(精校版) 北京文数高考试题文档版(含答案)

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2016年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A
B =
（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 （2）复数
12i
=2i
+- （A ）i （B ）1+i （C ）i -（D ）1i -
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）8
（B）9
（C）27
（D）36
（4）下列函数中，在区间(1,1)
-上为减函数的是
（A）
1
1
y
x
=
-
（B）cos
y x
=（C）ln(1)
y x
=+（D）2x
y-
=
（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
（A）1（B）2（C2（D）2
（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A）1
5
（B）
2
5
（C）
8
25
（D）
9
25
（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为
（A）−1（B）3（C）7（D）8
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.9 1.9 1.8 1.8 1.7 1.7 1.7 1.7 1.6 1.6
6
2 2 0 8 6 4 2 8 0 30秒跳绳（单位：次） 63
a 75
60
63
72
70
a −1 b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛（B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. （10）函数()(2)1
x
f x x x =
≥-的最大值为_________. （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
(12)已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点为5），则a =_______；
b =_____________.
(13)在△ABC 中，23A π∠=
，3，则b
c
=_________. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种.
三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题13分）
已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和.
（16）（本小题13分）
已知函数f（x）=2sinωx cosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
（17）（本小题13分）
某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费. （18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥
（I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；
(III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ∥平面?说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=过点A （2,0），B （0,1）两点.
（I ）求椭圆C 的方程及离心率；
（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数()3
2
.f x x ax bx c =+++
（I ）求曲线().y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；
（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；
（III ）求证：230a b -＞是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）
6π（10）2（11）3
2
（12）12 （13）1（14）1629
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（I ）等比数列{}n b 的公比329
33
b q b =
==， 所以2
11b b q
=
=，4327b b q ==．
设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．
所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．
（II ）由（I ）知，21n a n =-，1
3n n b -=． 因此1
213n n n n c a b n -=+=-+．
从而数列{}n c 的前n 项和
()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+
()12113213n n n +--=+-
2
31
2
n n -=+．
（16）（共13分）
解：（I ）因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+
sin 2cos2x x ωω=+
24x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以()f x 的最小正周期22ππ
ωω
T ==． 依题意，
π
πω
=，解得1ω=．
（II ）由（I ）知()24f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭．
函数sin y x =的单调递增区间为2,22
2k k π
πππ⎡⎤
-+
⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）．
由2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，
得388
k x k ππ
ππ-
≤≤+．
所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）
． （17）（共14分）
解：（I ）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频 率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．
（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
10.5=（元）． （18）（共13分）
解：（I ）因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C DC P ⊥． 又因为DC C ⊥A ， 所以DC ⊥平面C PA ．
（II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ， 所以C AB ⊥A ． 因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C P ⊥AB ． 所以AB ⊥平面C PA ． 所以平面PAB ⊥平面C PA ．
（III ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面C F E ．证明如下： 取PB 中点F ，连结F E ，C E ，CF ．
又因为E 为AB 的中点， 所以F//E PA ．
又因为PA ⊄平面C F E ， 所以//PA 平面C F E ．
（19）（共14分）
解：（I ）由题意得，2a =，1b =．
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=． 又2
2
3c a b -= 所以离心率3c e a =
=． （II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则22
0044x y +=．
又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0
022
y y x x =
--． 令0x =，得0022y y x M =-
-，从而0
02112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为00
1
1y y x x -=
+． 令0y =，得001
x x y N =-
-，从而0
0221x x y N AN =-=+-．
所以四边形ABNM 的面积
1
2
S =
AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛
⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
()
22000000000044484
222x y x y x y x y x y ++--+=
--+ 000000002244
22
x y x y x y x y --+=
--+
2=．
从而四边形ABNM 的面积为定值． （20）（共13分）
解：（I ）由()3
2
f x x ax bx c =+++，得()2
32f x x ax b '=++．
因为()0f c =，()0f b '=，
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3
2
44f x x x x c =+++，
所以()2
384f x x x '=++．
令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或2
3
x =-
． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：
所以，当0c >且32027c -
<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭，
32,03x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，使得()()()1230f x f x f x ===．
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
信达 由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点． （III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，
此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()2
32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ． 当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增；
当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增．
所以()f x 不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->．
故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．
当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()2
32442f x x x x x x =++=+只有两个不同 零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．
因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．。