河南省南阳市第一中学2019届高三上学期第六次考试数学(理)试题+扫描版含答案
河南省南阳市第一中学2019届高三英语第六次考试试题(含解析)
河南省南阳市第一中学2019届高三第六次考试英语试题试题说明：1. 总分 150=（阅读40+完形20+完成句子10+语法填空15+改错10+作文25）*1.252. 高频错题再练：1）主旨大意：27，31，35 2）猜测词义/句意：29,34， 3）完成句子第二部分阅读理解 (共两节，满分40分)第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）请阅读下列短文,从每题所给的四个选项(A、B、C和D)中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项的标号涂黑。
A1. Munchies Fool Hall does NOT sell_____.A. lambB. beefC. porkD. chicken2. The prices at Munchies are______.A. lower than usualB. bargain prices for the openingC. lower for two peopleD. lower if you spend $21,003. I will find out who has won the top to Western Australia when I_____.A. watch Channel 3 televisionB. come down to Munchies at moonC. read The Straits Times on the 15th of JanuaryD. attend the lucky draw at Munchies Food Hall【答案】1. A 2. D 3. C【解析】试题分析：本文是一篇摘自报刊上的餐厅促销活动的广告【小题1】A细节理解题。
从广告的第一段中Succulentchicken rice●spicystaysbeef●plump pork chips，可知选A。
【小题2】D细节推断题。
从第三段Win Prizes and Gifts!Spend ＄20.00 or more and win instant prizes from our lucky draw box. 可知选D。
河南省南阳市2019届高三数学上学期期末考试试题理科数学试卷
河南省南阳市2019届高三数学上学期期末考试试题 理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U 为全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()U ABC I I ð B ．()U B C A I I ð C ．U A I ð）（C BD ．()U A B C U I ð2．已知i 1是关于x 的方程 022bx ax （R b a ,）的一个根，则 b a （ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．33．已知双曲线C 的一条渐近线的方程是：x y 2 ，且该双曲线C 经过点)2,2(，则双曲线C 的方程是（ ）A ．2221714x y B ．1147222 x y C ．1422 x y D ．1422y x 4．已知：x b x a x f cos sin )( ，1)3sin(2)(x x g ，若函数)(x f 和)(x g 有完全相同的对称轴，则不等式2)( x g 的解集是（ ） A ．))(2,6(z k k kB ．))(22,62(z k k kC ．))(62,2(z k k kD ．))(6,(z k k k5．已知各项均为正数的等比数列}{n a ，253 a a ，若)())(()(721a x a x a x x x f ，则'(0)f （ ）A ．28B ．28C ．128D ．-1286．已知：62321x y y x x y ，则目标函数y x z 32 （ ）A ．7max z ，9min zB ．311maxz，7min z C ．7max z ，z 无最小值 D ．311max z ，z 无最小值7．设 x x e e x f sin 1sin 1 ，1x 、2,22 x ，且)()(21x f x f ，则下列结论必成立的是（ ）A ．12x xB ．120x xC ．12x xD ．2212x x8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S （ ）A ． 10B ．441 C ．221D ． 12 9．执行如图的程序框图，若输出S 的值是2，则a 的值可以为（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．201710．我们把顶角为 36的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．。
河南省南阳市2019-2020学年高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
南阳市2019年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合3|1,A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭{|0}B x x =≥，则A B =（ ） A. {|03}x x <≤ B. {|03}x x ≤≤C. {|13}x x <≤D. {|13}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A ，根据交集运算即可.【详解】3|1(0,3],A x x ⎧⎫=≥=⎨⎬⎩⎭{|03}A B x x ∴=<≤,故选：A【点睛】本题主要考查了分式不等式，交集的运算，属于容易题.2.设复数2(1)12i z i+=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A. 45-B. 23-C. 25D. 43【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算法则，化简复数z ，即可写出虚部. 【详解】2(1)22(12)421212555i i i i z i i i ++====-+--,∴复数z 的虚部为25. 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的乘除运算，复数的概念，属于中档题.3.在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（ ） A.25B.35C.715D.815【答案】B 【解析】 【分析】取出2个球共有取法26C 种，至少有1个红球的对立事件为没有一个红球，共有24C 种，根据古典概型概率公式即可求解.【详解】设一次随机取出2个球，至少有1个红球为事件A ，则242663()1()=11155C P A P A C =--=-=， 故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型，对立事件，属于中档题. 4.已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是A. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B. 函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D. 函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可． 【详解】函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对． 由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选B ．【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．5.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2，故D 不正确．故选D ． 6.函数ln ()|1|xf x x e=-+的大致图像为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由解析式ln ()|1|xf x x e=-+可知，在定义域(0,)+∞上()0f x >恒成立，即可选出答案.【详解】因为ln ()|1|xf x x e =-+的定义域为(0,)+∞，|1|0x -≥，ln 0x e >，所以ln ()|1|0x f x x e =+>-，结合图象，只有D 选项符合要求， 故选：D【点睛】本题主要考查了函数的定义域，值域，图象，属于容易题.7.已知10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭log (2),a x a =1log ,a y a +=12log (2)a z a +=，则（ ）A. x y z <<B. y x z <<C. x z y <<D. z y x <<【答案】B 【解析】 【分析】 根据10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭利用对数函数的增减性，判定,,x y z 与0,1的大小关系即可求解. 【详解】10,,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21a a ∴<<,0log 1log (2)log 1,a a a a a x =<==<11,1a a +><,11log log 10a a y a ++∴<==,1122a a >+>, ∴11221log(2)log ()12a a z a a ++=>+=, 综上y x z <<， 故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.8.在如图算法框图中，若6a =，程序运行的结果S 为二项式5(2)x +的展开式中3x 的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A. 3k <B. 3k >C. 4k <D. 4k >【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式（2+x ）5展开式的通项公式，求出x 3的系数，模拟程序的运行，可得判断框内的条件． 【详解】∵二项式5(2)x +展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅,令3r =，3233152T C x +∴=⋅⋅，332356(4)21408x x C x∴⨯⋅⋅=，∴程序运行的结果S 为120， 模拟程序的运行，由题意可得 k=6，S=1不满足判断框内的条件，执行循环体，S=6，k=5 不满足判断框内的条件，执行循环体，S=30，k=4 不满足判断框内的条件，执行循环体，S=120，k=3此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为120． 故判断框中应填入的关于k 的判断条件是k ＜4？ 故选：C【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于中档题．9.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7108S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列{}n b 的前n 项和n T 取最大值时n 的值为（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由7108S S S <<可分析数列89,a a ，10a 的符号，结合等差数列的性质，求出12n n n n b a a a ++=的最大值时n 的值.【详解】由7108S S S <<可得：88910910000a a a a a a <⎧⎪<++⎨⎪+<⎩ 即90a <，100a <，0d ∴<，∴等差数列{}n a 是789100,0,0,0a a a a >>><的递减数列， ∴1278910110,00,0,0,0,0,b b b b b b b >>><><<又98910118()0b b a a a a -=->， 所以123789nT b b b b b b =++++++最大，故9n =，故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的增减性，判断数列项的符号，数列和的最值，属于中档题.10.十八世纪，函数[]y x =（[]x 表示不超过x 的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程22019[]20200x x --=的所有实数根的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】 【分析】由22019[]20200x x --=可得22019[]2020x x =+，若||2x ≥时，方程显然不成立，故22x -<<，此时[]1,0,1x =-，分别分析即可.详解】由22019[]20200x x --=可得22019[]2020x x =+,因为||2x ≥时，2[]20220109x x>+，方程无解，当22x -<<时，[]x 的可能取值为1,0,1-，当[]1x =-时，方程有解1x =-， 当[]0x =时，方程无解，当[]1x =时，220192021x =，解得x =或x =，因为1=，符合题意，[1=-不符合题意，舍去， 综上，方程的根为1x =-，x =， 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，取整函数，分类讨论的思想，属于中档题.11.某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 23πB.234πC. 64πD.643π【解析】 【分析】先在长方体中还原该三棱锥为P -ABC ，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R ，列出方程即可求出结果．【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥P -ABC ，且长方体的长为2，宽为4，取AB 中点为D ，上底面中心为E ，连接DE ，EP ，则DE 2EP = 因为三角形ABC 为直角三角形，所以D 点为三角形ABC 的外接圆圆心， 因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE 上，记球心为O ， 设球的半径为R ，则OB =OP =R ，所以OE OD ==DE =解得：2163R =所以该三棱锥的外接球表面积为26443R ππ=, 故选：D【点睛】本题主要考查了几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，属于中档题．12.已知函数234()1234x x x f x x =+-+-+ (20182019)20182019x x -+，若函数()f x 的零点均在区间[,]a b (,,)a b a b Z <∈内，则b a -的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数f （x ）单调性，再利用f （-1）＜0，f （0）=1，函数零点的判定定理判断函数是否存在零点零点 【详解】234()1234x x x f x x =+-+-+ (2018201920182019)x x -+， 2320172018()1f x x x x x x '∴=-+-++⋯-，当0x ≠且1x ≠-时，201920191()1()011x x f x x x'--+==>++，又(0)10,(1)0f f ''=>->，()f x ∴在R 上是增函数，且(1)0(0)10f f -<=>，，由函数零点的存在性定理知，函数()f x 的唯一零点0(1,0)x ∈-， 又函数()f x 的零点均在区间[,]a b (,,)a b a b Z <∈， 所以b a -的最小值为0(1)1--=， 故选：A【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,1),a =(2,1)b =，若()()a b a b λ-⊥+，则实数λ的值为________. 【答案】85【解析】【分析】利用向量垂直的性质列方程求解即可.【详解】()()a b a b λ-⊥+,()()0a b a b λ∴-⋅+=,23(1)50λλ+--=, 解得85λ=， 故答案为：85 【点睛】本题主要考查了向量垂直的性质，数量积的运算，属于容易题.14.学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1 名，则不同的分配方案有________种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①将5名同学分成三组，一组1人，另两组都是2人，②将5名同学分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案．【详解】将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，有2种情况：①将5名同学分成三组，一组1人，另两组都2人，有1225422215c c c A =种分组方法， 再将3组分到3个项目，共有331590A ⋅=种不同的分配方案；②将5名同学分成三组，一组3人，另两组都是1人，有3115212210C C C A =种分组方法，再将3组分到3个项目，共有3310A 60⋅=种不同的分配方案，共有90+60=150种不同的分配方案，故答案为：150【点睛】本题主要考查了排列、组合的运用，注意先要根据题意要求，进行分类讨论，其次要正确运用分组公式，属于中档题.15.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右两个焦点分别为1,F 2F ，A ，B 为其左、右两个顶点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30AMB ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M ，再由两点的斜率公式，得到a ，b 的关系，再由离心率公式即可得到所求值. 【详解】双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>渐近线方程为b y x a=±， 以F 1F 2为直径的圆的方程为222x y c +=， 将直线b y x a=代入圆的方程，可得，x a ==（负的舍去），y=b ， 即有(,),M a b 又(,0),(,0)A a B a -，由于30AMB ︒∠=，BM ⊥x 轴，则2tan 30a b ︒==b =，则离心率c e a ===16.已知函数()22()x f x x ax e ax a =--+（e 为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为________. 【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】函数有三个不同零点，转化为方程有3个根，进而当y a =与()x g x xe =有两个不同交点问题，画简图可得a 的范围．【详解】()0f x =时，22()0x x ax e ax a --+=，()()0()()0x x x x a e a x a x a xe a ---=⇒--=， 得x a =或x a xe =，函数()f x 有三个不同零点，则y a =与()x g x xe =有两个不同的交点，而()(1)x x x g x e xe e x '=+=+，令()0g x '=，1x =-，(,1)x ∈-∞-，()0g x '<，(1,)x ∈-+∞，()0g x '>， 所以11()(1)g x g e e--=-=-…，函数()g x 大致图象如下：y a =与()g x 的图象有两个交点的范围1(e-，0)． 故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性得函数最值，进而求两个交点时a 的范围，属于中档题． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）17.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.(1)求ACB ∠的大小；（2）若∠=∠ACB ABC ，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.【答案】(1) 4C π=（2）54【解析】【分析】 (1)由正弦定理将()sin cos a c B B =+化为()sin sin sin cos A C B B =+，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；(2)先由余弦定理求出BC 的长，将平面四边形ABDC 的面积转化为两三角形ABC ∆与BCD ∆面积之和，即可求解.【详解】（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a c A C =， 所以()sin sin sin cos A C B B =+在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+所以sin cos sin sin B C C B =因为在ABC ∆中，sin 0B ≠所以cos sin C C =因为C 是ABC ∆的内角 所以4C π=.（2）在BCD ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅ 54cos D =-因为ABC ∆是等腰直角三角形， 所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===- 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅= 所以平面四边形ABDC 的面积S = ABC S ∆+ BCD S ∆ 5cos sin 4D D =-+544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为0D π<<，所以3444D πππ-<-< 所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此时平面四边形ABDC 的面积有最大值54+ 【点睛】本题主考查解三角形，属于基础题型.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）030【解析】【分析】（1）先由已知建立空间直角坐标系，设),0D b ，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC BE ⊥，PC DE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【详解】（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0D b，则()0C ，，()002P ，，，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，)0Bb -，，∴() 2PC =-，，22 ,,33BE b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22 33DE b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴44033PC BE ⋅=-=，0PC DE ⋅=，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=，∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =，，，() 2,,0AB b =-，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =，则2020m AP z m AB x by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取() 2b m =，， 设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =，则222032023n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取2 1,b n ⎛=-⎝，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n b b =-=⋅，故b = ∴( 1,n =-，() DP =， ∴1cos ,2n DPDP n n DP ⋅==⋅，设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒，∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，属于中档题.19.设直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点，与椭圆22142x y +=交于,C D 两点，设直线,OA ,OB ,OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1,k 2,k 3,k 4k ，若OA OB ⊥.（1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？并说明理由.【答案】（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为y =kx +b 代入抛物线的方程，利用OA ⊥OB ，求出b ，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出12k k +，34k k +，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得12x x +，12x x ，34x x +，34x x 代入12k k +，34k k +，化简即可求解.【详解】（1）证明：由题知，直线l 的斜率存在且不过原点，故设:(0),l y kx b b =+≠()11,,A x y ()22,B x y由22y kx b x y=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=， 12122,2x x k x x b ∴+==-.,OA OB ⊥0OA OB ∴⋅=，()21212121204x x x x y y x x ∴+=+=，故2b =所以直线l 的方程为2y kx =+故直线l 恒过定点(0,2).（2）由（1）知122,x x k +=124x x =-121212y y k k x x ∴+=+121222kx kx x x ++=+12222k x x =++()121222x x k x x +=+k =设()33,,C x y ()44,D x y 由222142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k x kx +++=，3428,12kx x k ∴+=-+342412x x k =+343434y y k k x x ∴+=+343422kx kx x x ++=+34222k x x =++()343422x x k x x +=+2k =-()123412k k k k ∴+=-+，即存在常数12λ=-满足题意. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知函数ln ()x f x x=. （1）若函数()y f x k =-有2个零点，求实数k 的取值范围；（2）若关于x 的方程1()f x m x=-有两个不等实根1,x 2x ，证明： ①122x x +>； ②2221122x x x x +>. 【答案】（1）10,k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ （2）①证明见解析 ②证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合零点情况得到函数大致变化规律，即可求解（2）原函数化为1ln x m x +=，求1l n ()x g x x +=导数，分析函数单调性，转化为1211x x e<<<，构造函数利用单调性证明不等式.【详解】（1）由题知，()y f x =与y x =有两个交点，21ln ()x f x x-'=，(0,)x ∈+∞. 由()0f x '>得，0x e <<；由()0f x '<得，x e >， ()f x ∴在(0,)e 上单增，在(,)e +∞上单减，又(1)0,f =1()f e e =，且x e >时，()0f x >，故10,k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）①方程1()f x m x =-可化为1ln x m x+=， 令1ln ()x g x x +=，2ln ()x g x x '=-，所以()g x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减， 又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设12x x <. 则1211x x e<<<，要证明122x x +>，只需证212x x >- 21,2(1,)x x -∈+∞且()g x 在(1,)+∞上单减，所以证()()()1212g x g x g x =<-令()()(2),h x g x g x =--1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()(2)h x g x g x '''=+- 22ln ln(2)(2)x x x x -=--- 2222ln 1(1)4(1)ln (2)x x x x x x ⎡⎤--+-⎣⎦=-- 当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 0,x <2ln 1(1)0x ⎡⎤--<⎣⎦，()0h x '∴> 即()h x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增.又(1)0h =， ()(2)g x g x ∴<-对1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 即()()()1212g x g x g x =<-成立即122x x +>成立 ②由①得()22211212122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即222112122x x x x x x +>+>，命题得证. 【点睛】本题主要证明了利用导数求函数的单调性，最值，利用导数证明不等式，属于难题. 21.一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束.（1）求1,P 2,P 3P ；（2）求证：数列{}1n n P P +-(1,2,3,,98)n =⋯为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率.【答案】（1）11P =，212P =，334P = （2）证明见解析 （3）9811332-⋅ 【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得棋子在1站是一个必然事件，即可得P 1的值，进而分析棋子跳到2站以及棋子跳到3站的情况，据此求出P 2、P 3的值（2）根据题意，分析可得211122n n n P P P ++=+，变形可得()21112n n n n P P P P +++-=--，即可得结论（3）由（2）知112n n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出99P ，由对立事件的概率性质求出100P .【详解】（1）棋子开始在第1站是必然事件，11P ∴=；棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上， 其概率1,2212P ∴=； 棋子跳到第3站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为12；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为111,224⨯=3113244P ∴=+=； （2）棋子棋子跳到第2n +()*197,n n N≤≤∈站，有两种情况：①棋子先跳到第n 站，又掷硬币反面向上，其概率为12n P ；②棋子先跳到第1n +站，又掷硬币正面向上，其概率为112n P +.故211122n n n P P P ++=+. ()21112n n n n P P P P +++∴-=-- 又2112P P -=-， 数列()1(1,2,3,n n P P n +-=…,98)是以12-为首项，12-为公比的等比数列.（3）由（2）得112nn n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. ()()9999989897P P P P P =-+-+…()211P P P +-+98971122⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…112⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ 99112112⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9821332=+⋅ 所以获胜的概率为9998111332P -=-⋅ 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率公式，数列的定义，用叠加法求数列的项，属于难题．（二）选考题：共10分、请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r αα=+⎧⎨=⎩ （α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且曲线1C 与2C 恰有一个公共点.(Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知曲线1C 上两点A ，B 满足4AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值. 【答案】(Ⅰ) 4cos ρθ=.(Ⅱ) 2+.【解析】【分析】(Ⅰ) 由题意得曲线2C 为直线，曲线1C 为圆，根据直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的极坐标方程． (Ⅱ) 设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，可得 MON S∆124ρρ=cos 4πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后转化为三角函数的知识求解即可．【详解】(Ⅰ)曲线2C的极坐标方程为1sin()sin cos 3622πρθρθρθ+=+=， 将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式可得2C直角坐标方程为1322y x +=，即60x -=，所以曲线2C 为直线．又曲线1C 是圆心为(2,0),半径为||r 的圆，因为圆1C 与直线1C 恰有一个公共点， 所以|26|||22r -==， 所以圆1C 的普通方程为2240x y x +-=，把222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=. (Ⅱ)由题意可设()2121(,),0,0,4(),B A πθρρρθρ+>>，121||sin cos 2444MON S OA OB ππρρθθ∆⎛⎫===+ ⎪⎝⎭uu r uu u r ‖ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，AOB ∆的面积最大，且最大值为2+. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化和极坐标方程的应用，利用极坐标方程解题时要注意用点的极径可解决长度问题，解题中往往涉及到三角变换，然后再转化成三角函数的问题求解，属于中档题．23.若关于x 的不等式|1||4||1|x x t --+≥+有解，记实数t 的最大值为T .（1）求T 的值；（2）若正数,a ,b c 满足2a b c T ++=，求14a b b c +++的最小值. 【答案】（1）4T= （2）94【解析】【分析】 （1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可.【详解】（1）设()|1||4|f x x x =--+5,423,415,1x x x x ≤-⎧⎪=---<<⎨⎪-≥⎩所以()f x 的值域为[5,5]-，故|1|5t +≤，解得64,t -≤≤4T =.（2）由（1）知24a b c ++=，即()()4a b b c +++=14a b b c ∴+++114[()()]4a b b c a b b c ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭ 14()54b c a b a b b c ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦19(544≥+= （当且仅当()()42()a b b c b c a b +++=⎧⎨+=+⎩即4383a b b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时取等号） 故14a b b c+++的最小值为94. 【点睛】本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键,属于中档题．。
河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学(理)试题(WORD版)
南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷 选择题(共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=A ．22B ．2C ．2D ．42．设集合{}a P 2log 3，=,{}b a Q ，=，若{}0=Q P ，则=Q PA.{}03，B.{}203，，C.{}103，，D.{}2103，，，3.把四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种4.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为02=+y x ，则C 的离心率为 A 、5 B 、525或 C 、2 D 、525或 5.数列{}n a 首项11=a ，对于任意*∈N n m ,，有m a a n m n 3+=+，则{}n a 前5项和=5SA 、121B 、25C 、31D 、356.下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的b a ,分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 A. -20 B. 52 C. -192 D. -160 7．已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤+-40301y y x y x ，若存在y x ，使得a y x ≤+2成立，则a 的取值范围是A ．（2，+∞）B ．[2，+∞）C ．[4，+∞）D ．[10，+∞）8.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =．若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)9、函数)0)(6cos()(>+=ωπωx x f 在[0，π]内的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-231，，则ω的取值范围是 A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3523， B 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3565， C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，65 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2365， 10．在区间[0，4]上随机取两个数x ，y ，则xy ∈[0，4]的概率是A ．44ln 2-B ． 44ln 23-C ． 44ln 1+D ．44ln 21+ 11．已知三棱锥S ﹣ABC 的底面△ABC 为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M ，N 分别是棱SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱32=SA ，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积是A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π12.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R .若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，则a 的取值范围是A ．[e,)+∞B ．2e [,)2+∞C ．22e [,e )2D ．2[e ,)+∞ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数()211log (2)23222x x x f x x ---<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则((3))f f = 14.已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为_________． 15.等比数列的前项和记为，若，则__________． 16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNAB 的最大值为__________．三、解答题（本大题必作题5小题，共60分.选作题2小题，考生任作一题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分为12分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，且B A A C sin 2sin 3cos sin 2=+,AD 为角A 的内角平分线，6=AD ．（1）求三角形内角C 的大小；（2）求△ABC 的面积．18、（本小题满分为12分）某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t [0，15） [15，30） [30，45） [45，60） [60，75） [75，90）男同学人数 711 15 12 2 1 女同学人数8 9 17 13 3 2 若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．(1)将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？(2)从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．（i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19.（本小题满分为12分）如图1，在矩形ABCD 中，35AB =，25BC =，点E 在线段DC 上，且5DE =，现将AED ∆沿AE 折到D AE '∆的位置，连结D C '，D B '，如图2.（1）若点P 在线段BC 上，且25=BP ，证明：P D AE '⊥； （2）记平面E D A '与平面D BC '的交线为l .若二面角D AE B '--为32π，求l 与平面CE D '所成角的正弦值.20．（本小题满分为12分）一张坐标纸上涂着圆()81:22=++y x E 及点()01，P ，折叠此纸片，使P 与圆周上某点P '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与P E '的交点为M .（1）求M 的轨迹C 的方程；（2）直线m kx y l +=:与C 的两个不同交点为B A ,,且l 与以EP 为直径的圆相切，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋅4332，OB OA ，求ABO ∆的面积的取值范围．21．（本小题满分为12分）已知函数)1(ln )(--=x a x x f(1)求函数)(x f 的极值；(2)当0≠a 时，过原点分别做曲线)(x f y =与x e y =的切线1l ，2l ，若两切线的斜率互为倒数，求证：21<<a .选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)已知点P 的极坐标为2,24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()34f x x x =-++.（1）求()(4)f x f ≥的解集；（2）设函数()(3)()g x k x k R =-∈，若()()f x g x >对x R ∀∈成立，求实数k 的取值范围.。
河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学(理)试题(解析版)
河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，，其中x，，则A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】解：，其中x，，，，，解得．则．故选：A．利用复数的相等、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.设集合，，若，则A. B. 0， C. 0， D. 0，1，【答案】B【解析】解：，从而，0，，故选：B．根据集合，，若，则，，从而求得．此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．3.把四个不同的小球放入三个分别标有〜号的盒子中，不允许有空盒子的放法有A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C【解析】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有〜号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，则分2步进行分析：、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则不允许有空盒子的放法种；故选：C．根据题意，分2步进行分析：、先将四个不同的小球分成3组，、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．4.已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的离心率为A. B. 或 C. 2 D.【答案】D【解析】解：双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，结合题意一条渐近线方程为，得b：：1，设，，则该双曲线的离心率是，故选：D．由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程即，由此可得b：：1，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5.数列首项，对于任意m，，有，则前5项和A. 121B. 25C. 31D. 35【答案】D【解析】解：数列首项，对于任意m，，有，，是首项为1，公差为3的等差数列，前5项和．故选：D．推导出是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出前5项和．本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.如图程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图时，若输入a、b的分别为16、18，输出的结果为a，则二项式的展开式中常数项是A. B. 52 C. D.【答案】D【解析】解：由程序框图可知：当，时，不满足，则b变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则a变为，由，则输出的．则二项式，它的展开式的通项公式为，，1，，令，可得展开式中常数项是，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得a，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题考查算法和程序框图，考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知x，y满足，若存在x，y使得成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得，，可得时，z的最小值为：2．所以要使恒成立，只需使目标函数的最小值小于等于a即可，所以a的取值范围为．故答案为：．故选：B．画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键8.设函数是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，若在上有且仅有三个零点，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了零点个数的判断，，考查了函数的周期性、奇偶性、函数的零点与方程根的关系，作出的函数图象是解题关键．根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出a．【解答】解：，，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示：在上有且仅有三个零点，和的图象在上只有三个交点，，解得．故选C．9.函数在内的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，当时，，，画出图形如图所示；则，解得，的取值范围是故选：D．根据余弦函数的图象与性质，结合题意得出，从而求出的取值范围．本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10.在区间上随机取两个数x，y，则的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意把两个数为x，y看作点，则，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为；转化为，如图所示；且满足的区域面积是：，则的概率为：．故选：C．由题意把两个数为x，y看作点，作出表示的平面区域，把转化为，求出满足的区域面积，计算所求的概率值．本题考查了几何概型的计算问题，熟练掌握几何概率模型的特征是解题的关键．11.已知三棱锥的底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且，若侧棱，则三棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，N分别为棱SC，BC的中点，三棱锥为正棱锥，对棱互相垂直，又，而，平面SAC，平面SAC以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，，．故选：C．由题意推出平面SAC，即平面SAC，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．本题考查了三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．12.已知函数，a，若不等式对所有的，都成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：若不等式对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对所有的，都成立，即对都成立，即对都成立，即a大于等于在区间上的最大值，令，则，当时，0'/>，单调递增，所以，的最大值为，即，所以a的取值范围为．故选：B．问题转化为对都成立，令，求出的导数，通过讨论函数的单调性，求出的最大值，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数，则______．【答案】3【解析】解：函数，则．故答案为：3．利用分段函数直接求解函数值即可．本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．14.已知，若向量与共线，则在方向上的投影为______．【答案】【解析】解：，与共线，，即．，在方向上的投影为．故答案为：．根据向量共线求出，计算，代入投影公式即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．15.等比数列的前n项和记为，若，则______．【答案】【解析】解：由等比数列的前n项求和公式可知：，，，成等比数列，当时，有因为，所以，即得由得，故答案为：．考查等比数列前n项求和的性质公式．本题考查等比数列前n项和性质，和运算能力，属于中档题目．16.抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为______．【答案】【解析】解：设，，连接AF、BF，由抛物线定义，得，，在梯形ABPQ中，．由余弦定理得，，配方得，，又，得到．，即的最大值为．故答案为：．设，，连接AF、由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案．本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．求三角形内角C的大小；求面积的S．【答案】解：角A，B，C成等差数列，，，，，，，，，，．由值，，由正弦定理得，得，同理得，面积的．【解析】根据角A，B，C成等差数列，可得，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；根据C的大小和，可得A，B的大小利用正弦定理即可求解．本题考查了正弦定理、三角恒等变形，属于中档题．18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间单位：分钟进行调查，结果如下：若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】解：设该校4000名学生中“读书迷”有x人，则，解得，所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人；抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率为：；可取为0，1，2，3；则，，，；的分布列为：数学期望为．【解析】设该校4000名学生中“读书迷”有x人，根据比例关系列出方程求出x的值即可；利用对立事件的概率计算抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率；根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．19.如图1，在矩形ABCD中，，，点E在线段DC上，且，现将沿AE折到的位置，连结，，如图2．若点P在线段BC上，且，证明：；记平面与平面的交线为若二面角为，求l与平面所成角的正弦值．【答案】证明：先在图1中连结DP，在中，由，，得，在中，由，，得，，则，，从而有，，即在图2中有，，平面，则；解：延长AE，BC交于点Q，连接，根据公理3得到直线即为l，再根据二面角定义得到．在平面内过点O作底面垂线，以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，0，，0，，4，，1，，4，，，设平面的一个法向量为，由，取，得．与平面所成角的正弦值为．【解析】先在图1中连结DP，根据得到，从而有，，即在图2中有，，即可证明平面，从而得到；延长AE，BC交于点Q，连接，根据公理3得到直线即为l，在平面内过点O作底面垂线，以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解l与平面所成角的正弦值．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查线面垂直的求法，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．20.一张坐标纸上涂着圆E：及点，折叠此纸片，使P与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与的交点为M．求M的轨迹C的方程；直线l：与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．【答案】解：折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆E的半径为，，的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，，，的轨迹C的方程为．与以EP为直径的圆相切，则O到l即直线AB的距离：，即，由，消去y，得，直线l与椭圆交于两个不同点，，，设，，则，，，又，，，，设，则，，，关于在单调递增，，的面积的取值范围是【解析】折痕为的垂直平分线，则，推导出E的轨迹是以E、P 为焦点的椭圆，且，，由此能求出M的轨迹C的方程．与以EP为直径的圆相切，从而，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出的面积的取值范围．本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，考查圆、椭圆、根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.已知函数．求函数的极值；当时，过原点分别作曲线与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：．【答案】解：若时，所以函数在单调递增，故无极大值和极小值若，由得，所以函数单调递增，，函数单调递减故函数有极大值，无极小值．证明：设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和a后，整理得令，则，所以在上单调递减，在上单调递增．又为的一个零点，所以若，因为，，所以，因为所以，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以舍去．综上可知，．【解析】利用导数求函数的单调区间，从而求解函数的极值；设切线的方程为，从而由导数及斜率公式可求得切点为，；再设的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证．本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点．求直线ll的普通方程和曲线C的直角坐标方程；已知点P的极坐标为，求的值．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，的普通方程为：；又曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，即曲线C的直角坐标方程为：．解法一：在直线l上，直线l的参数方程为为参数，代入曲线C的直角坐标方程得，即，．解法二：联立，得，解得，，，，，．【解析】由直线l的参数方程能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程转为，能求出曲线C的直角坐标方程．法一：在直线l上，直线l的参数方程为为参数，代入曲线C的直角坐标方程得，由此能求出出的值．法二：联立，得，求出，由此能求出出的值．本题考查直线的普通方程和曲线的直线坐标方程的求法，考查两段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数．求的解集；设函数，若对成立，求实数k的取值范围【答案】解：函数，，即，或或解不等式组得：；解不等式组得：无解；解不等式组得：；所以的解集为或；即的图象恒在，图象的上方，可以作出的图象，而，图象为恒过定点，且斜率k变化的一条直线，作出函数，的图象，如图所示；其中，可求：，；由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数k的取值范围是．【解析】根据绝对值的定义，分段讨论去掉绝对值解不等式即可；恒成立化为的图象恒在图象的上方，作出、的图象，利用数形结合法求得实数k的取值范围．本题考查了含有绝对值的函数与不等式的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2019届河南省南阳市高三上学期期末质量评估数学(理)试题(解析版)
2019届河南省南阳市高三上学期期末质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位， ()12i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=（ ）A ．BC ．2D ．4 【答案】A 【解析】()12i x yi +=+，其中x y R ∈，，2x ix yi +=+解得2x =， 2y =x yi ∴+=故选A 2．设集合,，若，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，且 ，，故选C.3．把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种 【答案】C【解析】从4个球中选出2个组成复合元素有24A 种方法，再把3个元素（包括复合元素）放入3个不同的盒子中有33A 种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有234336A A ⋅=，故选C.4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）A ．B ．或C ．2D ．或【答案】A【解析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y x 即y ＝2x ，由此可得b ：a ＝2：1，结合双曲线的平方关系可得c 与a 的比值，求出该双曲线的离心率． 【详解】解：∵双曲线的方程为 ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，结合题意一条渐近线方程为y ＝﹣2x ， 得 b ：a ＝2：1， 设a ＝t ，b ＝2t ，则ct （t ＞0）∴该双曲线的离心率是e ，故选：A ． 【点睛】求解离心率的常用方法1.利用公式，直接求e.2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．3.通过取特殊位置或特殊点求解． 4变用公式,整体求出e ：以椭圆为例,如利用,.5．数列{}n a 是首项11a =，对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =（ ） A ．121 B ．25 C ．31 D ．35【解析】令1m =,有13n n a a +=+,{}n a ∴等差，首项为1，公差为3，()13132n a n n ∴=+-=-,()535533235S a ∴==⨯-=.6．下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的a b 、分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式6⎛ ⎝的展开式中常数项是（ ）A ．-20B ．52C ．-192D ．-160 【答案】D【解析】由题意知，框图的功能是求两数a b 、的最大公约数，故输入16、18后输出的结果为2a =，所以二项式为6⎛⎝，其展开式的通项为(616rrr r T C -+⎛= ⎝()66612,0,1,2,,6rr r rC x r --=-=，令3r =可得展开式中的常数项为()3334612160T C =-=-．选D ．7．已知，满足，若存在，使得成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】画出x ，y 满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a 的取值范围．解：令z＝2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点B时取最小值，由，可得B（﹣1，4），z的最小值为：2．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最小值小于等于a即可，所以a的取值范围为a≥2．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键8．设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象,根据交点个数列出不等式求出的范围.【详解】，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示,在上有且仅有三个零点，和的图象在上只有三个交点，结合图象可得，解得，即的范围是，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.9．函数在内的值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据余弦函数的图象与性质，结合题意得出π≤ωπ，从而求出ω的取值范围．【详解】解：函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），当x∈[0，π]时，f（x）∈[﹣1，]，∴﹣1≤cos（ωx），画出图形如图所示；则π≤ωπ，解得ω，∴ω的取值范围是[，]．故选：B．【点睛】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合的思想，是基础题．10．在区间上随机取两个数，，则的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出Ω＝{（x，y）|}表示的平面区域，把xy∈[0，4]转化为0≤y，求出满足0≤y的区域面积，计算所求的概率值．【详解】解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），则Ω＝{（x，y）|}，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为42＝16；xy∈[0，4]转化为0≤y和如图所示；且满足0≤y的区域面积是：16dx＝16﹣（4x﹣4lnx）4+4ln4，则xy∈[0，4]的概率为：P．故选：C．【点睛】本题考查了几何概型的计算问题，利用定积分表示面积，熟练掌握几何概率模型的特征是解题的关键．11．已知三棱锥的底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，，分别是棱，的中点，且，若侧棱，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【详解】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC＝A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R SA＝6，∴R＝3，∴S＝4πR2＝36π．故选：C．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力．三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．12．已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】问题转化为对都成立，令，利用导数求得的单调性及最大值，由此求得的取值范围.【详解】由得，对任意，都成立，故，即对都成立.构造函数，其中.，故当时，即单调递增，最大值为，故.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题.由于题目有两个变量，一个是有范围，另一个是有范围，最终求的是的范围.所以分成两个步骤来走，先根据的范围，消去后，再利用导数，结合的取值范围，最终来求解的取值范围.属于难题.二、填空题13．设函数，则______.【答案】3【解析】利用分段函数直接求解函数值即可．【详解】解：函数f（x），则f（f（3））＝f（）＝f（）＝1﹣log2（2）＝1+2＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．14．已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.【答案】【解析】,由向量与共线，得，解得，则，故答案为.15．等比数列的前项和记为，若，则__________．【答案】【解析】由，利用等比数列求和公式可得，将代入即可得结果.【详解】设等比数列的首项为，公比为，若，不合题意；所以，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式的应用，以及分类讨论思想的应用，属于中档题.在利用等比数列解答问题时，若公比为参数，一定要注意讨论：两种情况. 16．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为________.【答案】【解析】设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为Q，P，结合抛物线的定义在梯形ABPQ中可得，在中由余弦定理得|AB|2＝(a＋b)2－ab，利用基本不等式得到，进而可得所求的最大值．【详解】设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A，B作准线l：的垂线，垂足分别为Q，P，由抛物线定义得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|．在梯形ABPQ中2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，∴.在中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab，又，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立．∴的最大值为．故答案为．【点睛】（1）由抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离间的转化，另外对于弦长可在三角形中由余弦定理求得．（2）对于圆锥曲线中的最值问题，可根据题意得到目标函数后利用基本不等式或利用函数的知识解决．三、解答题17．已知中，角，，成等差数列，且,为角的内角平分线，．（1）求三角形内角的大小；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B＝A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；（2）根据C的大小和2B＝A+C，可得A，B的大小．利用正弦定理即可求解．【详解】解：（1）∵角A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，∴B，∵2sin（A+C），∴2sin C cos A sin A＝2sin A cos C+2cos A sin C，∴sin A＝2sin A cos C，∵A∈（0，π），sin A≠0，∴cos C，∵C∈（0，π），∴．（2）．由（1）值A，C，由正弦定理得，得AB，同理得AC，∴△ABC面积的S．【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式，三角恒等变形，考查计算能力，属于中档题．18．（本小题满分12分）某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？ （2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动. （i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望【答案】（Ⅰ）320人;（Ⅱ）（ⅰ）1314;（ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）按比例列式 81004000x =，解得320x =. （Ⅱ）（ⅰ）借助其对立事件，可求概率454813114C P C =-=.（ⅱ）列出X 可能取0，1，2，3.并求各可能值的概率，列出分布列，求期望. 试题解析：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x 人，则81004000x=，解得320x =. 所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率：454813114C P C =-=.（ⅱ）X 可取0，1，2，3.()45481014C P X C ===， ()133548317C C P X C ===，()223548327C C P X C ===， ()3155481314C C P X C ===， X 的分布列为：()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2.（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析，（2）【解析】（1）先在图1中连结DP，根据tan∠PDC＝tan∠DAE得到∠DOE＝90°，从而有AE⊥OD，AE⊥OP，即在图2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，即可证明AE⊥平面POD'，从而得到AE⊥PD'；（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，在平面POD'内过点O作底面垂线，以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解l与平面D'CE所成角的正弦值．【详解】证明：（1）先在图1中连结DP，在Rt△ADE中，由AD，DE，得tan∠DAE，在Rt△PCD中，由DC＝AB，PC＝BC-BP，得tan∠PDC，∴tan∠PDC＝tan∠DAE，则∠PDC＝∠DAE，∴∠DOE＝90°，从而有AE⊥OD，AE⊥OP，即在图2中有AE ⊥OD '，AE ⊥OP ， ∴AE ⊥平面POD '，则AE ⊥PD '；解：（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接D 'Q ，根据公理3得到直线D 'Q 即为l ，再根据二面角定义得到．在平面POD '内过点O 作底面垂线，以O 为原点，分别为OA ，OP ，及所作垂线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则D ′（0，﹣1，），E （﹣1，0，0），Q （﹣11，0，0），C （﹣3，4，0），（﹣11，1，），（﹣2，4，0），（1，﹣1，），设平面D ′EC 的一个法向量为，由，取y ＝1，得．∴l 与平面D 'CE 所成角的正弦值为|cos |．【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查线面垂直的求法，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．20．一张坐标纸上涂着圆E ： ()2218x y ++=及点P （1，0），折叠此纸片，使P 与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'交于点M ． （1）求M 的轨迹C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与C 的两个不同交点为A ，B ，且l 与以EP 为直径的圆相切，若23,34OA OB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，求△ABO 的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）23⎤⎥⎣⎦. 【解析】试题分析： ()1折痕为PP '的垂直平分线，则MP MP ='，推导出E 的轨迹是以E ， P 为焦点的椭圆，且1a c ==,由此能求出M 的轨迹C 的方程；()2l与EP为直径的圆22x1y+=相切，从而221m k=+，由221{2xyy kx m+==+，得()222124220k x kmx m+++-=，由此利用根的判别式，韦达定理，向量的数量积，弦长公式，三角形面积公式，能求出AOB的面积的取值范围。
2019-2020学年南阳市高三(上)期末数学试卷(理科)+参考答案
2019-2020学年南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，B={x|x≥0}，则A∩B=（）A. {x|0＜x≤3}B. {x|0≤x≤3}C. {x|1＜x≤3}D. {x|1＜x＜3}2.设复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3.在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则下列选项正确的是（）A. 函数f（x）的图象关于点（，0）对称B. 函数f（x）的图象关于点（-，0）对称C. 函数f（x）的图象关于直线x=对称D. 函数f（x）的图象关于直线x=-对称5.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，δ12），N（μ2，δ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. 甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2=1.996.函数f（x）=|x-1|+e|ln x|的大致图象为（）A. B.C. D.7.已知，x=log a（2a），y=log a+1a，（2a），则（）A. x＜y＜zB. y＜x＜zC. x＜z＜yD. z＜y＜x8.在如图算法框图中，若a=6，程序运行的结果S为二项式（2+x）5的展开式中x3的系数的3倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A. k＜3B. k＞3C. k＜4D. k＞49.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＜S10＜S8，设b n=a n a n+1a n+2，则数列{b n}的前n项和T n取最大值时n的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 910.十八世纪，函数y=[x]（[x]表示不超过x的最大整数）被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程2019x2-[x]-2020=0的所有实数根的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 311.某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 23πB.C. 64πD.12.已知函数f（x）=1+x-，若函数f（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则实数λ的值为______．14.学校准备将5名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类3个不同项目比赛做志愿者，每个项目至少1名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．15.已知双曲线的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为______．16.已知函数f（x）=（x2-ax）e x-ax+a2（e为自然对数的底数，a∈R，a为常数）有三个不同的零点，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=c（sin B+cos B）．（1）求∠ACB的大小；（2）若∠ABC=∠ACB，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19.设直线l与抛物线x2=2y交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若OA⊥OB．（1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数λ，满足k1+k2=λ（k3+k4）？并说明理由．20.已知函数f（x）=．（1）若函数y=f（x）-k有2个零点，求实数k的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=m-有两个不等实根x1，x2，证明：①x1+x2＞2；②+＞2．21.一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为P n，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败）或者第100站（获胜）时，游戏结束．（1）求P1，P2，P3；（2）求证：数列{P n+1-P n}（n=1，2，3，…，98）为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值．23.若关于x的不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，记实数t的最大值为T．（1）求T的值；（2）若正数a，b，c满足a+2b+c=T，求的最小值．答案1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】14.【答案】15015.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）在△ABC中，∵a=c（sin B+cos B），∴sin A=sin C（sin B+cos B），…（1分）∴sin（π-B-C）=sin C（sin B+cos B），∴sin（B+C）=sin C（sin B+cos B），…（2分）∴sin B cos C+cos B sin C=sin B sin C+sin C cos B，…（3分）∴cos C sin B=sin B sin C，又∵B∈（0，π），故sin B≠0，…（4分）∴cos C=sin C，即tan C=1．…（5分）又∵C∈（0，π），∴C=．…（6分）（2）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22-2×1×2×cos D=5-4cos D．…（7分）又∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ACB=，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴S△ABC=×BC××BC=BC2=-cos D，…（9分）又∵S△BDC=×BD×DC×sin D=sin D，…（10分）∴S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin（D-）．…（11分）∴当D=时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为+．…（12分）【解析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos C sin B=sin B sin C，结合sin C≠0，可求tan ACB=1，结合范围∠ACB∈（0，π），即可求得∠ACB的值．（2）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cos D=5-4cos D，由已知及（1）可知∠ACB=，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求S四边形，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．18.【答案】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，-b，0）∴=（2，0，-2），=（，b，），=（，-b，）∴•=-=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，-b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，-，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b-=0．故b=∴=（1，-1，），=（-，-，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【解析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19.【答案】解：（1）证明：由题知，直线的斜率存在且不过原点，故设y=kx+b（b≠0），A（x，y），B（x'，y'），联立直线l与抛物线的方程整理得：x2-2kx-2b=0，∴x+x'=2k，xx'=-2b，∴yy'==b2，∵OA⊥OB．∴=0，∴b2-2b=0，解得b=2，所以直线l的方程为：y=kx+2故直线恒过定点（0，2）．（2）由（1）知x+x'=2k．xx'=-4∴k1+k2===2k+=k；设C（m，n），D（a，t），联立直线与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2+8kx+4=0，∴m+a=，ma=，∴k3+k4===2k+=-2k，∴k1+k2=（k3+k4），即存在常数λ=满足条件．【解析】（1）设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和两根之积，由OA⊥OB，求出过定点，（2）由（1）得与抛物线联立的方程，求出两根之和两根之积，进而求出k1+k2，同理联立与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，求出k3+k4，从而得出存在常数满足条件．考查直线与抛物线及椭圆的综合应用，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题知，y=f（x）与y=k有两个交点，，由f′（x）＞0得0＜x＜e；由f′（x）＜0得x＞e，∴f（x）在（0，e）上单增，在（e，+∞）上单减，又，且当x＞e时，f（x）＞0，故；（2）证明：①方程可化为，令，所以g（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，又，不妨设x1＜x2．则，要证明x1+x2＞2，只需证x2＞2-x1，∵x2，2-x1∈（1，+∞）且g（x）在（1，+∞）上单减，所以证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1），令，则=，当时，ln x＜0，ln[1-（x-1）2]＜0，∴h′（x）＞0，即h（x）在单增，又h（1）=0，∴g（x）＜g（2-x）对恒成立，即g（x1）=g（x2）＜g（2-x1）成立，即x1+x2＞2成立；②由①得，即，命题得证．【解析】（1）依题意，y=f（x）与y=k有两个交点，求出函数的单调性及图象走势情况即可得解；（2）①问题转化为证明x2＞2-x1，即证g（x1）=g（x2）＜g（2-x1），构造函数即可得证；②利用①的结论容易得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题，考查逻辑推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）棋子开始在第1站是必然事件，P1=1；棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为，∴P2=；棋子跳到第3站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为=，∴P3==；（2）证明：棋子跳到第n+2 站（1≤n≤97），有两种情况：①棋子先跳到第站，又掷硬币反面向上，其概率为P n；②棋子先跳到第n+1站，又掷硬币正面向上，其概率为P n+1．故P n+2=P n+1+P n；∴P n+2=-（P n+1-P n）；又P2-P1=-，数列是以-为首项，-为公比的等比数列，（3）由（2）得P n+1-P n=（-）n；∴P99=（P99-P98）+…+（P2-P1）+P1=（-）98+（-）97+…+（-）+1==+，所以获胜的概率为1-P99=-．【解析】（1）棋子在0站是一个必然事件，得到发生的概率等于1，掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，根据正方体各个面出现的概率得到结果．（2）由题意知连续三项之间的关系，根据得到的关系式，仿写一个关系式，两个式子相减，构造一个新数列是连续两项之比是一个常数，得到等比数列．（3）写出所有的式子，把所有的式子相加，利用累加的方法消去中间项得到首项和末项之间的关系，得到玩该游戏获胜的概率．本题考查概率的实际应用，是一个中档题目，题目涉及到概率的计算，本题解题的关键是看出题目中要利用累加的方法．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（Ⅰ）消参可得C2的直角坐标方程，利用直线与圆的位置关系可得C1的直角坐标方程，即可得极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．23.【答案】解：（1）∵|x-1|-|x+4|≤|（x-1）-（x+4）|=5，∴（|x-1|-|x+4|）max=5．∵不等式|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，∴|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max=5，∴-6≤x≤4，∴实数t的最大值T=4．（2）由（1）知a+2b+c=T=4，∴（a+b）+（b+c）=4，∴==≥，当且仅当，时取等号，∴的最小值为．【解析】（1）先求出|x-1|-|x+4|的最大值，再根据|x-1|-|x+4|≥|t+1|有解，得到|t+1|≤（|x-1|-|x+4|）max，然后解关于t的不等式即可得到解集；（2）由（1）可得a+2b+c=T=4，再由=利用基本不等式求出最小值即可．本题考查了绝对值三角不等式，不等式有解问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．第11页，共11页。
河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学(理)试题
南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷 选择题(共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi += A ．22 B ．2 C ．2 D ．4 2．设集合{}a P 2log 3，=,{}b a Q ，=，若{}0=Q P ，则=Q P A.{}03， B.{}203，， C.{}103，， D.{}2103，，，3.把四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有 A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种4.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为02=+y x ，则C 的离心率为A 、5B 、525或 C 、2 D 、525或 5.数列{}n a 首项11=a ，对于任意*∈N n m ,，有m a a n m n 3+=+，则{}n a 前5项和=5S A 、121 B 、25 C 、31 D 、356.下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的b a ,分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是A. -20B. 52C. -192D. -1607．已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤+-40301y y x y x ，若存在y x ，使得a y x ≤+2成立，则a的取值范围是 A ．（2，+∞） B ．[2，+∞） C ．[4，+∞）D ．[10，+∞）8.设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =．若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)9、函数)0)(6cos()(>+=ωπωx x f 在[0，π]内的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-231，，则ω的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3523，B 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3565， C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，65D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2365，10．在区间[0，4]上随机取两个数x ，y ，则xy ∈[0，4]的概率是 A ．44ln 2- B ． 44ln 23- C ． 44ln 1+ D ．44ln 21+ 11．已知三棱锥S ﹣ABC 的底面△ABC 为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M ，N 分别是棱SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱32=SA ，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积是 A ．12π B ．32π C ．36π D ．48π12.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R .若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，则a 的取值范围是A ．[e,)+∞B ．2e [,)2+∞C ．22e [,e )2D ．2[e ,)+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数()211log (2)23222x x x f x x ---<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则((3))f f =14.已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为_________． 15.等比数列的前项和记为，若，则__________．16.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为__________．三、解答题（本大题必作题5小题，共60分.选作题2小题，考生任作一题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分为12分） 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 成等差数列，且B A A C sin 2sin 3cos sin 2=+,AD 为角A 的内角平分线，6=AD ．（1）求三角形内角C 的大小； （2）求△ABC 的面积．18、（本小题满分为12分）某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[0，15） [15，30） [30，45） [45，60） [60，75） [75，90）男同学人数 7 11 15 12 2 1 女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．(1)将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？ (2)从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动． （i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19.（本小题满分为12分）如图1，在矩形ABCD 中，35AB =，25BC =，点E 在线段DC 上，且5DE =，现将AED ∆沿AE 折到D AE '∆的位置，连结D C '，D B '，如图2.（1）若点P 在线段BC 上，且25=BP ，证明：P D AE '⊥； （2）记平面E D A '与平面D BC '的交线为l .若二面角D AE B '--为32π，求l 与平面CE D '所成角的正弦值.20．（本小题满分为12分）一张坐标纸上涂着圆()81:22=++y x E 及点()01，P ，折叠此纸片，使P 与圆周上某点P '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与P E '的交点为M . （1）求M 的轨迹C 的方程；（2）直线m kx y l +=:与C 的两个不同交点为B A ,,且l 与以EP 为直径的圆相切，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋅4332，OB OA ，求ABO ∆的面积的取值范围． 21．（本小题满分为12分） 已知函数)1(ln )(--=x a x x f (1)求函数)(x f 的极值；(2)当0≠a 时，过原点分别做曲线)(x f y =与x e y =的切线1l ，2l ，若两切线的斜率互为倒数，求证：21<<a .选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)已知点P 的极坐标为2,24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()34f x x x =-++. （1）求()(4)f x f ≥的解集；（2）设函数()(3)()g x k x k R =-∈，若()()f x g x >对x R ∀∈成立，求实数k 的取值范围.11。
2019届市第一中学高三第六次质检数学(理)试题(解析版)
2019届市第一中学高三第六次质检数学（理）试题（解析版）2019届市第一中学高三第六次质检数学（理）试题一、单选题1．已知（是实数），其中是虚数单位，则（）A．-2 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【解析】解析：由题设可得，则，故，应选答案A．2．如图,网格纸上小正方形的边长为,若四边形及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点,则的最大值为( ) A．B．C．D．【答案】B 【解析】先画出，平移直线易得在点D处取得最大值，代入点D坐标求出最大值. 【详解】解：在图中画出直线，平移直线易得在点D处取得最大值因为点D，所以最大为2 故选：B. 【点睛】本题考查了简单线性规划问题，属于基础题. 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则=（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】圆心O到直线距离为，所以，选D. 4．在的展开式中，若二项式系数最大的项是第六项，则展开式中常数项（）. A．180 B．120 C．90 D．45 【答案】A 【解析】根据二项式系数最大的项是第六项，可以求出的值，再根据二项式展开式的通项公式，求出常数项即可. 【详解】因为二项式系数最大的项是第六项，所以. ，该二项式的展开式的通项公式为：，令，所以常数项为：. 故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、二项式展开式的通项公式，考查了二项式系数的性质，属于基础题. 5．下边的程序运行后输出的结果为( ) A．50 B．5 C．25 D．0 【答案】D 【解析】共执行了5次循环体，第一次a=1,第二次a=3,第三次a=1,第四次，a=0,第五次a=0.所以输出a的值为0 6．平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数的取值集合（）. A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据三条直线将平面划分成六部分，可以确定三条直线的位置关系，然后分类讨论求出实数的取值集合. 