温州市平阳县鳌江中学高三数学一轮复习全能测试 专题三 三角函数 文
高三数学一轮复习高效测评卷 第三章 三角函数 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校金新学案高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(三)第三章三角函数—————————————————————————————————————【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且2α∈[0,2π)，那么tanα等于()A．－ B.C. D．－2．函数中周期为2的函数是()A．y＝2cos2πx－1 B．y＝sin2πx＋cos2πxC．y＝tan D．y＝sinπx cosπx3．sin(π－α)＝－2sin，那么sinα·cosα＝()A. B．－C.或者－D．－4．设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝a cos2x＋b sin2x}，给出M到N的映射f：(a，b)→f(x)＝a cos2x＋b sin2x，那么点(1，)的象f(x)的最小正周期为()A．πB．2πC. D.5．化简＝()A．－2 B．－C．－1 D．16．假设把函数y＝cos x－sin x的图象向右平移m(m＞0)个单位后，所得到的图象关于y轴对称，那么m的最小值是()A. B.C. D.7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设c＝a，B＝30°，那么C＝()A．120°B．105°C．90°D．75°8．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一座M原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与的间隔是5海里，那么和轮船原来的间隔为()A．2海里B．3海里C．4海里D．5海里9．函数f(x)＝sin2x＋2cos x在区间上的最大值为1，那么θ的值是()A．0 B.C. D．－10．关于函数f(x)＝sin x＋cos x)A．函数f(x)的最大值为2B．函数f(x)的一条对称轴为x＝C．函数f(x)的图象向左平移个单位后对应的函数是奇函数D．函数y＝|f(x)|的周期为2π11．x∈(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，那么实数a的取值范围为()A．[－，2] B．[，2]C．(，2] D．(，2)12．tanα＝－，且tan(sinα)＞tan(cosα)，那么sinα的值是()A．－ B.C．±D．－第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，那么tanα＝________.14．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，那么＝________.15．假设是函数f(x)＝sin2x＋a cos2x(a∈R，为常数)的零点，那么f(x)的最小正周期是________．①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为；②假设α、β为锐角，tan(α＋β)＝，tanβ＝，那么α＋2β＝；③假设A、B是△ABC的两个内角，且sin A<sin B，那么BC<AC；④假设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2<0，那么△ABC三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(12分)在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin的值．18.(12分)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如下列图．(1)求ω、φ的值；(2)设g(x)＝f(x)f，求函数g(x)的单调递增区间．【解析方法代码108001047】19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边长，sin A＝.(1)假设a2－c2＝b2－mbc，务实数m的值；(2)假设a＝，求△ABC面积的最大值．【解析方法代码108001048】20．(12分)向量a＝(1＋cos(2x＋φ)，1)，b＝(1，a＋sin(2x＋φ))，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.(1)务实数a的值；(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝2sin2x的图象，求函数y＝f(x)的解析式及其单调增区间．21.(12分)在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.(1)求角A；(2)假设＞，求角C的取值范围．22．(14分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(－1,1)，n＝(cos B cos C，sin B sin C－)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)现给出以下四个条件：①a＝1；②b＝2sin B；③2c－(＋1)b＝0；④B＝45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC的面积．答案：一、选择题1．B因2α的终边经过点，且2α∈[0,2π)，∴2α＝π，∴α＝，∴tanα＝.2．C因为y＝tan x的周期为π，所以y＝tan的周期为T＝＝2.3．B由于sin(π－α)＝－2sin(＋α)⇒sinα＝－2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，那么sinαcosα＝－2cos2α＝－，应选B.4．A f(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin∴T＝＝π5．C＝＝＝－1.应选C.6．A目的意识下，逆用三角公式化为一个角的三角函数，选择值验证，y＝cos x－sin x＝2cos，向右移个单位后得到y＝2cos x，应选A.7．A由正弦定理得，sin C＝sin A，sin C＝sin(150°－C)，sin C＝cos C＋sin C，－sin C＝cos C，tan C ＝－，又0°＜C＜180°，∴C＝120°，应选A.8．D如图，由题知AB＝10，BM＝5，∠MAB＝60°.设AM＝x，在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos60°，即75＝100＋x2－20x cos60°，解得x＝5.应选D.9．D因为f(x)＝sin2x＋2cos x＝－cos2x＋2cos x＋1＝－(cos x－1)2＋2，又其在区间上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－，应选D.10．B f(x)＝sin x＋cos x＝sin，函数的最大值为；一条对称轴为x＝；向右平移个单位后对应的函数是奇函数；f(x)的周期为2π，函数y＝|f(x)|的周期为π.应选B.11．D令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如下列图：假设2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，那么y1与y2应有两个不同的交点，所以＜a＜2，应选D.12．B∵sinα，cosα∈[－1,1]，且y＝tan x在[－1,1]上递增，∴sinα＞cosα.而tanα＝－＜0，∴sinα＞0，且cosα＜0.∴sinα＝，选B.二、填空题13．解析：∵tan(π＋2α)＝－，∴tan2α＝－＝，∴tanα＝－或者tanα＝2.又α在第二象限，∴tanα＝－.答案：－14．解析：由正弦定理得：＝，所以＝，故＝2.答案：215．解析：由题意得f＝sin＋a cos2＝0，∴1＋a＝0，∴a＝－2.∴f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin－1，∴f(x)的最小正周期为π.答案：π16．解析：①中，S扇形＝α·R2＝××22＝1，∴①不正确．②中，由可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝1.又α、β为锐角，tan(α＋β)＝>0，∴0<α＋β<，又由tanβ＝<1，得0<β<，∴0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.∴②正确．③中，由sin A<sin B⇒<(2R为△ABC的外接圆半径)⇒BC<AC.∴③正确．④中，由a2＋b2－c2<0知cos C<0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形，∴④正确．答案：②③④三、解答题17．解析：(1)在△ABC中，根据正弦定理，＝.于是AB＝BC＝2BC＝2.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝.于是sin A＝＝.从而sin2A＝2sin A·cos A＝，cos2A＝cos2A－sin2A＝.所以sin＝sin2A cos－cos2A sin＝.18．解析：(1)由图可知T＝4＝π，ω＝＝2，又由f＝1得，sin(π＋φ)＝1，sinφ＝－1.∴|φ|<π，∴φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝sin＝－cos2x.因为g(x)＝(－cos2x)＝cos2x sin2x＝sin4x，所以2kπ－≤4x≤2kπ＋，即－≤x≤＋(k∈Z)．故函数g(x)的单调增区间为(k∈Z)．19．解析：(1)由sin A＝两边平方，得2sin2A＝3cos A，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.解得cos A＝>0，∵0<A<，∴A＝.而a2－c2＝b2－mbc可以变形为＝，即cos A＝＝，∴m＝1.(2)由(1)知cos A＝，那么sin A＝.又＝，∴bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即bc≤a2.故S△ABC＝sin A≤·＝，∴△ABC面积的最大值为.20．解析：(1)f(x)＝1＋cos(2x＋φ)＋a＋sin(2x＋φ)＝2sin＋a＋1.因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3＋a＝2，即a＝－1.(2)由(1)知：f(x)＝2sin.把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位可得函数y＝2sin(2x＋φ)＝2sin2x，∴φ＝2kπ，k∈Z.又∵－<φ<，∴φ＝0.∴f(x)＝2sin.因为2kπ－≤2x＋≤2kπ＋⇒kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以，y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.21．解析：(1)∵＝－2cos B，＝－，又∵＝，∴－2cos B＝，而△ABC为斜三角形，cos B≠0，∴sin2A＝1.∵A∈(0，π)，∴2A＝，A＝.(2)∵B＋C＝，∴＝＝＝＋tan C＞，即tan C＞1，∵0＜C＜，∴＜C＜.22．解析：(1)∵m⊥n，∴－cos B cos C＋sin B sin C－＝0.即cos B cos C－sin B sin C＝－，∴cos(B＋C)＝－.∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝－cos A，∴cos A＝，A＝30°.(2)方案一：选择①③可确定△ABC.∵A＝30°，a＝1,2c－(＋1)b＝0.由余弦定理12＝b2＋2－2b·b·，整理得b2＝2，b＝，c＝.∴S△ABC＝bc sin A＝×××＝.方案二：选择①④可确定△ABC.∵A＝30°，a＝1，B＝45°，∴C＝105°.又sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝.∵＝，∴b＝＝，∴b＝，∴S△ABC＝ab sin C＝·1··＝.18.(12分)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如下列图．(1)求ω、φ的值；(2)设g(x)＝f(x)f，求函数g(x)的单调递增区间．【解析方法代码108001047】19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边长，sin A＝.(1)假设a2－c2＝b2－mbc，务实数m的值；(2)假设a＝，求△ABC面积的最大值．【解析方法代码108001048】20．(12分)向量a＝(1＋cos(2x＋φ)，1)，b＝(1，a＋sin(2x＋φ))，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.(1)务实数a的值；(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝2sin2x的图象，求函数y＝f(x)的解析式及其单调增区间．21.(12分)在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.(1)求角A；(2)假设＞，求角C的取值范围．22．(14分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(－1,1)，n＝(cos B cos C，sin B sin C－)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)现给出以下四个条件：①a＝1；②b＝2sin B；③2c－(＋1)b＝0；④B＝45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC的面积．。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例知能训练轻松闯关理北师大版
第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东80° D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．(2016·郑州模拟)已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km B ．103km C ．10 5 km D ．107 km 解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以AC ＝107(km)．3．(2016·唐山模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010B.31010 C.55D.255解析：选 B.由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，所以a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ， 所以cos ∠DAC ＝31010.4．(2016·淮北质检)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析：选B.依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 5．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h 解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2. 6．(2014·高考四川卷)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C.如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60° ＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m)． 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)．7．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为______海里/小时．解析：由题意知，在△PMN 中，PM ＝68海里，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠MNP ＝45°.由正弦定理，得MNsin 120°＝68sin 45°，解得MN ＝346海里，故这只船航行的速度为3464海里/小时＝1762海里/小时．答案：17628．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝3 2.答案：3 29．(2016·佛山一模)如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A 、B 两点之间的距离为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 48.19°取23 解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝22，在△BCE中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝32，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， 所以AB ＝10，即A 、B 两点之间的距离为10. 答案：1010．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：根据题图，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)． 答案：15011.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .求AB 的长度．解：在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． 12．(2016·贵阳监测考试)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)， 所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3. 因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以23sin B ＝AB sin （π－2B ）＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233 sin B sin B ，所以AB ＝4.。
最新高考数学(文)一轮总复习模拟演练 第3章 三角函数、解三角形 3-2及答案
(时间：40分钟)1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43B ．34 C ．－34D ．±34答案 B解析 ∵sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，选B.2．已知sin 5π7＝m ，则cos 2π7＝( ) A ．m B ．－m C ．1－m 2 D ．－1－m 2 答案 C 解析 因为sin5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π7＝sin 2π7，所以sin 2π7＝m ，且2π7∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2π7＝1－m 2.3．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是( ) A ．13B ．31010 C ．377 D ．355 答案 B解析 由tan(π－α)＋3＝0得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.又因为α为锐角，所以sinα＝31010.4．若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵A，B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B＞90°，即A＞90°－B.∵0°<A<90°，0°<90°－B<90°.∴sin A＞sin(90°－B)＝cos B，cos A＜cos(90°－B)＝sin B.∴cos B－sin A＜0，sin B－cos A＞0.∴点P在第二象限，故选B.5．已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sinθ－cosθ的值为( )A．23B．13C．－23D．－13答案 C解析(sinθ＋cosθ)2＝169，∴1＋2sinθcosθ＝169，∴2sinθcosθ＝79，由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－79＝29，可得sinθ－cosθ＝±23.又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sinθ<cosθ，∴sinθ－cosθ＝－2 3.6．已知角α的终边上一点P(3a,4a)(a<0)，则cos()540°－α的值是________．答案3 5解析cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα.因为a<0，所以r＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35.7．sin600°＋tan240°的值等于________． 答案32解析 sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan60°＝－sin60°＋tan 60°＝32. 8．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 －1解析 由已知得tan α＝－2，所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－1.9．已知f (α)＝sin 2π－α cos π＋α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αcos π－α sin 3π－α sin －π－α sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α，求f ⎝⎛⎭⎪⎫11π4的值． 解 f (α)＝－sin α －cos α －sin α －sin α－cos α sin αsin αcos α＝－tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4＝－tan 11π4＝tan π4＝1.10．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．解 因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角， 所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－1－cos 2 75°＋α ＝－1213. 所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin ＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α) ＝－sin ＋cos＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(时间：20分钟)11．cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 290°＝( ) A ．90 B ．45 C ．44.5 D ．44答案 C解析 原式＝(cos 21°＋cos 289°)＋(cos 22°＋cos 288°)＋…＋(cos 244°＋cos 246°)＋cos 245°＋cos 290°＝(cos 21°＋sin 21°)＋(cos 22°＋sin 22°)＋…＋(cos 244°＋sin 244°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋0＝1³44＋12＋0＝44.5.12．若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ( π6－α )＝( )A ．15B ．－15C ．513D ．－513 答案 D解析 由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513. 13．sin 4π3²cos 5π6²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．答案 －334解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6²tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3²⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6²⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³(－3)＝－334.14．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A ²cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值． 解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，∴两边平方得1＋2sin A ²cos A ＝125， ∴sin A ²cos A ＝－1225. (2)由(1)sin A ²cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π， 可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925， sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＝75，∴sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝－43.。
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课堂达标22正弦定理和余弦定理及应用文新人教版(20
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课堂达标22 正弦定理和余弦定理及应用文新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课堂达标22 正弦定理和余弦定理及应用文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课堂达标（二十二) 正弦定理和余弦定理及应用[A基础巩固练］1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10,则c等于（)A．5错误!B．10错误!C.错误!D．5错误![解析]由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得错误!＝错误!，即错误!＝错误!,∴c＝错误!。
[答案]C2．（2017·山东）在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B（1＋2cos C）＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是（）A．a＝2b B．b＝2aC．A＝2B D．B＝2A［解析］sin（A＋C)＋2sin B cos C＝2sin A cos C＋cos A sin C,所以2sin B cos C＝sin A cos C⇒2sin B＝sin A⇒2b＝a，选A。
[答案]A3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°,∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（）A．5错误!B．15错误!C．5错误!D．15错误![解析]在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°。
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弘知教育内部资料中小学课外辅导专家三角函数典型习题1 ．设锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c , a 2bsin A .(Ⅰ)求B的大小 ;(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .A B C在中 ,角A, B,C所对的边分别为，， 2 .ABC c , sin sin2 ． 2 2（I）试判断△ABC的形状 ;（I I）若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .3 ．已知在ABC 中, A且与tan B是方程 x2 5 x 6 0 的两个根.B , tan A(Ⅰ )求tan( A B) 的值;(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.4．在ABC 中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.A C 2(1)求sin2 cos 2B 的值;2(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .5．已知函数f ( x) 2sin 2 π3 cos2x ， xπ π．x4，4 2（1）求f ( x)的最大值和最小值；（2）f ( x) m 2 在 x π π上恒成立，求实数m 的取值范围．，4 26．在锐角△ABC 中,角．．的对边分别为a、b、已知(b2 c 2 a 2) tanA bcA B C c, 3 .(I)求角 A;(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?7．已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;(Ⅱ )当x 0,2时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .8 ．在ABC中,已知内角 A ． B ． C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量r2sin B, rcos2B, 2cos2 B1r rm 3 , n 2 ,且m / / n ?(I)求锐角 B 的大小 ;(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】 :(Ⅰ )由 a2b sin A ,根据正弦定理得 sin A2sin B sin A ,所以 sin B ,2π由ABC 为锐角三角形得B.6(Ⅱ ) cos A sin C cos A sinAcos A sin6Acos A13 sin Acos A223 sin A .32【解析】 :I. sinC sin C cos C sin C 2 sin( C)C2 22 2 2 4即 C ,所以此三角形为直角三角形 .2422II. 16 a b22ab2ab , ab64(22) 2a b 时取等ab2 当且仅当 号,此时面积的最大值为326 4 2 .3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B2 .∴ tan( A B)tan A tan B2 311 tan A tan B 12 3(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C180 (A B) .由(Ⅰ )知 , tanCtan( A B)1,∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C22∵ tan A3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A3 ,10由正弦定理得 :AB BC5 3 ∴ BC 3 5 .21028【解析】 :(1)r r2sinB(2cos 2 B m / / n-1)=- 3cos2B22sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32ππ ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3(2)由 tan2B=- 3π 5πB= 或63π① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :34=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )1 3∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3∴△ ABC 的面积最大值为 35π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )∴ac ≤ 4(2-3)1 1∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4sin 2A C+cos2B=124(2)由 cos B1,得 sin B15. ∵ b=2,44a218 115 2+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,S △ABC =2acsinB ≤(a=c 时取等号 )33故 S △ABC 的最大值为 1535 【解析】∵f ( x) 1 π3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x（ Ⅰ ）cos2x21 2sin 2xπ．3又∵ xπ ππ 2xπ 2π， ， ∴≤≤，4 2633即2≤12sin 2xπ≤ 3，3∴ f ( x) max 3， f ( x) min 2 ．（Ⅱ ） ∵ f ( x)m 2f (x) 2 mf (x) 2 ， xπ π ，4，2∴ mf ( x)max 2 且 m f ( x) min 2 ，∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (14)， ．6【解析】 :(I)由已知得b 2c 2a 2 sin A3 32bccos A sin A22又在锐角 △ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角 △ABC 中,扣 1 分 ](II)因为 a=2,A=60 所°以 b2c2bc 4, S1bc sin A3bc24而b 2c 22bc4 2bcbc4bc又 S1bc sin A3bc3 4 3244所以 △ ABC 面积 S 的最大值等于37【解析】 :(Ⅰ )因为 f ( x) (sin xcos x)2 +cos2 xsin 2 x 2sin x cos x cos 2 x cos2 x1 sin2 x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2 x)4所以 2,即函数 f (x) 的最小正周期为, T2(Ⅱ )因为 0 x,得4 2x45,所以有2 sin(2 x) 1242 4 12 sin(2 x) 2,即0 12 sin(2 x)1244所以 ,函数 f x的最大值为 1 2此时 ,因为2 x5,所以 , 2 x,即 x844442。
(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析
三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。
2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章 三角函数、解三角形 3-4 Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ． 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝ ．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为 ．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程． 解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值， 故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级 力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ， 得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是 ．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象， 依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的 作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.
第六讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际 意义；能借助图象理解 参数ω，φ，A的意义， 了解参数的变化对函数 图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图 象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点， 复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变 换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握 解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π， 故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不 同的实数根.
高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用模拟演练文
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．已知函数f(x)＝sin(sinx)，则下列说法正确的是( )A．f(x)的定义域是[－1,1]B．f(x)是偶函数C．f(x)的值域是[－sin1，sin1]D．f(x)不是周期函数答案C解析∵－1≤sinx≤1，且y＝sinx在[－1,1]上是增函数，∴f(x)的值域是[－sin1，sin1]．2．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为( )A．B．14C．D．12答案D解析y＝tan向右平移个单位长度，可得：y＝tan＝tan，∴－ω＋kπ＝(k∈Z)，∴ω＝6k＋(k∈Z)．又∵ω>0∴ωmin＝.故选D.3．[2017·西安模拟]已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称答案D解析 ω＝2，函数f(x)的对称轴满足2x ＋＝k π(k∈Z)，解得x ＝－(k∈Z)，当k ＝1时，x ＝，选D.4．[2017·天津模拟]将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )A ．B ．1C ．D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝ sin ，将代入，得sin ＝0，则ω＝2k ，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值为2.5．[2017·惠州模拟]已知函数y ＝sinx 的定义域为[a ，b]，值域为，则b －a 的值不可能是( )A ．B ．2π3 C ．π D ．4π3答案 A解析 画出函数y ＝sinx 的草图分析知b －a 的取值范围为. 6．[2017·南宁模拟]函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f(x)＝________.答案 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4解析 由图象得：T ＝4×2＝8，∴ω＝＝， 代入(－1,1)，得cos ＝1，∴－＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋，k ∈Z ， 又∵0≤φ≤π，∴φ＝. ∴f(x)＝cos.7．函数y ＝sin 向左平移m 个单位长度后关于y 轴对称，则m 的最小正值为________．答案π24解析 y ＝sin 关于y 轴对称，则有4m ＋＝k π＋(k∈Z)，m ＝＋，∴m的最小正值为.8．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.答案22解析把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin 的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.9．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数式y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)(1)求这期间的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．解(1)由图象，知这期间的最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时．(2)A＝(50－30)＝10，b＝(50＋30)＝40，T＝＝2×(14－8)＝12，所以ω＝，所以y＝10sin＋40.把x＝8，y＝30代入上式，得φ＝.所以所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．10．[2017·启东模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解(1)由最低点为M，得A＝2.由x轴相邻两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.由点M在图象上，得2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2k π－(k∈Z )． 所以φ＝2k π－(k∈Z)． 因为φ∈，所以φ＝. 故f(x)＝2sin.(2)因为x∈，所以2x ＋∈.当2x ＋＝，即x ＝时，f(x)取得最大值2；当2x ＋＝，即x ＝时，f(x)取最小值－1.故f(x)的值域为[－1,2]．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．为了得到函数y ＝sin 的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度 答案 B解析 y ＝cos2x ＝sin ，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 得到y ＝sin ，只需向右平移个单位长度．12．[2016·北京高考]将函数y ＝sin 图象上的点P 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝，s 的最小值为B ．t ＝，s 的最小值为π6 C ．t ＝，s 的最小值为 D ．t ＝，s 的最小值为π3答案 A解析 点P 在函数y ＝sin 的图象上， ∴t ＝sin ＝.函数y ＝sin 的图象向左平移个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为.13．若函数y ＝cos(0<φ<π)的一条对称轴方程为x ＝，则函数y ＝sin(2x －φ)(0≤x<π)的单调递增区间为________．答案 和⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，π 解析 因为y ＝cos 的对称轴为x ＝，所以×＋φ＝k π，k∈Z，所以φ＝k π－，k∈Z.又因为0<φ<π，所以φ＝.由2k π－≤2x－≤2k π＋，k∈Z，得k π－≤x≤k π＋，k∈Z.因为0≤x<π，所以函数的单调增区间为和.14．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：(2)由(1)知f(x)＝5sin ， 得g(x)＝5sin.因为函数y ＝sinx 图象的对称中心为(k π，0)，k∈Z. 令2x ＋2θ－＝k π，k∈Z，解得x ＝＋－θ，k∈Z.由于函数y ＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.。
高考数学(文)大一轮复习习题 第三章 三角函数、解三角形 第三章 三角函数、解三角形 Word版含答案
第三章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ． (2)公式：31．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝( ) A ．45 B ．－45C ．35D ．－35答案：B3．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1．21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x．1．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝( )A ．513B ．1213C ．512D ．－513答案：A2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 答案：四 一考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透1．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0 B ．cos α2>0 C ．tanα2>0 D ．sinα2cos α2<0 解析：选C ∵π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π． 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，即tan α2>0一定成立，故选C ．3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°． 答案：－675°或－315°4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上，则角β的集合S ＝____________________． 解析：如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°， 在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°， 终边落在射线OB 上的角是240°， 所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}． 答案：{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析：选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1．3．扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2． 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π． 答案：360π弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．考点三 三角函数的定义题点多变型考点——多角探明任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________．解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23．答案：－23角度二：三角函数值的符号判定 2．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．角度三：三角函数线的应用3．函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 解析：∵3－4sin 2x >0， ∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32．利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55． 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B ．2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A ．35 B ．－35C ．45D ．－45解析：选B 设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a <0， ∴r ＝－4a2＋a2＝|5a |＝－5a ．∴sin α＝3a r ＝－35．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝3．4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8． 答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3．2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0．又cos α＝15x ＝xx 2＋16．解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43．3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2．4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cosθ2<0，综上知θ2为第二象限角． 5．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°． 答案：217°7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527， ∴α＝5π6． ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518．答案：5189．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________． 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cosπ4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π410．已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6．(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1． 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ．2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1 B ．－1C ．3D ．－3 解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．所以y ＝－1＋1－1＝－1． 3．已知sin α＜0，tan α＞0． (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tanα2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ． (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sinα2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时， tanα2＜0，sin α2＜0, cosα2＞0，所以 tan α2sinα2cosα2也取正号．因此，tan α2sinα2cosα2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．