等差数列前n项的和共21页
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复习： 1、等差数列的定义是什么？ 2、等差数列的通项公式是什么？ 3、等差数列有哪些的性质？
身边的问题：
学校为美化校园，决定在道路旁摆放 盆景。从校门口取出花盆到距校门 1米处 开始摆放，每隔1米摆放一盆，学生小王 每次拿两盆，若要完成摆放30盆的任务， 最后返回校门处，问小王走过的总路程是 多少？
小结：1、等差前n项和Sn公式的推导； 2、等差数列的求和公式是
Sn
n(a1 an) 2
Sn n1an(n21)d
说明：两个求和公式的使用-------知三求二.
3、等差前n项和Sn公式的理解.
Thank you
n(a1 an) 2
或
Sn n a1n(n21)d
Sna1a2an a 1 ( a 1 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ]
na1 [12(n1 )d ]
n(n1) na1 2 d
Snna1n(n21)d
等差数列 an 的前n项和公式是：
Sn
n(a1 an) 2
Sn n a1n(n21)d
1．画出示意图：
4m 8m 12m 60m
2．问题化归：即求 4 8 1 2 6 0 ?
Байду номын сангаас
§3.3 等差数列的前n项和
Sn a1a2an
1 2 3 10 ?0
1 1 0 2 9 0 9 5 5 01
共50个101 于是所求的和是 1011005050
2
1 2 3 n ?
n2n3060
解得： n11,7n218 (舍)去
故等差数列4，8，12，16，…前17项的和是612
②．若等差数列4，… ,84的各项的和 是924，则公差d= 4 ．
解： a14,an8,4Sn924
924n(484)
n 21
2
8 44(2 11)d
d4
③．已知一个等差数列的前5项和是60，前10 项和是220，由此可以确定求其前n项和 的公式吗？
（1）n为偶数时：记
n Sn123n 2 (1 n)
（2）n为奇数时：S n 1 2 3 (n 1 ) n =？
S n 1 2 3 (n 1 ) n ?
S n 1 2 3 (n 1 ) n 又 S n n (n 1 ) (n 2 ) 1
2 S n ( 1 n ) ( 1 n ) ( 1 n )
n(n1) Sn 2
③若{an}是公差为d的等差数列，则其前n项和：
S na1a2a3an
又 S n a n a n 1 a n 2 a 1
2 S n (a 1 a n ) (a 2 a n 1 ) (a n a 1 )
(a 1an)(a 1an)(a 1an)
n(a1an)
Sn
联想：
a1 n
an
a1
a1
(n-1)d
回到开始的问题：
1．画出示意图：
4m 8m 12m 60m
2．问题化归：即求4+8+12+……+60=？480
①．等差数列 4, 8, 12, 16 … 的前多少
项和是612？ 解：
a 14 ,d844 ,Sn612
则由公式得到： 4nn(n1)4612
2
解：由题意知： S56,0S10220
15a0a1 1140d5d620,20. 解得：
a d
1
4, 4.
所以 Sn4nn(n 2 1)42n22n
进一步的思考：
从函数的角度怎样理解 Sn = 2n2+2n
y
4
-1 0 1
x
一般地，如果a1,d是确定的，那么
Sn=
na1+
n(n 1) 2
d
dn2 2
(a1
d)n 2
设a
d 2
,b
a1
d 2
,上式写成
Sn ann2 bnn
a0 ? a=0
课外探索
1.已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大?
2、数列{an}的前n项和sn=an2+bn+c， 则此数列为等差数列的充要条件是什么 ？说明理由。
身边的问题：
学校为美化校园，决定在道路旁摆放 盆景。从校门口取出花盆到距校门 1米处 开始摆放，每隔1米摆放一盆，学生小王 每次拿两盆，若要完成摆放30盆的任务， 最后返回校门处，问小王走过的总路程是 多少？
小结：1、等差前n项和Sn公式的推导； 2、等差数列的求和公式是
Sn
n(a1 an) 2
Sn n1an(n21)d
说明：两个求和公式的使用-------知三求二.
3、等差前n项和Sn公式的理解.
Thank you
n(a1 an) 2
或
Sn n a1n(n21)d
Sna1a2an a 1 ( a 1 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ]
na1 [12(n1 )d ]
n(n1) na1 2 d
Snna1n(n21)d
等差数列 an 的前n项和公式是：
Sn
n(a1 an) 2
Sn n a1n(n21)d
1．画出示意图：
4m 8m 12m 60m
2．问题化归：即求 4 8 1 2 6 0 ?
Байду номын сангаас
§3.3 等差数列的前n项和
Sn a1a2an
1 2 3 10 ?0
1 1 0 2 9 0 9 5 5 01
共50个101 于是所求的和是 1011005050
2
1 2 3 n ?
n2n3060
解得： n11,7n218 (舍)去
故等差数列4，8，12，16，…前17项的和是612
②．若等差数列4，… ,84的各项的和 是924，则公差d= 4 ．
解： a14,an8,4Sn924
924n(484)
n 21
2
8 44(2 11)d
d4
③．已知一个等差数列的前5项和是60，前10 项和是220，由此可以确定求其前n项和 的公式吗？
（1）n为偶数时：记
n Sn123n 2 (1 n)
（2）n为奇数时：S n 1 2 3 (n 1 ) n =？
S n 1 2 3 (n 1 ) n ?
S n 1 2 3 (n 1 ) n 又 S n n (n 1 ) (n 2 ) 1
2 S n ( 1 n ) ( 1 n ) ( 1 n )
n(n1) Sn 2
③若{an}是公差为d的等差数列，则其前n项和：
S na1a2a3an
又 S n a n a n 1 a n 2 a 1
2 S n (a 1 a n ) (a 2 a n 1 ) (a n a 1 )
(a 1an)(a 1an)(a 1an)
n(a1an)
Sn
联想：
a1 n
an
a1
a1
(n-1)d
回到开始的问题：
1．画出示意图：
4m 8m 12m 60m
2．问题化归：即求4+8+12+……+60=？480
①．等差数列 4, 8, 12, 16 … 的前多少
项和是612？ 解：
a 14 ,d844 ,Sn612
则由公式得到： 4nn(n1)4612
2
解：由题意知： S56,0S10220
15a0a1 1140d5d620,20. 解得：
a d
1
4, 4.
所以 Sn4nn(n 2 1)42n22n
进一步的思考：
从函数的角度怎样理解 Sn = 2n2+2n
y
4
-1 0 1
x
一般地，如果a1,d是确定的，那么
Sn=
na1+
n(n 1) 2
d
dn2 2
(a1
d)n 2
设a
d 2
,b
a1
d 2
,上式写成
Sn ann2 bnn
a0 ? a=0
课外探索
1.已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大?
2、数列{an}的前n项和sn=an2+bn+c， 则此数列为等差数列的充要条件是什么 ？说明理由。