错解．再如下面一例:
例3.已知－1≤2x＋y －z≤8，2≤x－y ＋z≤9，－3≤x＋2y －z≤7，求证：
－6≤7x＋5y －2z≤47。

解：令A(2x ＋y －z)＋B(x －y ＋z)＋C(x ＋2y －z) =7x ＋5y －2z ，比较两边系数，得： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++25272C B A C B A C B A ⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧===321C B A
由于－1≤2x＋y －z≤8，4≤2(x－y ＋z)≤18，－9≤3(x＋2y －z)≤21，
所以有－6≤7x＋5y －2z≤47.
三．利用不等式性质，探求不等式成立的条件
不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。

例4：已知三个不等式：①0>ab ；②b
d a c >；③ad bc >。

以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_____________个正确命题。

解：对命题②作等价变形：0>-⇔>ab
ad bc b d a c 于是，由0>ab ，ad bc >，可得②成立，即①③⇒②；
若0>ab ，
0>-ab
ad bc ，则ad bc >，故①②⇒③； 若ad bc >，0>-ab ad bc ，则0>ab ，故②③⇒①。

∴可组成3个正确命题。

例5：已知b a >，b
b a a 11->-
同时成立，则ab 应满足的条件是__________。

解：∵ab ab b a b b a a )1)(()1()1(+-=---，由b a >知0)1(>+ab ab ， 从而0)1(>+ab ab ，∴0>ab 或1-<ab 。