额尔古纳市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

额尔古纳市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．
若
，则等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2．
设函数
，则有（ ）
A ．f （x
）是奇函数，
B ．f （x
）是奇函数， y=b x
C ．f （x
）是偶函数
D ．f （x
）是偶函数，
3． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88% 4． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f
（+x ）=f （﹣x ），则f
（
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
5． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形
个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
7． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15，10，25 B ．20，15，15
C ．10，10，30
D ．10，20，20
8． 已知函数21
1,[0,)22
()13,[,1]2
x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x
（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）
A ．3[,1)4 B
．1[,
86
C ．31[,)162
D ．3[,3)8
9． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、()f x =x 与()f x =2x x
B 、()1f x x =- 与()f x =
C 、()f x x =与
()f x = D 、()f x x =与2()f x =
10．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
11
．如图，已知平面
=，
．是直线上的两点，是平面
内的两点，且
，，，．是平面
上的一动点，且有
，则四棱锥
体积的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）
A ．
B ．a 3＞b 3
C ．a 2＞b 2
D ．a ＞|b|
二、填空题
13．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；
②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．
14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－m
x
（m∈R）在区间[1，e]上取得
最小值4，则m＝________．
15．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次
服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）
16．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是．17．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于．
18．已知函数y=log（x2﹣ax+a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．
三、解答题
19．（本小题满分12分）菜农为了蔬菜长势良好，定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，待蔬菜成熟时将采集上市销售，但蔬菜上仍存有少量的残留农药，食用时可用清水清洗干净，下表是用清水x
x i1234 5
y i5753403010
（1
（2）若用解析式y＝cx2＋d作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，求其解析式；（c，a精确到0.01）；附：设ωi＝x2i，有下列数据处理信息：ω＝11，y＝38，
（ωi－ω）（y i－y）＝－811，（ωi－ω）2＝374，
对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为
（3）为了节约用水，且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水．（结果保留1位有效数字）
20．已知圆C的圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）点A（1，1），B（﹣2，0），点P在圆C上运动，求|PA|2+|PB|2的最大值．
21．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线
在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值；
（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且2S n=a n+1+2n．
（1）求a2；
（2）求数列{a n}的通项公式a n；
（3）令b n=（2n﹣1）（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．
23．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为
合计
24．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：
（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．
额尔古纳市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∴（﹣1，2）=m（1，1）+n（1，﹣1）=（m+n，m﹣n）
∴m+n=﹣1，m﹣n=2，
∴m=，n=﹣，
∴
故选B．
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题等．
2．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
3．【答案】B
【解析】
4．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），
∵f（+x）=f（﹣x），
可知函数的对称轴为x==，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f（）=2或﹣2
故选D．
5．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）为奇函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），
∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），
即﹣f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，
则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，
f（90）=f（88+2）=f（2），
由﹣f（x+4）=f（x），
得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），
则f（2）=0，
故f（89）+f（90）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
6．【答案】B
【解析】解：∵a=3，，A=60°，
∴由正弦定理可得：sinB===1，
∴B=90°，
即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B ．
【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．
7． 【答案】B
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=
，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
800×
=20，600×
=15，600×
=15，
故选B ．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则
314t <<，由1324x +=，可得14x =，由2
13x =，可得3x =121113,422x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则
()212123133,162x f x x x ⎡⎫
=⋅∈⎪⎢⎣⎭
.故本题答案选C.
考点：数形结合．
【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.
9．【答案】C
【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。

故选C。

考点：同一函数的判定。

10．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
11．【答案】A
【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积
【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

因为，所以PB=2PA。

作于M，则。

令AM=t，则
所以即为四棱锥的高，
又底面为直角梯形，
所以
故答案为：A
12．【答案】B
【解析】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1，=﹣，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然B正确．
a2 =1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选B．
【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
二、填空题
13．【答案】①②④．
【解析】解：①连结BD ，B ′D ′，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD ′B ′，所以平面MENF ⊥平面BDD ′B ′，所以①正确．
②连结MN ，因为EF ⊥平面BDD ′B ′，所以EF ⊥MN ，四边形MENF 的对角线EF 是固定的，所以要使面积
最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即x=时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小．所以②正确．
③因为EF ⊥MN ，所以四边形MENF 是菱形．当x ∈[0，]时，EM 的长度由大变小．当x ∈[，1]时，EM 的长度由小变大．所以函数L=f （x ）不单调．所以③错误．
④连结C ′E ，C ′M ，C ′N ，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C ′EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C ′EF 的面积是个常数．M ，N 到平面C'EF 的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数，所以④正确． 故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
14．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2
x m x ，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e. 15．【答案】
, 无．
【解析】【知识点】等比数列
【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为毫克，
所以）=300，=350．
由，
所以是一个等比数列，
所以
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为：, 无．
16．【答案】．
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
17．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
18．【答案】a≤4．
【解析】解：令t=x 2
﹣ax+a ，则由函数f （x ）=g （t ）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，
可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （2）＞0，
故有
，解得a ≤4，
故实数a 的取值范围是a ≤4， 故答案为：a ≤4
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：（1）
根据散点图可知，x 与y 是负相关． （2）根据提供的数据，先求数据（ω1，y 1），（ω2，y 2），（ω3，y 3），（ω4，y 4），（ω5，y 5）的回归直线
方程，y ＝cω＋d ，
＝－811374
≈－2.17， a ^＝y －c ^
ω＝38－（－2.17）×11＝61.87.
∴数据（ωi ，y i ）（i ＝1，2，3，4，5）的回归直线方程为y ＝－2.17ω＋61.87， 又ωi ＝x 2i ，
∴y 关于x 的回归方程为y ＝－2.17x 2＋61.87.
（3）当y ＝0时，x ＝61.872.17＝6187
217≈5.3.估计最多用5.3千克水．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）…
圆心在射线3x﹣y=0（x≥0）上，所以3a﹣b=0…①．…
圆与直线x=4相切，所以|a﹣4|=r…②…
圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以…③…
将①②代入③，可得（3a+2）2+12=（a﹣4）2，化简得2a2+5a=0，解得a=0或（舍去）…
所以b=0，r=4，于是，圆C的方程为x2+y2=16．…
（Ⅱ）假设点P的坐标为（x0，y0），则有
．…
=38+2（x0﹣y0）．下求x0﹣y0的最大值．…
解法1：设t=x
﹣y0，即x0﹣y0﹣t=0．该直线与圆必有交点，所以，解得，等号当且仅当
直线x0﹣y0﹣t=0与圆x2+y2=16相切时成立．
于是t的最大值为，所以|PA|2
+|PB|2的最大值为．…
解法2：由可设x0=4sinα，y0=4cosα，于是，
所以当时，x
﹣y0取到最大值，
所以|PA|2
+|PB|2的最大值为．…
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题．
21．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；
试题解析：
（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在
是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得
）
∴函数存在极小值；
（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……
（*），令，，
则，
∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，
即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，
∴，
结合（*）有，即实数的取值范围为．
22．【答案】
【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，
∴a2=4…1；
（2）当n≥2时，2a n=2s n﹣2s n﹣1=a n+1+2n﹣a n﹣2（n﹣1）=a n+1﹣a n+2，
∴a n+1=3a n﹣2，
∴a n+1﹣1=3（a n﹣1）…4，
∴，
∴{a n﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，
∵，
∴，
∴；
（3）∴ (8)
∴① (9)
∴②
①﹣②得：，
=，
=（2﹣2n）×3n﹣4， (11)
∴ (12)
【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）由题可知，，，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
，
P（x=200）=，
P（x=400）=，
P（x=600）=…
X
EX==…
【点评】本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，
由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；
（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，
∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，
故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；
（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，
样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，
从上述6人中任取2人的树状图为：
∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，
求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，
∴所求概率p2=．
【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．。