诱导公式1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______． 答案：－452．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值为________．答案：21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________． 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫－26π3＝________． 答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选C 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0．2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2．3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________． 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33．答案：－334．(易错题)设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________．解析：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cosα＋2sin αsinα＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3． 答案： 31．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系重点保分型考点——师生共研1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2．∴sin 2α－sin αcos α ＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25． 2．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105． 答案：－105同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512．法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512．故选D ．2．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选 B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29．又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝－23．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45B ．45C ．35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45． 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3． 3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为( ) A ．45 B ．－45C ．2D ．－12解析：选A 由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45．故选A ．4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________． 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43．答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12．答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．45 B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34．又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝() A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析：选D ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13．3．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1．∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3．4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1．5．计算：cos 350°－2sin 160°－＝( )A ．－ 3B ．－32C ．32D ． 3 解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3．6．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝________． 解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2－2＋1＝－25．答案：－257．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝________．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ． 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55． 答案：558．sin4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334． 答案：－3349．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°．解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2． 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α．解：由已知得sin α＝2cos α． (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16．(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912．答案：9122．已知f (x )＝cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，f (x )＝cos2k π＋x2k π－xcos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x －sin x 2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，f (x )＝cos2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x ．(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin2π2 018＋cos 2π2 018＝1． 第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)．1．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最小正周期为________．答案：6π2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈的单调性是( ) A ．在上是增函数，在上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在上是增函数，在上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22． 答案：－22考点一 三角函数的定义域基础送分型考点——自主练透1．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为__________________．解析：要使函数有意义， 必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2．∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值重点保分型考点——师生共研1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1．∴y ∈，∴y max ＋y min ＝2－3．2．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈的值域为________________． 解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤2．∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1． ∴函数的值域为． 答案：三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22． ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22．∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22． 考点三 三角函数的性质题点多变型考点——多角探明三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．角度一：三角函数的周期性1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π．故选B ．角度二：三角函数的对称性2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4．当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4， ∴A 、C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 正确，D 错误．3．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－ 3 cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B ．π6 C ．－π3D ．π3解析：选 D ∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|<π2，∴θ＝π3．角度三：三角函数的单调性4．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈，则f (x )的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z ．又x ∈，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π45．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32． 答案：321．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B 由函数的最小正周期为π，排除C ；由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选B ．2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A ．2．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D ．3．下列各点中，能作为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的一个对称中心的点是( ) A ．(0,0) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0 C ．(π，0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10，0 解析：选D 由x ＋π5＝k π2(k ∈Z)，得x ＝k π2－π5(k ∈Z)，当k ＝1时，x ＝3π10，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的一个对称中心的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10，0，故选D ． 4．(2017·湖南六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos xx ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π35．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______．解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D ．2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D ．34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B ．4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0， 得|φ|的最小值为π6．5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A ．6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k ．又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3．答案：2或37．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z ．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________．解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2．又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12．答案：5π129．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2．10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2．(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32．又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3． 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2017·衡水中学检测)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 解析：选B ∵x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，∴2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，k ∈Z ， 可得k π＋π3<x <k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，故选B ．2．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1． (1)求f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈的x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ．(2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4， 所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6． 第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法。
