[整理]64定积分的应用
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授课课题
定积分的应用
教学
目标和要求
掌握利用定积分来求解平面图形的面积和旋转体的体积
教学
重点和难点
平面图形的面积
旋转体的体积
教学方法
情景教学法
教学手段
板书PPT
授课时间
第10周
课时累计
38
教学过程
教学步骤及教学内容
时间分配
一，复习引入
（1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关
（2）并且掌握了定积分的直接积分法
解：由利润函数 = 得
=
、6
P105 T4、6、9
课后反思
定积分的应用主要体现在平面图形的面积和旋转体的体积，这次课主要学习-平面图形的面积和旋转体积的运算，由于学生开始接触，所以在面积和定积分之间的转换不明确，所以学起来理解有点困难，所以在课堂中多加入例题加以理解。
（一）安全评价的内涵即：体积微元为
目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。于是，该立体的体积为
安全评价的基本原则是具备国家规定资质的安全评价机构科学、公正和合法地自主开展安全评价。例2计算椭圆 所围成的图形绕 轴旋转而成的立体体积.
计算由曲线 直线 ， 及 轴所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而生成的立体的体积.
取 为积分变量，则 ，对于区间 上的任一区间
20
10
15
教学步骤及教学内容
时间分配
它所对应的窄曲边梯形绕 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以 为底半径， 为高的圆柱体体积.即：体积元素为
所求的旋转体的体积为
表三：周围环境概况和工艺流程与污染流程；
三、平面图形的面积
由曲线 及直线 与 ( )与 轴所围成的曲边梯形面积 . 其中： 为面积元素.
由曲线 与 及直线 ，
( )且 所围成的图形面积 .
其中： 为面积元素.
相应地,曲线x=φ(y),直线y=c,y=d(c<d)及x=0所围图形的面积
15
教学步骤及教学内容
时间分配
曲线x=φ(y), x=ψ(y)直线y=c,y=d(c<d)所围图形的面积
第一步选取积分变量,例如选取 ,并确定其范围,例如 ,在其上任取一个子区间 ;
第二步以点 处的函数值 为高, 为底的矩形面积为 近似值,即 .
上式右端 叫做面积微元,记为 ,于是面积A就是将这些微元在区间 上的无限累加,即从a到b的定积分, .
概括上述过程,对一般的定积分问题,所求A的积分表达式,可按以下几个步骤确定:
（3）生产、储存烟花爆竹的建设项目；例1求由曲线 及直线 ， 和 轴所围成的三角形绕 轴旋转而生成的立体的体积.
解：取 为积分变量，则
意愿调查评估法（简称CV法）是指通过调查等方法，让消费者直接表述出他们对环境物品或服务的支付意愿（或接受赔偿意愿），或者对其价值进行判断。在很多情形下，它是唯一可用的方法。如用于评价环境资源的选择价值和存在价值。
环境影响评价工程师课主持进行下列工作：解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆 及 轴所围成的图形绕 轴旋转所生成的立体.
在 处 ，用垂直于 轴的平面去截立体所得截面积为
A.环境影响报告表
疾病成本法和人力资本法是用于估算环境变化造成的健康损失成本的主要方法，或者说是通过评价反映在人体健康上的环境价值的方法。
2、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)
由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.
取定轴为 轴，且设该立体在过点 ， 且垂直于 轴的两
个平面之内，以 表示过点 且垂直于 轴的截面面积.
（1）内涵资产定价法取 为积分变量，它的变化区间为 .立体中相应于 上任一小区间 的一薄片的体积近似于底面积为 ，高为 的扁圆柱体的体积.
(1)在区间 上任取一个微小区间 ,然后写出在这个小
教学步骤及教学内容
时间分配
区间上的部分量 的近似值,记为 (称为 的微元)；
（2）将微元 上无限“累加”，即在 上积分，得
上述两步解决问题的方法称为微元法.
微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的应用------凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题,一般可通过微元法得到解决.
五、定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数,要求总函数的问题.已知边际成本函数MC,边际收入函数MR,则总成本函数C(q),总收入函数R(q)可以表示为
其中 为固定成本，一般有
由总利润函数 得
=
例3.某产品边际成本为MC=3+q（万元/百台），边际收入MR=12-q（万元/百台），固定成本为5万元，试求利润函数L（q）.
（3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法
（4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？
新课：
二、定积分的微元法
微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法,我们回顾一下解决曲边梯形面积的四个步骤,其中关键是第二步,即确定 .其形式与积分式中的被积表达形式具有相同的形式.如果把 用 替代, 用 替代,这样我们把求曲边梯形面积的四个步骤化为两步:
例:计算抛物线 与直线 所围成的图形面积.
解：1、先画所围的图形简图
解方程 ,得交点： 和 .
2.选择积分变量并定区间
选取 为积分变量，则
3.给出面积元素
在 上，
在 上，
4.列定积分表达式
另解：若选取 为积分变量，则
显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题
四体积
1、旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴.