【详解】因为三条直线将平面划分成六部分，所以三条直线有以下两种情况：（1）三条直线交于同一点.解方程组，所以交点坐标为，直线也过该点，故；（2）当直线与平行时，；当直线与平行时，，综上所述：. 故选：D 【点睛】本题考查了直线分平面问题，考查了直线与直线的位置关系，考查了已知直线平行求参数问题，属于基础题. 7．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A．B．C．2 D．3 【答案】D 【解析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果. 【详解】设等比数列公比为当时，，不符合题意，当时，，得，又，由，得，，故选D. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点. 8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的､､､､､､､八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市被选中的概率为（）. A．B．C．D．【答案】A 【解析】根据题意列出城市被选中的情况和没有被选中的情况，最后求出概率即可. 【详解】八个中小城市中选取三个城市，要求没有任何两个城市相邻，城市被选中的情况有：，共10种；八个中小城市中选取三个城市，要求没有任何两个城市相邻，城市没被选中的情况有：，共10种, 所以城市被选中的概率为. 故选：A 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法，属于基础题. 9．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为() A．B．C．D．【答案】D 【解析】试题分析：由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D. 【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式. 10．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题，，且，成立的充要条件是（）. A．B．C．D．【答案】B 【解析】由导数的定义,结合充要条件的定义直接求解即可【详解】且，不妨设，，当时，可得，设，所以该函数是单调递减函数，，故；当时，可得，设，所以该函数是单调递增函数，，故，因此有. 故选：B 【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了导数的应用，属于基础题. 11．已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A．的取值范围为B．取值范围为C．的取值范围为D．若，则实数的取值范围为【答案】B 【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|=2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM|≤+1，-1≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D正确．故选B．12．已知，，，是半径为2的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）. A．B．C．D．【答案】B 【解析】由可以判断出点在底面的射影的位置，这样可以确定球心位置，利用勾股定理、直角三角形的性质可以求出点到底面的距离，利用相似三角形的性质，可以求出三角形的面积表达式，最后利用导数求出其面积的最大值，最后也就求出了体积的最大值, 【详解】因为，，所以点在底面的射影是直角三角形斜边中点，所以球心在线段的延长线上，设，因此，，即，. 过作，垂足为，设，，，由，可得，，设，则有，由，可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当，函数有最大值，最大值为：.三角形的面积的最大值为. 三棱锥体积的最大值是. 故选：B 【点睛】本题考查了三棱锥体积最大值的求法，考查了几何体的性质，考查了直角三角形的性质，考查了导数的应用，考查了数学运算能力. 二、填空题13．计算__________．【答案】【解析】分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解．详解：令，可得，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分．结合图形可得所求定积分为和扇形的面积之和（如图），且中，，扇形中，．故．点睛：求定积分的方法有两种，一是根据微积分基本定理求解；二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化为图形的面积求解．14．在DABC中，，且，则_______. 【答案】【解析】先利用正弦定理化边为角，结合倍角公式求出，从而求出. 【详解】因为，所以；，解得（舍），；所以，解得，由,所以，故为锐角，所以. 【点睛】本题主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用边角关系进行转化，三角恒等变换也会经常使用. 15．已知双曲线C：，左、右焦点分别为，过点作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ 的内切圆的半径r =________．【答案】2 【解析】【详解】由双曲线的性质知，,因∠F1PQ=90°，故,因此，从而直角三角形的内切圆半径是,故填2. 点睛：在一个直角三角形中，内切圆的半径，可根据切线长定理得到：，其中分别为直角边和斜边. 16．正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的最小值为______. 【答案】【解析】建立空间直角坐标系，设，求出相应点的坐标，利用平面向量数量积的运算，结合平面，可以求出点的坐标，利用空间两点间距离公式，结合配方法求出线段长度的最小值. 【详解】以为空间直角坐标系的原点，以为轴. 设，，则，，因为平面，所以，所以线段长度为：，当时，有最小值，其值为. 故答案为：【点睛】本题考查了利用配方法求线段的长的最小值，考查了利用空间向量数量积的应用，考查了线面垂直的性质，考查了数学运算能力. 三、解答题17．设数列的前项之积为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：(1)由,再由可得数列的通项公式；(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围. 试题解析：解：（1）由，得，所以，所以．又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由，得，所以，因为对任意的，故所求的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考点】1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和. 18．为了了解我校高2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：校区愿意参加不愿意参加重庆一中本部校区220 980 重庆一中大学城校区80 720 （1）若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分的概率满足：，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的均值；②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的数学期望．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）由分层抽样的概念得结果；（2）①直接利用公式，可得“如花姐”得分的数学期望；②，由相互独立事件同时发生的概率计算公式，计算随机变量取每个值时的概率，由期望计算公式得结果．试题解析：（1）大学城校区应抽取人；（2）①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为，即；6 12 18 所以对于每一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为分；②记为“如花姐”做两道不完全会的题的得分总和，则；；．所以“如花姐”最后得分的期望值为分．【考点】（1）分层抽样；（2）离散型随机变量的分布列及期望．19．如图，棱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，，且．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值是．【解析】试题分析：（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面找到一条直线与直线平行即可．因为平面平面，则过点作于，连接，证明四边形为平行四边形即可；（2）由（1）知平面，又，为等边三角形，，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可．试题解析：（1）如图，过点作于，连接，，可证得四边形为平行四边形，平面（2）连接，由（1），得为中点，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由即，令，得设平面的法向量为由即，令，得所以，所以二面角的余弦值是【考点】（1）线面平行的判定定理；（2）利用空间向量求二面角．20．设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且. （I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．已知函数. （1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由已知，根据求导公式和法则，可得函数的导函数为，构造函数，易知在上为单调递增，则，因此若或时，函数没有零点，所以函数只有一个零点1；若或时，函数存在唯一个零点，所以函数有两个零点. （2）由（1）知，可对的取值范围，结合函数的单调性，进行分段讨论，对参数各段取值，逐一求出函数的最小值是否为，若是即满足题意，综合全部从而可确定参数的取值范围. 试题解析：（1），令，，故在上单调递增则因此当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点. （2）当时，，则函数在处取得最小值当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，使得. 若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，又，故不符合题意. 若，则，，函数在上单调递增，又，故不符合题意. 若，则，设正数则，与函数的最小值为矛盾. 综上所述，，即. 22．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，. （1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积. 【答案】(1)见解析;(2) . 【解析】试题分析：（1）化圆的标准方程为一般方程，再把代入一般方程得的极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义以及直线的点斜式方程，可得的直角坐标方程；（2）分别将代入，得，根据极径与极角的几何意义，利用三角形面积公式可得结果. 试题解析：（1）因为圆的普通方程为，把代入方程得，所以的极坐标方程为，的平面直角坐标系方程为；（2）分别将代入，得，则的面积为. 23．已知函数，. （1）求不等式的解集；（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】（1）利用零点分类讨论方法求解不等式解集即可；（2）由存在，存在，使得成立，可以转化为，利用绝对值的性质、函数的最值，通过解绝对值不等式求出的取值范围. 【详解】（1）时，，解得，不合题意；时，，解得，时，，解得. 综上，不等式的解集是. （2）因为存在，存在，使得成立，所以. 又，而，故的最小值是，可知，所以，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了存在性问题，考查了绝对值的性质，考查了数学运算能力.感谢您的阅读！。
河南省南阳市2019届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
河南省南阳市2019届高三上学期期中考试数学理试卷一、选择题（本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的模等于（）A. 5B. 25C.D.【答案】A【解析】分析：由复数的运算，求得，进而得，再根据复数模的计算公式，即可求解复数的模. 详解：由题意，复数的共轭复数满足，所以，所以复数，所以，故选A.点睛：本题主要考查了复数模的运算及复数的运算，其中熟记复数的运算公式和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），则向量a在向量b方向上的投影是，其中说法正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题①根据命题否定的规律判断命题是否为真；②化简研究命题中的条件和结论，从而判断条件间的关系；③根据函数图象上的点坐标，得到参数a的值，再利用解析式求出函数的值；④利用平面向量的数量积与投影的关系，判断命题是否正确，得到本题结论．【详解】①命题“存在x∈R，x2-x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2-x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，）∴2α=，∴α=−∴幂函数为f(x)＝，故f（4）的值等于∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是||cosθ＝.其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A．【点睛】本题考查了命题真假的判断，还考查了命题的否定、充要条件、幂函数解析式和向量的投影等知识，属于基础题．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，选D.考点：同角三角函数关系【方法点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。