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【最新整理，下载后即可编辑】三角函数 2018年6月考纲要求：基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =sin x ，y =cos x , y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的单调性.（4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,sin tan .cos xx x= （5）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.对于三角函数与三角恒等变换的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用.2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合.对于解三角形的考查：1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.考向一三角恒等变换样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1α=，sin3则cos()αβ-=___________. 【答案】79- 样题2 已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α=ABCD 【答案】B解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.考向二 三角函数的图象和性质样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D样题4（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D 样题5 （2017年高考浙江卷）已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值．（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．考向三 利用正、余弦定理解三角形样题6 （2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．样题7 （2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B.sin C ;（2）若6cos B.cos C =1，a =3，求ABC △的周长.样题8 （2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．考向四解三角形的应用样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D）．当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．（1）求,B C两救援中心间的距离；（2）求D救援中心与着陆点A间的距离．三角函数本省历年高考题总结2011年（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45-（B ）35- （C ）35（D ）45（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 2012年（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
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高三数学一轮复习测试：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间1。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(文)α是第四象限的角，tan α＝－125，则sin α等于( )A ．－112B ．－15C.1213D ．－1213[答案] D[解析] 首先α为第四象限角，则sin α<0，排除C ，其次由勾股数5,12,13知排除A 、B ，故选D. (理)已知cos2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，0<x <π，则tan x 为( )A ．－43B ．－34C ．2D ．－2[答案] A[解析] ∵cos2xcos x －sin x ＝cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x ，∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方可得1＋2sin x cos x ＝125，∴sin x cos x ＝－1225，∴π2<x <π，由⎩⎨⎧cos x ＋sin x ＝15sin x cos x ＝－1225解得sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.[点评] 也可由sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x＝－1225，分子分母同除以cos 2x ，解方程求得tan x . 2．(文)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，0 B.⎝⎛⎭⎫π4，0 C.⎝⎛⎭⎫π9，0D.⎝⎛⎭⎫π16，0[答案] A[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π4――→横坐标伸长为3倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4错误!y ＝sin2x ，对称中心为错误!.当k ＝1时为错误!. (理)将函数y ＝cos x 的图像向左．．平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，则φ等于( )A.π6B.2π3C.4π3D.11π6[答案] C[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3， 将y ＝cos x 的图象向右平移2π3可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3的图象，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π－2π3＝4π3个单位．3．一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝⎛⎭⎫a c 2＋ac －1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B .4．(文)曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3、…，则|P 2P 4|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π[答案] A[解析] 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos[2(x ＋π4)]＝1＋sin2x ，其最小正周期为π.，又|P 2P 4|显然是一个周期，故选A.(理)已知函数f (x )＝πsin x4，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．π[答案] B[解析] 函数f (x )周期T ＝2π14＝8π，则|x 1－x 2|的最小值为T2＝4π.[点评] 考查三角函数的最值及周期，又不直接涉及这些概念，应注意加强这种问题的分析，强化训练．5．函数f (x )＝sin x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎫π2，3π2D.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 [答案] D[解析] f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1＝2sin(x －π4)－1，由－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )得，f (x )增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )． ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π4，3π4上递增． 6．(文)已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根为tan α、tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是( )A.12B ．－2C.43D.12或－2 [答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－4a <0tan α·tan β＝3a ＋1>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝43，∵⎩⎨⎧－π2<α<0－π2<β<0，则－π<α＋β<0，－π2<α＋β2<0，∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝43⇒tan α＋β2＝－2，故选B.(理)已知双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左右顶点分别为A 、B ，双曲线在第一象限的图象上有一点P ，∠P AB ＝α，∠PBA ＝β，∠APB ＝γ，则( )A ．tan α＋tan β＋tan γ＝0B ．tan α＋tan β－tan γ＝0C ．tan α＋tan β＋2tan γ＝0D ．tan α＋tan β－2tan γ＝0 [答案] C[解析] 设P (x 0，y 0)，则 tan γ＝－tan(α＋β)＝tan α＋tan βtan αtan β－1，∵tan αtan β＝k P A (－k PB )＝y 0x 0＋a ·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0－a ＝y 20a 2－x 20＝－1.∴tan γ＝－tan α＋tan β2，即tan α＋tan β＋2tan γ＝0，故选C.7．(文)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59，∵x 、y 均为锐角，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145，故选B.(理)已知α、β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α2＋cos α2＝62，sin(α－β)＝－35，则cos β的值为 ( )A.43＋310B.43－310C.3－4310D ．－43＋310[答案] D[解析] ∵sin α2＋cos α2＝62，∴sin α＝12，∵π2<α<π，∴cos α＝－32， ∵π2<β<π，∴－π<－β<－π2，∴－π2<α－β<π2， ∵sin(α－β)＝－35，∴cos(α－β)＝45，∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝⎝⎛⎭⎫－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.8．(文)已知函数f (x )＝3sin πxR 图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.(理)(09·辽宁)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B.23 C ．－12D.12[答案] B[解析] 首先由图象可知所求函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，故ω＝2π23π＝3.点⎝⎛⎭⎫11π12，0相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点，∴11π4＋φ＝π2＋2k π，∴φ＝－9π4＋2k π.令k ＝1得，φ＝－π4，∴f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－A sin π4＝－23，∴A ＝223， ∴f (0)＝A cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝A cos π4＝23. 9．(文)若a 、b 、c 是△ABC 的三边，直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相离，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[答案] D [解析] 由题设知|c |a 2＋b2>1， 即a 2＋b 2<c 2，即a 2＋b 2－c 2<0， 于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以∠C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． (理)在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形 [答案] A[解析] ∵cos 2A 2＝b ＋c2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc ，又由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．10．如图是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )[答案] A[解析] 由条件知，若A (x ，y )，则B (π－x ，y )，∴y ＝f (x )＝|π－x －x |＝|π－2x |，图象即为选项A. 11．(文)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是( )A.π2B.π3C.π4D.π6[答案] D[解析] f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝f (x ＋φ)＝2sin(x ＋π3＋φ)图象关于x ＝0对称，即为偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6，故选D. (理)(09·全国Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2[答案] A[解析] ∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，∴8π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . ∴φ＝－13π6＋k π.∴当k ＝2时，|φ|有最小值π6.12．(文)(08·四川)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( )A.53B.54C.55D.56[答案] B[解析] 由题意得a b ＝52＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B ，cos B ＝54，选B.(理)(·皖南八校)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，那么a 、b 、c 满足的关系是( )A ．2ab >c 2B ．a 2＋b 2<c 2C ．2bc >a 2D ．b 2＋c 2<a 2[答案] B[解析] ∵cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，A ＋B ＋C ＝π， ∴cos(π－A ＋B )＋2sin A ·sin B <0，∴cos(π－A )cos B －sin(π－A )sin B ＋2sin A sin B <0， ∴－cos A cos B ＋sin A sin B <0，即cos(A ＋B )>0， ∴0<A ＋B <π2，∴C >π2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故应选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________． [答案] a <b <c[解析] ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .14．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14，则sin C 的值为________．[答案]368[解析] ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b ＝10. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝108，又0<C <π，∴sin C ＝368.(理)在△ABC 中，已知sin A sin B cos C ＝sin A sin C cos B ＋sin B sin C cos A ，若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，则abc2的最大值为________．[答案] 32[解析] ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc，∴a 2＋b 2＝3c 2.∴ab c 2＝2ab 2c 2≤a 2＋b 22c 2＝3c 22c 2＝32. 当且仅当a ＝b 时取等号．15．(文)已知sin α＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值为________．[答案] 7[解析] ∵sin α＝35，α为第二象限角，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34，∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝1＋341－34＝7.(理)设a ＝12cos16°－32sin16°，b ＝2tan14°1＋tan 214°，c ＝1－cos50°2，则a 、b 、c 的大小关系为________(从小到大排列)．[答案] a <c <b[解析] a ＝sin14°，b ＝sin28°，c ＝sin25°， ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，∴a <c <b .16．当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为________．[答案] 4[解析] ∵0<x <π2，∴tan x >0，cot x >0，∴f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x sin2x ＝cos 2x ＋4sin 2xsin x cos x＝cot x ＋4tan x ≥2cot x ·4tan x ＝4.等号在cot x ＝4tan x ，即tan x ＝±12时成立．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255， (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．[解析] (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45. 又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)． ∴cos(α－β)＝2－452＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365. 18．(本小题满分12分)(文)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值． [分析] 欲求ω和a ，需将已知三角函数表达式化为一角一函形式，即A sin(ωx ＋φ)＋C 或A cos(ωx ＋φ)＋C 的形式，然后根据图象最高点求ω，通过变量x 的范围，确定取得最值时变量的取值，进而求a 的值．[解析] (1)f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin(2ωx ＋π3)＋32＋a ，依题意得2ω·π6＋π3＝π2，解得：ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a .又当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6时取得最小值－12＋32＋a . 由题设知－12＋32＋a ＝ 3.故a ＝3＋12.(理)已知向量m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，函数f (x )＝m ·n ，若f (x )相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值，并求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，△ABC 的面积S ＝53，b ＝4，f (A )＝1，求边a 的长．[解析] (1)f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6， 由题意可得T ＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1时，f (x )有最大值2， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，∴x ＝k π＋π6(k ∈Z )， ∴x 的集合为{x |x ＝π6＋k π，k ∈Z }． (2)f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1 ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12 0<A <π，∴2A ＋π6＝5π6， ∴A ＝π3，S ＝12bc sin π3＝53，∴c ＝5， 由余弦定理得：a 2＝16＋25－2×4×5cos π3＝21， ∴a ＝21.19．(本小题满分12分)据气象台预报，距S 岛300km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30km 的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270km 以内的地区将受到台风的影响．问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．[分析] 设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化．S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270，这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t 小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .[解析] 如下图，设台风中心经过t 小时到达B 点，由题意：∠SAB ＝90°－30°＝60°，在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°，由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos ∠SAB＝3002＋(30t )2－2·300·30t cos60°，若S 岛受到台风影响，则应满足条件：|SB |≤270即SB 2≤2702化简整理得t 2－10t ＋19≤0解之得5－6≤t ≤5＋6，所以从现在起，经过5－6小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(小时)答：S 岛从现在起经过(5－6)小时受到台风影响，且持续时间为26小时．本小题满分12分)(文)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．[解析] (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之得，tan α＝－43，或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，∴tan α＝－43. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴tan α2<0， 由tan α＝－43求得，tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. (理)求y ＝sin3x ·sin 3x ＋cos3x ·cos 3x cos 22x＋sin2x 的最小值． [解析] ∵sin3x ·sin 3x ＋cos3x ·cos 3x＝(sin x ·sin3x )·sin 2x ＋(cos x ·cos3x )·cos 2x＝12[(cos2x －cos4x )sin 2x ＋(cos2x ＋cos4x )cos 2x ] ＝12[(sin 2x ＋cos 2x )cos2x ＋(cos 2x －sin 2x )·cos4x ] ＝12(cos2x ＋cos2x ·cos4x )＝cos2x ·1＋cos4x 2＝cos 32x .∴y ＝cos 22x cos 22x＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1即2x ＋π4＝2k π－π2， x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，y min ＝－ 2. 21．(本小题满分12分)(文)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． [解析] (1)由题意及正弦定理得，AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减得，AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C 得， BC ·AC ＝13，∵AB ＝1，∴AC ＋BC ＝2， 由余弦定理得，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°. (理)在△ABC 中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B sin C ＝34，试判断△ABC 的形状，并说明理由． [解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， 由已知得，b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12， ∵0<A <π，故A ＝π3. (2)∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B . 由sin B sin C ＝34得，sin B sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝34， 即sin B ⎝⎛⎭⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34，∴32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， ∴34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34，32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝1. 又∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6， ∴2B －π6＝π2，即B ＝π3. ∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形． 22．(本小题满分14分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )，(1)求f (x )的解析表达式；(2)若α是三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．[解析] (1)由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.于是tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy＝2x . ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2. (2)∵α是三角形的最小内角，∴0<α≤π3， ∵x ＝tan α，∴0<x ≤ 3.∵1f (x )＝1＋2x 2x ＝2x ＋1x ≥2 2 (当且仅当x ＝22时取等号)． 故函数f (x )的值域为(0，24]。
温州市平阳县鳌江中学高三数学一轮复习全能测试 专题三 三角函数 文
平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试专题三 三角函数本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25242、【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移12个单位 （D ） 向右平移12个单位 3、已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是 （ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B )(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数4、已知角α的终边上一点P （4k ，3k ）（k≠0），则sin α的值为A ．53B ．53-C ．53± D ．不能确定 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若︒===45,2,3B b a ，则角A= （ ）A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°6、25242sin =a ，则)4cos(2a -π的值为 A ．51 B ．57 C ．51± D ．57±7、如图是函数)2,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y 与的图象，那么A ．6,2πϕω-==B ．6,2πϕω==C ．6,1110πϕω==D ．6,1110πϕω-==8、【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是9、若函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称，则)(x f 的表达式为)(x f =（ ）A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x10、对任何锐角α，β，下列不等式一定成立的是（ ）A ．sin （α+β）＞sin α+sin βB ．sin （α—β）＞sin α—sin βC ．cos （α+β）＜cos α+cos βD ．cos （α—β）＜cos α—cos β非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11、【2102高考北京文11】在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。
高三数学一轮复习能测试 专题三 三角函数 试题
卜人入州八九几市潮王学校平阳县鳌江2021届高三一轮复习全能测试专题三三角函数本套试卷分第一卷和第二卷两局部,总分值是150分，考试时间是是120分钟. 本卷须知： 1.2.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：假设事件A,B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕； 球的外表积公式：24R S π=〔其中R 表示球的半径〕；球的体积公式：343VR π=〔其中R 表示球的半径〕； 锥体的体积公式：Sh V 31=〔其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高〕；柱体的体积公式Sh V=〔其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高〕； 台体的体积公式：)(312211S S S S h V++= 〔其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高〕．第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求〕 1、【2021高考全国文4】α为第二象限角，3sin 5α=，那么sin 2α= 〔A 〕2524-〔B 〕2512-〔C 〕2512〔D 〕2524 2、【2021高考文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象〔A 〕向左平移1个单位〔B 〕向右平移1个单位 〔C 〕向左平移12个单位〔D 〕向右平移12个单位 3、函数1)2sin()(--=ππx x f 〕A ．)(x f 是周期为1的奇函数B )(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数 D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数4、角α的终边上一点P 〔4k ，3k 〕〔k≠0〕，那么sin α的值是A ．53 B ．53-C ．53±D ．不能确定5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，假设︒===45,2,3B b a ，那么角A=〔〕A ．30°B ．30°或者105°C ．60°D ．60°或者120° 6、25242sin =a ，那么)4cos(2a -π的值是 A ．51 B ．57 C ．51± D ．57±7、如图是函数)2,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y与的图象，那么A ．6,2πϕω-==B ．6,2πϕω==C ．6,1110πϕω==D ．6,1110πϕω-==8、【2021高考文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 9、假设函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称，那么)(x f 的表达式为)(x f =〔〕A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x10、对任何锐角α，β，以下不等式一定成立的是〔〕A ．sin 〔α+β〕＞sin α+sin βB ．sin 〔α—β〕＞sin α—sin βC ．cos 〔α+β〕＜cos α+cos βD ．cos 〔α—β〕＜cos α—cos β非选择题局部〔一共100分〕本卷须知：1．用黑色字迹的签字笔或者钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使需要用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或者钢笔描黑．二、填空题：本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分．11、【2102高考文11】在△ABC 中，假设a =3，b=3，∠A=3π，那么∠C 的大小为_________。
高三数学一轮复习高考总复习测评卷 三角函数 章末质量检测 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校金新学案高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(四)三角函数————————————————————————————————————【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值是() A．1 B．2sin2αC．0 D．22．角θ的终边过点(4，－3)，那么cos(π－θ)的值是()A. B．－C. D．－3．(2021年卷)函数y＝lncos x的图象是() 4．以下函数中，在区间(0，)上为增函数且以π为周期的函数是() A．y＝sin B．y＝sin xC．y＝－tan x D．y＝－cos2x5．函数y＝sin(x－)cos(x－)，那么以下判断正确的选项是() A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(，0)B．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(，0)C．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(，0)D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(，0)6．函数y＝2sin2－cos2x，那么它的周期T和图象的一条对称轴方程是() A．T＝2π，x＝B．T＝2π，x＝C．T＝π，x＝D．T＝π，x＝7．以下关系式中正确的选项是() A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°8．函数f(x)＝sin(x＋α)cos(x＋α)，当x＝1时，函数f(x)获得最大值，那么α的一个取值是()A. B.C. D.π9．函数f(x)的局部图象如下列图，那么f(x)的解析式可能为() A．f(x)＝2sin(－) B．f(x)＝cos(4x＋)C．f(x)＝2cos(－) D．f(x)＝2sin(4x＋)10．＝－5，那么tanα的值是() A．－2 B．2C. D．－11．将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换得到函数y＝1－2sin2x 的图象，那么f(x)是()A．－2cos x B．2cos xC．－2sin x D．2sin x12．函数f(x)＝2sinωx在区间上的最小值为－2，那么ω的取值范围是()A.∪[6，＋∞)B.∪C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D.∪第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上)13．函数y＝log2(1＋sin x)＋log2(1－sin x)，当x∈[－，]时的值域为________．14．角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，那么－＝________.15．函数f(x)＝sin x＋tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈，且公差d≠0，假设f(a1)＋f(a2)＋…f(a27)＝0，那么当k＝________时，f(a k)＝0.16①假设f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈，那么f(sinθ)>f(cosθ)；②假设锐角α，β满足cosα>sinβ，那么α＋β<；③假设f(x)＝2cos2－1，那么f(x＋π)＝f(x)对x∈R恒成立；④要得到函数y＝sin的图象，只需将y＝sin的图象向右平移________()．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题总分值是10分)α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cosβ＝－.求sinα.18．(本小题总分值是12分)tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π.(1)求tanθ的值；(2)求的值．19．(本小题总分值是12分)函数f(x)＝4sin2(x＋)＋4sin2x－(1＋2)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心；(2)求函数f(x)在区间上的值域．20．(本小题总分值是12分)函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－，]的简图；(2)写出函数的最小正周期和单调递增区间；试问：当x为何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)假设x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．21.(本小题总分值是12分)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)(x∈R)的局部图象如下列图．(1)求f(x)的表达式；(2)设g(x)＝f(x)－f，求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合．22．(本小题总分值是12分)如图为一个缆车示意图，该缆车半径为，圆上最低点与地面间隔为,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间隔是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开场转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是是多少？答案：一、选择题1．D原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.2．Bcos(π－θ)＝－cosθ＝－，应选B.3．A由得0＜cos x≤1，∴lncos x≤0，排除B、C、D，应选A.4．D由题意知函数以π为周期，可排除A、B，由函数在(0，)上为增函数，可排除C，应选D.5．C f(x)＝sin(2x－)，故此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(，0)．6．D∵y＝2sin2－cos2x＝1－cos－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝1＋sin，所以其周期T＝π，对称轴方程的表达式可由2x－＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，故当k ＝0时的一条对称轴方程为x＝.7．C∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.又∵g(x)＝sin x在x∈上是增函数，∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.8．D f(x)＝sin(x＋α)cos(x＋α)＝sin(πx＋2α)，当x＝1时，f(1)＝sin(π＋2α)，验证四个选项，得α＝π时，f(1)获得最大值，应选D. 9．C由图可知T＝π⇒ω＝，代入点B(0,1)验证可知，选C.10．D由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得＝－5，∴tanα＝－.11．B∵y＝1－2sin2x＝cos2x，作关于x轴的对称变换得到y＝－cos2x，然后再向左平移个单位得到函数y＝－cos2(x＋)＝sin2x，即y＝sin2x＝f(x)·sin x.∴f(x)＝2cos x.12．D当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥，当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，由题意知－ω≥，即ω≤－，综上知，ω的取值范围是∪.二、填空题13．【解析】y＝log2(1－sin2x)＝log2cos2x，当x＝0时，y max＝log21＝0，当x＝时，y min＝－1，∴y∈[－1,0]【答案】[－1,0]14．【解析】∵角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，在角α的终边上取一点P(x0，－3x0)(x0<0)，∴－3x0>0，∴p在第二象限，∴－＝－＝1＋1＝2.【答案】215．【解析】因为函数f(x)＝sin x＋tan x是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈.假设f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a27)＝0，那么必有f(a14)＝0，所以k＝14.【答案】1416．【解析】①由可得函数在[0,1]上为减函数，且由于θ∈⇒1>sinθ>cosθ>0，故有f(sinθ)<f(cosθ)，故①错；②由角的范围可得：cosα>sinβ＝cos⇒α<－β⇒α＋β<，故②正确；③错，易知f(x)＝cos x，其周期为2π，故应有f(x)＝f(x＋2π)恒成立，④错，应向右平移个单位得到．【答案】②三、解答题17．【解析】∵β∈，cosβ＝－，∴sinβ＝.又∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<，又sin(α＋β)＝，∴<α＋β<π，cos(α＋β)＝－＝－＝－，∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝·－·＝.18．【解析】(1)由tan2θ＝＝－2，解得tanθ＝－或者tanθ＝，∴π＜2θ＜2π，＜θ＜π，∴tanθ＝－.(2)原式＝＝＝＝3＋2.19．【解析】依题意得f(x)＝4sin2(x＋)＋4sin2x－(1＋2)＝2[1－cos(2x＋)]－2cos2x－1＝4sin(2x－)＋1. (1)函数f(x)的最小正周期是T＝＝π.由sin(2x－)＝0得2x－＝kπ，∴x＝＋，∴函数f(x)的图象的对称中心是(＋，1)(其中k∈Z)．(2)当x∈[，]时，2x－∈[，]，sin(2x－)∈[，1]，4sin(2x－)＋1∈[3,5]，故函数f(x)在区间[，]上的值域是[3,5]．20．【解析】(1)∵y＝|cos x＋sin x|＝，当x∈时，其图象如下列图．(2)函数的最小正周期是π，其单调递增区间是(k∈Z)．由图象可以看出，当x＝kπ＋(k∈Z)时，该函数的最大值是.(3)假设x是△ABC的一个内角，那么有0＜x＜π，∴0＜2x＜2π.由y2＝1，得|cos x＋sin x|2＝1⇒1＋sin2x＝1.∴sin2x＝0，∴2x＝π，x＝，故△ABC为直角三角形．21．【解析】(1)由图象可知：A＝1，函数f(x)的周期T满足：＝－＝，T＝π，∴T＝＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又f(x)图象过点，∴f()＝sin＝1，＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，故φ＝.∴f(x)＝sin.(2)解法1：g(x)＝f(x)－f＝sin－sin＝sin－sin＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x＝2sin2x，由2x＝2kπ－(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，∴g(x)的最小值为－2，相应的x的取值集合为.解法2：g(x)＝f(x)－f(x＋)＝sin－sin＝sin－cos＝2sin＝2sin2x，由2x＝2kπ－(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，∴g(x)的最小值为－2，相应的x的取值集合为.22．【解析】(1)以圆心O为原点，建立如下列图的平面直角坐标系，那么以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故点B的坐标为，)，∴h＝＋.(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，∴h＝＋，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4 m.由sin＝1得t－＝，∴t＝30∴缆车到达最高点时，用的时间是最少为30秒．。
浙江省平阳县第三中学高三数学复习 三角函数解答题二
1、已知点A 、B 是直线y=0 与函数)0,0)(sin()(πϕϕω<<>+=A x A x f 图像的两个相邻交点，且3||π=AB ，且在12x π=时取得最大值4． (1) 求()f x 的解析式；(2) 求()f x 的单调递减区间；(3) 若f (23α +12π)=125,求sin α．2、已知)0(1)3cos(2cos 2)(02>-++==ωπωωx xx f y 与函数的最小正周期为π，（I ）求ω的值；（II ）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值.3、已知ABC ∆中的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，定义向量()2sin ,3m B =-，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭且//m n ．(1)求函数()sin 2cos cos2sin f x x B x B =-的单调递增区间；(2)如果2b =，求ABC ∆的面积的最大值4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求△ABC 的面积S ．5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知 )2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2B B x B x x f +-+=π，其图象过点（π6,12）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2=b ，A A C B 2sin 2)sin(sin =-+，且2π≠A ，求△ABC 的面积。
y x O6、已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 图象经过点（1，21），点P 为相邻的最高点M ，N 间的最低点，且△MPN 为直角三角形， (1)求)(x f 的解析式；（2）若54)(0=x f ，且)34,32(0-∈x 求)21(0+x f 的值。
浙江省平阳县第三中学高三数学复习 三角函数恒等变换
浙江省平阳县第三中学高三数学复习三角函数恒等变换一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为 .2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为 .4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为 _________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是 ___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为 ____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为 .12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为 _____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为 .17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为 .三、解答题1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和 B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.9.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)10.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.12.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.13.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.14.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.15.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.16.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.17.求值：18.已知△ABC的面积，解此三角形.19.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.20.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.21.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.22.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.。
高三数学一轮复习考纲、知识点及题库 4.3 三角函数的图象与性质
又 f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当 sin x＝－ 3时，f(x)有最小值， 2
即
f
x
min
2
3 2
1
1 2
33 2
.
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： (1)形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值域(最 值)； (3)形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos x，化为关于 t 的二 次函数求值域(最值)． (4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
12
12
所以函数
f(x)的单调递减区间是
k
12Z
．
7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是
．
【答案】 sin 68°>cos 23°>cos 97°
【解析】 sin 68°＝cos 22°，
又 y＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，
x＋π∈ 6
6
,
2
时，f(x)的值域为
1 2
,1
，
∴由函数的图象(图略)知，π≤a＋π≤7π， 2 66
∴π≤a≤π. 3
(2)(2018·长沙质检)函数 y＝sin x－cos x＋sin xcos x 的值域为
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平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试专题三 三角函数本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25242、【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移12个单位 （D ） 向右平移12个单位 3、已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是 （ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B )(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数4、已知角α的终边上一点P （4k ，3k ）（k≠0），则sin α的值为A ．53B ．53-C ．53± D ．不能确定 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若︒===45,2,3B b a ，则角A= （ ）A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°6、25242sin =a ，则)4cos(2a -π的值为 A ．51 B ．57 C ．51± D ．57±7、如图是函数)2,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y 与的图象，那么A ．6,2πϕω-==B ．6,2πϕω==C ．6,1110πϕω==D ．6,1110πϕω-== 8、【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是9、若函数)0,4()4sin()(ππP x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称，则)(x f 的表达式为)(x f =（ ）A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x10、对任何锐角α，β，下列不等式一定成立的是（ ）A ．sin （α+β）＞sin α+sin βB ．sin （α—β）＞sin α—sin βC ．cos （α+β）＜cos α+cos βD ．cos （α—β）＜cos α—cos β非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11、【2102高考北京文11】在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________。
12、【2012高考陕西文13】在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a=2 ，B=6π，b= . 13、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ＝ .14、已知函数()ϕω+=x y cos [))2,0,0(πϕω∈>的部分图象如右图所示，则ϕ的值为________.15、若)2,0(πα∈，且21)22sin(cos 2=++απα，则tan α= .16、已知()sin()f x A x ωϕ=+,(),()0f A f αβ==,αβ-的最小值为3π,则正数ω= ．17、对于ABC ∆，有如下命题：①若B A 2sin 2sin =,则ABC ∆为等腰三角形；②若B A cos sin =则ABC ∆为直角三角形；③若1cos sin sin 222<++C B A 则ABC ∆为钝角三角形.其中正确命题的序号是——三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且。
（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.19、【2012高考四川文18】(本小题满分14分)已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--。
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若()10f α=sin 2α的值。
20、（本题满分14分）如图已知C B A ,,是一条直路上的三点，km AB 1=,km BC 2=，从三点分别遥望塔M ,在A 处看见塔在北偏东︒60，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东︒60，求塔M 到直路ABC 的最短距离。
21、（本题满分15分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量 (1,sin )m A λ=，(sin ,1cos )n A A =+．已知 //m n ．（I ）若2λ=，求角A 的大小； （II）若b c +=，求λ的取值范围。
22、（本题满分15分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--（1）求角A ； （2）若2=a ，求bc 的取值范围．平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试参考答案及评分标准MCBA一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D D C A B C 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11、︒90 12、2 13、35-14、47π 15、1 16、2317、③三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18、（本题满分14分）（1），由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即得tan B =3B π∴=.（2）sinC=2sinA ，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，解得a =2c a ∴==19、（本题满分14分）20、（本题满分14分）解：由条件可知︒=∠30CMB ,︒=∠30AMB ,又km AB 1=,km BC 2=，所以CMB ∆和AMB ∆的面积比为2:1， 即，所以MA MC 2=; …………4分在ACM ∆中，由余弦定理，︒⋅⋅⋅-+=60cos 2922MA MC MA MC ，3=MA , 8分ACM ∆为直角三角形M 到ABC 的最短距离为3。
21、（本题满分15分）解：（Ⅰ）由//m n ，得 22sin 1cos 0A A --=………………1分即 22cos cos 10A A +-=，………………3分即 1cos 2A =或cos 1A =-（舍去），………………5分所以 3A π=………………………………………6分（Ⅱ）由//m n ，得 2sin 1cos 0A A λ--=，即 2cos cos 10A A λλ++-=，………………8分即 1cos A λλ-=或 cos 1A =-（舍去）， 又 22222()2cos 22b c a b c a bcA bc bc +-+--==………………10分21a bc=-221132a b c ≥-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭。
………………12分 综上，λ需要满足1113λλ-≤<，解之得 302λ<≤。
………………………………………15分22、（本题满分15分）解：（1）A A C A ac c a b cos sin )cos(222+=-- ，A A Bac B ac cos sin cos cos 2-=-∴，为锐角三角形ABC ∆0cos ≠∴B 1cos sin 2=∴A A ，12sin =A 即，4,22ππ==∴A A -----------------6分（2）正根据弦定理可得：CcB b A a sin sin sin ==，C B bc sin sin 4=∴-----------8分 B C -=43π，)43sin(sin 4B B bc -=∴π=)sin 22cos 22(sin 4B B B +)2cos 1(22sin 2B B -+= 2)42sin(2+-=⇒πB bc ---------------------------------12分又为锐角三角形ABC ∆，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<∴243020πππB B ，得到B 的范围：)2,4(ππ----13分∴)43,4(42πππ∈-B ，则bc 范围：（2]22,2+----15分。