分式经典题型分类例题及练习题

分式的运算
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
【例1】下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,
,,21,2
2
π，是分式的 有：
.
题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
（1）
4
4+-x x （2）
2
32+x x （3）
1
22-x （4）
3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）
3
1
+-x x （2）
4
2||2
--x x （3）
6
5322
2----x x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例4】（1）当x 为何值时，分式
x -84
为正； （2）当x 为何值时，分式
2
)1(35-+-x x
为负；
（3）当x 为何值时，分式3
2
+-x x 为非负数.
练习：
1．当x 取何值时，下列分式有意义：
（1）
3
||61
-x
（2）
1
)1(32++-x x （3）
x
111+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零：
（1）4
|
1|5+--x x
（2）
5
62522+--x x x
3．解下列不等式 （1）01
2
||≤+-x x （2）
03
252
>+++x x x
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：
M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：b
a
b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y
x 4
1313221+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）
y
x y
x --+- （2）b
a a ---
（3）b
a ---
题型三：化简求值题
【例3】已知：511=+y x ，求
y
xy x y
xy x +++-2232的值.
【例4】已知：21=-x
x ，求221
x
x +的值.
【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y
x 241
-的值.
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
（1）y
x y x 5.008.02.003.0+-
（2）b a b
a 10
141534.0-+
2．已知：31=+x x ，求1
242
++x x x 的值.
3．已知：311=-b a ，求a
ab b b
ab a ---+232的值.
4．若0106222=+-++b b a a ，求b
a b
a 532+-的值.
5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|x
x x x |
||1|1+
---.
（三）分式的运算
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一：通分
【例1】将下列各式分别通分.
（1）c
b a
c a b ab c 225,
3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）
2
2,
21,
1
2
2
2
--+--x x x
x x
x x ； （4）a
a -+21
,
2
题型二：约分
【例2】约分：
（1）
3
22016xy y x -； （2）n m m n --2
2； （3）6
222---+x x x x .
题型三：分式的混合运算
【例3】计算：
（1）4
2232)()()(a
bc ab c c b a ÷-⋅-；
（2）2
2233)()()3(
x
y x y y x y x a +-÷-⋅+；
（3）
m
n m
n m n m n n m ---+-+22；
（4）11
2
---a a a ；
（5）
8
7
4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；
（6）)
5)(3(1
)3)(1(1)1)(1(1+++
++++-x x x x x x ；
（7）)12()214
44
(222+-⋅--+--x x
x x x x x
题型四：化简求值题
【例4】先化简后求值
（1）已知：1-=x ，求分子)]1
21()144[(4
8
122x x x x -÷-+--的值；
（2）已知：4
32z y x ==，求
2
2
2
32z
y x xz yz xy ++-+的值；
（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1
(22a a a
a --的值.
题型五：求待定字母的值
【例5】若1
11
312-+
+=
--x N
x M x x ，试求N M ,的值.
练习：
1．计算
（1）)
1(23
2)1(21)1(252+-+
+--++a a a a a a ；
（2）a
b ab
b b a a ---
-222；
（3）
b
a c c
b a
c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；
（4）b
a b b a ++-2
2；
（5）)4)(4(b
a ab
b a b a ab b a +-+-+-； （6）
2
12
1111x x x ++
++-；
（7）
)
2)(1(1
)3)(1(2)3)(2(1--+
-----x x x x x x .
2．先化简后求值
（1）1
1
124212
22-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .
（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(
y
x
x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.
3．已知：1
21)12)(1(45--
-=---x B
x A x x x ，试求A 、B 的值.
4．当a 为何整数时，代数式2
805
399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.
（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算
【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅
（3）24
2
53])
()
()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x
题型二：化简求值题
【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.
题型三：科学记数法的计算
【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.
练习：
1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|3
1|)5
1()5
13
1(⋅-+-+-÷⋅--
（2）322231)()3(-----⋅n m n m （3） （4）
2
1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x
2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.
第二讲 分式方程
（一）分式方程题型分析（提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.） 题型一：用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
（1）x
x 3
11=-； （2）
01
32=--x
x ； （3）
114
112=---+x x x ； （4）
x x x x -+=++4535
题型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
（1）
4441=+++x
x x x ； （2）
5
6
9108967+++
++=+++++x x x x x x x x
【例3】解下列方程组
⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=+=+=+)
3(4
111)2(3111)1(2111x z z y y x
题型三：求待定字母的值
【例4】若关于x 的分式方程3
132--=-x m
x 有增根，求m 的值.
【例5】若分式方程
12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
题型四：解含有字母系数的方程
【例6】解关于x 的方程
)0(≠+=--d c d
c
x b a x
题型五：列分式方程解应用题
练习：
1．解下列方程：
（1）021211=-++-x
x
x x ； （2）
3
4
23-=--x x x ； （3）22
3
22=--+x x x ； （4）
1
7137222
2--+
=--
+x x x x x
x
（5）2
1
23524245--+=--x x x x （6）
4
1
215111++
+=+++x x x x
（7）
6
8
11792--+
-+=--+-x x x x x x x x
2．解关于x 的方程： （1）b
x a 2
11+=)2(a b ≠； （2）)(11b a x
b b x a a ≠+=+.
3．如果解关于x 的方程2
22-=+-x x
x k 会产生增根，求k 的值.
4．当k 为何值时，关于x 的方程1)
2)(1(23++-=++x x k
x x 的解为非负数.
5．已知关于x 的分式方程a x a =++1
1
2无解，试求a 的值.
（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、交叉相乘法
例1．解方程：231+=x x
二、化归法
例2．解方程：
012112=---x x
三、左边通分法
例3：解方程：
87178=----x x x
四、分子对等法
例4．解方程：
)(11b a x b b x a a ≠+=+
五、观察比较法
例5．解方程：
417425254=-+-x x x x
六、分离常数法
例6．解方程：
87329821+++++=+++++x x x x x x x x
七、分组通分法
例7．解方程：41315121+++=+++x x x x
（三）分式方程求待定字母值的方法
例1．若分式方程
x m x x -=--221无解，求m 的值。

例2．若关于x 的方程
11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。

例3．若关于x 分式方程
432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

例4．若关于x 的方程
1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。