定积分的应用
教学
目标和要求
掌握利用定积分来求解平面图形的面积和旋转体的体积
教学
重点和难点
平面图形的面积
旋转体的体积
教学方法
情景教学法
教学手段
板书PPT
授课时间
第10周
课时累计
38
教学过程
教学步骤及教学内容
时间分配
一，复习引入
（1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关
（2）并且掌握了定积分的直接积分法
解：由利润函数 = 得
=
、6
P105 T4、6、9
课后反思
定积分的应用主要体现在平面图形的面积和旋转体的体积，这次课主要学习-平面图形的面积和旋转体积的运算，由于学生开始接触，所以在面积和定积分之间的转换不明确，所以学起来理解有点困难，所以在课堂中多加入例题加以理解。
（一）安全评价的内涵即：体积微元为
目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。于是，该立体的体积为
安全评价的基本原则是具备国家规定资质的安全评价机构科学、公正和合法地自主开展安全评价。例2计算椭圆 所围成的图形绕 轴旋转而成的立体体积.
计算由曲线 直线 ， 及 轴所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而生成的立体的体积.
取 为积分变量，则 ，对于区间 上的任一区间
20
10
15
教学步骤及教学内容
时间分配
它所对应的窄曲边梯形绕 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以 为底半径， 为高的圆柱体体积.即：体积元素为
所求的旋转体的体积为
表三：周围环境概况和工艺流程与污染流程；
三、平面图形的面积
由曲线 及直线 与 ( )与 轴所围成的曲边梯形面积 . 其中： 为面积元素.
由曲线 与 及直线 ，
( )且 所围成的图形面积 .
其中： 为面积元素.
相应地,曲线x=φ(y),直线y=c,y=d(c<d)及x=0所围图形的面积
15
教学步骤及教学内容
时间分配
曲线x=φ(y), x=ψ(y)直线y=c,y=d(c<d)所围图形的面积
第一步选取积分变量,例如选取 ,并确定其范围,例如 ,在其上任取一个子区间 ;
第二步以点 处的函数值 为高, 为底的矩形面积为 近似值,即 .
上式右端 叫做面积微元,记为 ,于是面积A就是将这些微元在区间 上的无限累加,即从a到b的定积分, .
概括上述过程,对一般的定积分问题,所求A的积分表达式,可按以下几个步骤确定:
（3）生产、储存烟花爆竹的建设项目；例1求由曲线 及直线 ， 和 轴所围成的三角形绕 轴旋转而生成的立体的体积.
解：取 为积分变量，则
意愿调查评估法（简称CV法）是指通过调查等方法，让消费者直接表述出他们对环境物品或服务的支付意愿（或接受赔偿意愿），或者对其价值进行判断。在很多情形下，它是唯一可用的方法。如用于评价环境资源的选择价值和存在价值。
环境影响评价工程师课主持进行下列工作：解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆 及 轴所围成的图形绕 轴旋转所生成的立体.
在 处 ，用垂直于 轴的平面去截立体所得截面积为
A.环境影响报告表
疾病成本法和人力资本法是用于估算环境变化造成的健康损失成本的主要方法，或者说是通过评价反映在人体健康上的环境价值的方法。
2、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)
由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.
取定轴为 轴，且设该立体在过点 ， 且垂直于 轴的两
个平面之内，以 表示过点 且垂直于 轴的截面面积.
（1）内涵资产定价法取 为积分变量，它的变化区间为 .立体中相应于 上任一小区间 的一薄片的体积近似于底面积为 ，高为 的扁圆柱体的体积.
(1)在区间 上任取一个微小区间 ,然后写出在这个小
教学步骤及教学内容
时间分配
区间上的部分量 的近似值,记为 (称为 的微元)；
（2）将微元 上无限“累加”，即在 上积分，得
上述两步解决问题的方法称为微元法.
微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的应用------凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题,一般可通过微元法得到解决.
五、定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数,要求总函数的问题.已知边际成本函数MC,边际收入函数MR,则总成本函数C(q),总收入函数R(q)可以表示为
其中 为固定成本，一般有
由总利润函数 得
=
例3.某产品边际成本为MC=3+q（万元/百台），边际收入MR=12-q（万元/百台），固定成本为5万元，试求利润函数L（q）.
（3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法
（4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？
新课：
二、定积分的微元法
微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法,我们回顾一下解决曲边梯形面积的四个步骤,其中关键是第二步,即确定 .其形式与积分式中的被积表达形式具有相同的形式.如果把 用 替代, 用 替代,这样我们把求曲边梯形面积的四个步骤化为两步:
例:计算抛物线 与直线 所围成的图形面积.
解：1、先画所围的图形简图
解方程 ,得交点： 和 .
2.选择积分变量并定区间
选取 为积分变量，则
3.给出面积元素
在 上，
在 上，
4.列定积分表达式
另解：若选取 为积分变量，则
显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题
四体积
1、旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴.