《九章算术》与小学数学教学

《九章算术》与小学数学教学
秦末战火后，先秦的大批文献失散，于是在汉代便兴起了发掘、删补、诠释各类文献之风。

以张苍、耿寿昌、杜忠、许商、尹咸、刘歆等为代表的一批"善用算律历"者，不仅对原有的数学、历数等文献进行删补，而且开始注意在进一步传习数学知识的过程中，将疏散于天文、历学、制造、农学等各类文献中的数学知识集约化。

首先是张苍，"著书八十篇，言阴阳律历事"，其后有《杜忠算术》十六卷和《许商算术》二十六卷。

作为这类工作的突出成果，在汉代诞生了具有较高集约性并能完全反映当时数学成就的重要著作一一《九章算术》。

（一）中国最古老的数学经典著作《九章算术》
《九章算术》成书于东汉初年（大约在公元50年到100年之间），作者不详，但有人认为"马续就是《九章算术》的编撰者，证据虽不充分，但这是可能的"。

它总结了秦以前中国的主要数学成就，书中收集了246个应用问题和各个问题的解法，并将其分为九章，分门别类地予以撰述介绍。

据数学史学家考证，"算术"在西汉时期是数学的代用名词，"算字的原意是计算用的竹筹。

'算术'这个词汇的本意应当是运用算筹计算的方法。

因为一切繁复的数目计算都要用算筹，所以'算术'包含当时的全部数学知识和计算技能"。

因此《九章算术》的九章数学问题就涉及当时社会生产、生活实践中的各种算术、代数、几何等方面的问题。

九章的主要内容是：
第一章"方田"：田亩面积的计算。

第二章"粟米"：谷物粮食之间按比例的折算。

第三章"衰分"：比例分配的问题。

第四章"少广"：已知面积、体积，反求其一边的宽广等，专讲开平方、开立方。

第五章"商功"：一些工程（筑城、修堤、开渠、堆粮）的计算，包括求体积。

第六章"均输"：合理摊派赋税。

第七章"盈不足"：盈亏、比例问题的解答。

第八章"方程"：线性方程组的解法，用消元法解答了三元一次方程组，出现了负数。

第九章"勾股"：利用勾股定理求解的各种问题。

每章都是先举出问题，然后给出答案，考察一组问题后再给出相应的一种算法，称作"术"，全书共有202个"术"（相当并以实际应用题为导引、以计算规律为中心的体例来撰与论，开创了独具一格的数学专著的理论体系（不同于古希腊逻辑演绎的体系），对中国后世的数学发展与数学教学产生了深远的影响。

（二）涉及当代小学教育的有关数学内容
《九章算术》汇集和总结了秦汉以前的中国数学成就，集中地体现了当时中国数学领域的最高发展水平。

但《九章算术》的编撰者没有撰写那时的基本计算整数四则，所以它并非当时的一本数学启蒙教育著作。

但是随着社会的长足进步、数学科学的迅速发展，前期的高深内容，到后期也许会成为大众化的基本内容。

《九章算术》中的一些算术内容，对照今天的教学大纲，就已经成为小学高年级的数学教学内容。

这些内容归纳起来有以下几个方面：
1．分数四则及其应用。

《九章算术》中的分数知识（包括约分、通分和加减乘除法则）已是相当完整和系统化了，是当时世界上最系统的分数理论。

在方田章的40个问题中，有14个例题说明了分数的四则运算法则。

在其他各章还有很多分数应用题。

《九章算术》称分数加法为"合分"，称减法为"减分"。

"合分"和"减分"都需通分。

方田章的分数加、减法规定了用分母的乘积作公分母，例如其中第7题的计算方法为：
第9题的计算方法为：
但在少广章里有几个问题，则用最小公倍数作公分母。

其中第6题的计算方法为：
分数相乘，叫"乘分"，方法是用相乘分数的分母相乘作分母，分子相乘作分子。

例如方田章第19、24题的计算方法为：
分数除法叫"经分"，方田章的"经分"与现在的计算法则不同，它是用通分来计算的。

例如其中第18题的计算方法为：
后经刘徽注释，才补充了现在通行的将除数的分子、分母颠倒并与被除数相乘的法则：
应该指出，上述计算过程的书写形式是对原著计算法则的现代表示，实际的计算方式是筹算而不是上述的现代笔算。

例如对分数约分，先用筹算求得分母、分子的最大公约数7，其过程如下
的筹式如图1；从91中减去49，余42，如图2；从49中减去42，余7，如图3；从42中连续减去7，第5次余7，如图4。

这时被减数和减数相等，得"等数"7，就是所求的最大公约数。

以7除分母和分子，得最简分数。

这种求最大公约数的方法实质上就是现代数学中的辗转相除法。

《九章算术》的均输章还有很多分数应用题。

例如第25题："今有程耕，一人一日发（翻土）七亩，一人一日耕（犁田）三亩，一人一日×（播种）五亩。

今令一人一日自发、耕、×种之，问治田几何？"它的解答方法是：
1÷（＋＋）＝7×3×5÷（3×5＋7×5＋7×3）＝105÷71＝亩。

这个问题类似于现在小学数学课本中的"工程问题"，其解法也与现在的解法相似。

可见秦汉以前，古人对分数概念的理解已经达到了相当高的水平。

2．各种比例问题。

《九章算术》的粟米章一开始就列举了粮食加工中原料与成品的换算比例："粟米之法：粟米五十，粝米三十，×米二十七，×米二十四，……"。

该章的第1题："今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？"它的解法是："以所有数乘所求率为实（即被除数），以所有率为法（即除数），实如法而一"。

这是说："以法除实所得的商就是所求的数。

"这一题内，粟1斗（10升）是"所有数"，50为"所有率"，30为"所求率"，"依术得糯米10×30÷50＝6升，就是所求数。

"这个问题就是现在小学数学课本中的比例问题，按现在的解法是：
设所求的糯米为x升。

则有比例式50：10＝30：x
所以x＝
x＝10×30÷50
此外，《九章算术》中还有一些复杂的比例问题，如复比例问题、连锁比例问题等。

但现在的小学数学课本均已不再出现。

"衰分"有定量分配的意思，《九章算术》中的"衰分"就是现在小学课本中的比例分配方法。

衰分章的第5题："今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发徭（役）三百七十八人，欲以算数多少衰出之，问各几何？"它的解法是：先将三乡"算"数8758、7236、8356相加得24350，再依术得北乡、西乡、南乡应派的人数分别为：
378×8758÷24350＝人
378×7236÷24350＝人
378×8356÷24350＝人
可见当时的算法，基本上相同于现在的算法。

3．面积和体积的计算。

古代从春秋时期开始，就有按田亩数收税的制度，所以土地面积的计算方法就成为古代算术的重要组成部分。

由此，《九章算术》就以方田章开篇，有关面积的计算主要有：
（1）长方形面积的计算："方田术曰，广从步数相乘得积步"。

"方田"指长方形的田，"广"指长方形的底，"从"（即纵）指长方形的高，"步"是长度的单位，所以长方形的面积等于底乘高。

（2）三角形面积的计算："圭田术曰，半广以乘正从"。

三角形的田，古时叫做"圭田"，"正从"是指垂直于底的那个高，所以三角形的面积等于底与高相乘的一半。

（3）梯形面积的计算：梯形的田称"箕田"，面积等于上、下底相加与高相乘的一半。

（4）圆面积的计算："圆田术曰，半周、半径相乘得积步"。

即圆面积等于πr乘以r。

但当时的周径比率取"周三径一"，所以由此得到的结果是不精确的。

商功章记有许多体积计算的"术"。

正方形柱体叫方堢壔，设a为方边，h为高，则体积等于a2h。

正圆柱体叫圆堢壔，若圆周是c，则体积等于c2h，其中的圆周率取3。

正圆锥体叫圆锥，它的体积是c2h，等等。

以上求积计算内容，都属于现在小学数学课本中的几何初步知识内容。

综上所述，表明现在的小学高年级的一些主要教学内容在1900多年以前中国早已有了系统的论述，并且作为一部传世之作的经典数学教材的重要组成部分，开始向后人传授，所以高级的算术教学在中国有着悠久的历史。

（三）学以致用、培养实用技能的指导思想和以计算为中心的理论体系特点.
《九章算术》中给出的246个问题，绝大多数是当时社会明生产和生活中的实际问题，它们几乎包括了一个以农业为主的封建社会中一切所必需用算的领域。

可以不夸张地说，《九章算术》颇像一本解决实际计算问题的实用手册。

这也正是《九章算术》所表现的数学教育的指导思想。

《九章算术》各章的问题，又按解题法则分为若干类，其解题法则称作"术"，所以全书实质上又是以计算规律构架结集而成的。

《九章算术》的学以致用的目的性和以计算为中心的理论体系特点，深刻地影响着中国以后的数学和数学教育的发展。

在中国，从古代到近代，数学一直被认为是一门实用之学。

出于修订历法与兴修水利等工程的需要，隋、唐在国子监设算学，洋务运动在同文馆内增设
算学馆，都是例证。

在近、现代的小学数学教学大纲中，无不把"学以致用"作为教学的一项目的任务。

中华人民共和国成立以后的小学数学教学大纲也都十分注重培养儿童解决实际问题的能力。

数学教学理论联系实际，为现实服务是中国教育史上的一项好传统。

但数学教学（包括小学数学教学）是一种规范的教育活动，教育的根本目的在于培养人。

教育为现实服务，主要是通过培养能适应社会发展需要的人才来实现的。

所以数学教学，特别是小学数学教学不仅要让学生学习直接解决实际数学问题的技能，更重要的是要使他们掌握继续成长所需的最基本的数学知识，同时发展他们的智力。

由于时代和环境的制约，《九章算术》显然缺乏这种指导思想，因而也就难以更为有效地发挥这种教育功能。

《九章算术》全书246个问题，均属计算问题，并以计算法则一一"术"来构建全书。

即使几何问题，讨论的也是求积等方面的内容，不专门论述或求证几何图形间或图形的各元素间的关系，所以它是一本以计算为中心的经典的数学名著，这与古希腊注重逻辑理论体系的数学名著《几何原本》完全不同。

这种算法化的理论体系主要是由它的实用性为目的的指导思想所决定的。

应该指出的是它与现代小学数学课本"以计算为中心，其他各部分内容配合计算出现"的教学体系是有所区别的。

这是因为现代小学课本的教学体系是以整数、小数、分数、百分数和成比例的数等概念的发展为线索而展开，计算要求则是各部分的共性，因而在客观上就突出了计算的重点，但决不是纯粹地传授计算技能。

（四）可接受性的撰写原则，归纳法的论述体系
《九章算术》的表述体系有两个特点：一是先举出某一社会生活领域中一个或几个问题，由此归纳出解决这一类问题的一般方法一一"术"；再把该领域内多类"术"归总成章，得出解决该领域内各类问题的方法。

方田、商功、均输、粟米、衰分等章都是这样的表述方法。

二是按解决某类问题所需要的数学方法进行归纳，找出许多不同领域的问题都可应用的相同计算方法，从中得出普遍的数学模型归纳成章。

例如盈不足、方程、勾股、少广等章为这类表述方法。

无论哪一种表述方法，从知识体系的逻辑性角度看，采用的都是从个别到一般的归纳法体系。

这种归纳法的表述方式或逻辑体系，与现代小学课本的表述形式有一定的相似之处。

根据儿童思维发展的年龄特
点，现代小学课本中的整数、小数和几何初步知识的教学内容（中、低年级）一般都是先举实例解答，然后归纳、概括出相应的概念、法则、公式，即由具体到一般的推理方式。

教学实践证明这有利于初学数学的年幼儿童的接受。

所以《九章算术》的归纳法的逻辑体系，有利于减少学习者的困难。

随着儿童年龄的增长，知识的积累，高年级的分数部分等教材开始采用演绎法的表达方式，即先建立明确的分数概念，然后利用分数概念导出加、减、乘、除的计算法则，进而解答分数应用题。

这样，就有利于进一步提高和发展儿童的逻辑推理能力。

但《九章算术》不论何种内容均采用归纳法的逻辑体系表述，这说明《九章算术》作为现代意义上的一本教科书尚有相当的距离。