福建省南平市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题含解析

福建省南平市2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列四个命题中，其中错误的个数是（）
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；
②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等； ③球的面积是它大圆面积的四倍；
④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知变量x ,y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+$
,且变量x ,y 之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( ) x 6 8 10 12 y
6
m
3
2
A ．变量x ,y 之间呈现负相关关系
B ．可以预测,当x =20时,y =﹣3.7
C ．m =4
D ．该回归直线必过点(9,4)
3．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线:()4
l R π
θρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的
圆的极坐标方程为（ ） A ．22sin()4
πρθ=+
B ．22sin()4
π
ρθ=-
C ．22cos()4
π
ρθ=+
D ．22cos()4
π
ρθ=--
4．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.
A ．23与26
B ．31与26
C ．24与30
D ．26与30
5．二项式()2n
a b +展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为( ) A ．24
B ．18
C ．6
D ．16
6． “a ＞0”是“|a|＞0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．设,x y 满足约束条件 2360200
x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪⎩…
„…，则3z x y =+的最大值是（ ）
A ．-3
B ．2
C ．4
D ．6
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足
()
()22lg 2lg 3lg x y x y +=+的概率为（ ）
A ．
18
B ．
14
C ．
13
D ．
12
9．已知复数z 满足()212i z i -=--，则复数z 等于( ) A ．i -
B ．45
i -
+ C ．45
i -
+ D ．i
10．已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,y
x a =+若样本点(,1)r 与(1,)s 的残差相同，则有() A ．r s = B ．2s r =
C ．23s r =-+
D ．21s r =+
11．函数
的图象的大致形状为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．用数学归纳法证明 1115
1236
n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）
A ．
111
313233k k k +++++ B ．
112
313233k k k +-+++ C ．11
331
k k -++ D ．133
k +
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.
14．设12,F F 是双曲线22
154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12:2:1PF PF =，则
12PF F ∆的面积等于__________．
15．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1p -，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是__________．
16．关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin ）定理：“平面上一区域D 绕区域外一直线（区域D 的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D 的面积与D 的几何中心（也称
为重心）所经过的路程的乘积”．利用这一定理，可求得半圆盘2210
x y x ⎧+≤⎨≤⎩，绕直线x 23π=旋转一周所
形成的空间图形的体积为_____．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()f x xlnx =. (1)讨论函数()f x 的单调性;
(2)对于任意正实数x,不等式()1
2
f x kx >-
恒成立,求实数k 的取值范围. 18．某蔬菜加工厂加工一种蔬菜，并对该蔬菜产品进行质量评级，现对甲、乙两台机器所加工的蔬菜产品随机抽取一部分进行评级，结果（单位：件）如表1：
（1）若规定等级,A B 为合格等级，等级,C D 为优良等级，能否有99.5%的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”？
（2）表2是用清水x 千克清洗该蔬菜1千克后，该蔬菜上残留的农药y 微克的统计表，若用解析式
$µ$2y mx
n =+作为y 与x 的回归方程，求出y 与x 的回归方程.（结果精确到0.1）（参考数据：5
2
155i i x ==∑，5
1
190i
i y
==∑，54
1
979i i x ==∑，5
21
1339i i i x y ==∑.）
19．（6分）已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大
距离等于4，离心率等于
1
3
，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ； （1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值
20．（6分）2名男生、4名女生排成一排，问：
（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？ （2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？
21．（6
分）已知二项式2
n
x ⎛ ⎝的展开式的二项式系数和为64 （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项；
22．（8分）已知()2
2
2
:650,:2100p x x q x x m m -+≤-+-≤>
(1)若2m =,且p q ∧为真,求实数x 的取值范围; (2)若p 是q 充分不必要条件,求实数m 的取值范围
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】
结合球的有关概念:如球的大圆、球面积公式、球面距离等即可解决问题,对于球的大圆、球面积公式、球面距离等的含义的理解,是解决此题的关键. 【详解】
对于①,若两点是球的一条直径的端点,则可以作无数个球的大圆,故①错; 对于②三部分的面积都是
24
3
R π，故②正确 对于③,球面积=24R π,是它大圆面积的四倍, 故③正确;
对于④,球面上两点的球面距离,是这两点所在大圆上以这两点为端点的劣弧的长,故④错. 所以①④错误. 所以C 选项是正确的. 【点睛】
本题考查球的性质,特别是求两点的球面距离,这两个点肯定在球面上,做一个圆使它经过这两个点,且这个圆的圆心在球心上,两点的球面距离对应的是这个圆两点之间的对应的较短的那个弧的距离. 2．C 【解析】 【分析】
根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择. 【详解】
对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系.
线性回归方程为0.710.3y x =-+$
，b =﹣0.7<0，故负相关. 对于B ：当x =20时，代入可得y =﹣3.7 对于C ：根据表中数据：()1
6810124
x =
+++=9. 可得0.7910.3y =-⨯+=4. 即
()1
63244
m +++=， 解得：m =5.
对于D ：由线性回归方程一定过(x y ，)，即(9，4). 故选：C. 【点睛】
本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题. 3．A 【解析】
试题分析：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方
程2
2
40x y x +-=，直线l 的直角坐标方程y x =．由2240
{x y x y x +-==，解得0{0x y ==或22
x y =⎧⎨=⎩，所以
()()0022A B ，，，，从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()2
2
112x y -+-=，即
2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为：()2
2cos sin 0ρρθθ-+=，即
()
2cos sin 4πρθθθ⎛⎫
=+=+
⎪⎝
⎭
故选A ． 考点：简单曲线的极坐标方程． 4．B 【解析】 【分析】
根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案. 【详解】
根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为31， 又由中位数的定义，可得数据的中位数为26， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．C 【解析】
由题意可得：11
1122n n C a b C a b n n
--⋅⋅=⋅，
∴
1
28C n
=，解得4n =. 它的第三项的二项式系数为264
C =.
故选：C.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 6．A 【解析】
试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．
解：∵a ＞0⇒
|a|＞0，|a|＞0⇒a ＞0或a ＜0即|a|＞0不能推出a ＞0， ∴a ＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选A
考点：必要条件． 7．D 【解析】 【分析】
先由约束条件画出可行域，再利用线性规划求解.
如图即为x ，y 满足约束条件2360200
x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪⎩…
„…的可行域，
由236020
x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得(0,2)A ， 由3z x y =+得13
3
z y x =-
+， 由图易得：当3z x y =+经过可行域的A 时，直线的纵截距最大，z 取得最大值， 所以3z x y =+的最大值为6， 故选D ．
【点睛】
本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】 先化简(
)()22
lg 2lg 3lg x y x y +=+，得到x y =或2x y =.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算
出所求的概率. 【详解】
由22
320x xy y -+=，有()()20x y x y --=，得x y =或2x y =，
则满足条件的(),x y 为()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()2,1，()4,2，()6,3，所求概率为91
364
p =
= ．故选B. 【点睛】
本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题. 9．D
【分析】
把给出的等式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解. 【详解】
Q ()212i z i -=--,
()()()()
122+125==222+5i i i i z i i i i -----==---∴,
=z i ∴.
故选:D. 【点睛】
本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题. 10．C 【解析】 【分析】
分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项. 【详解】
样本点(,1)r 的残差为21r a +-，样本点(1,)s 的残差为2a s +-，依题意212r a a s +-=+-，故
23s r =-+，所以选C.
【点睛】
本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题. 11．B 【解析】 【分析】
取特殊值排除得到答案. 【详解】
，排除ACD
故答案选B 【点睛】
本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算. 12．B 【解析】
分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.
详解：n k =时，左边为
111123k k k ++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为
111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是 1111112
3132331313233
k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．必要不充分 【解析】 【分析】
根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】
,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是
平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理. 14．12 【解析】 【分析】
通过双曲线的定义可先求出12PF PF ，
的长度，从而利用余弦定理求得12cos F PF ∠，于是可利用面积公式求得答案. 【详解】
由于22
154
x y -=
，因此a =
3c =，故12|26|=F F c =，由于12:2:1PF PF =即12=2PF PF
，而
122PF PF a -==
1PF
，2PF ，222121212124
cos 25
PF PF F F F PF PF PF +-∠=
=⋅，所以123sin 5F PF ∠=，因此1212121
||||sin 122
PF F S PF PF F PF ∆=∠=. 【点睛】
本题主要考查双曲线定义，余弦定理，面积公式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度中等. 15．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C 43p 3（1﹣p ）+p 4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2，根据题意列出不等式，解出p 的值． 详解：
每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，不出现故障的概率是p ， 且各引擎是否有故障是独立的，
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行； 4引擎飞机可以正常工作的概率是C 43p 3（1﹣p ）+p 4， 2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行， 2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2 要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全， 依题意得到C 43p 3（1﹣p ）+p 4＞p 2， 化简得3p 2﹣4p+1＜0， 解得
1
3
＜p ＜1． 故选：B ．
点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用． 16．2π 【解析】 【分析】
显然半圆的几何中心在半圆与x 轴的交线上，设几何中心到原点的距离为x ，根据古尔丁（guldin ）定理求得球的体积，根据球的体积公式列等式可解得x ，再根据这一定理即可求得结果. 【详解】
显然半圆的几何中心在半圆与x 轴的交线上，设几何中心到原点的距离为x ，
则由题意得：2πx•（2
1
12
π⋅）3413π=
⋅，解得x 43π
=， 所以几何中心到直线x 2
3π
=的距离为：
24233πππ+=， 所以得到的几何体的体积为：V ＝（2π2π
⋅）•（2
112π⋅）＝2π．
故答案为：2π
【点睛】
本题考查了球的体积公式，考查了古尔丁（guldin ）定理，利用球的体积求出x 是解题关键，属于中档题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）在1(0,)e 上单调递减,在1(,)e +∞上单调递增（2）(),1 2ln -∞-
【解析】
【分析】
（1）利用导数的正负即可求出单调区间；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可；
【详解】
(1)因为()f x xlnx =.所以()1f x lnx '=+,
令()0f x '=,得1x e
=, 当1(0,)x e ∈时,()0f x <′;当1
(,)x e ∈+∞时,()0.f x '>
所以函数()f x 在1
(0,)e 上单调递减,在1(,)e
+∞上单调递增. (2)由于0x >,()12f x kx >-
恒成立,所以12k lnx x
<+. 构造函数()12k x lnx x
=+,所以221121()22x k x x x x '-=-=. 令()0k x '=,解得12
x =,当1(0,)2x ∈时,()0k x '<,当1()2,x ∈+∞时,()0k x '>. 所以函数()k x 在点12x =处取得最小值,即1 1)22(k ln =-. 因此所求k 的取值范围是(),1 2ln -∞-.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化思想，属于中档题．
18．（1）有99.5%的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”（2）$22.060.1y x =-+
【解析】
【分析】
（1）根所给数据，利用公式求得2K ，与临界值比较，即可求得答案；
（2）根据所给数据求得µm
和$n ，即可求得其直线回归方程. 【详解】
（1）2K 的观测值()2
220030457055500012.7887.87510010085115391K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以有99.5%的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”.
（2）Q 5211115i i x ==∑，5
1
1385i i y ==∑， ∴µ2133951138751 2.0979511374
m -⨯⨯==-≈--⨯， ∴$µ751381160.1374n y m ω⎛⎫=-=--⨯≈ ⎪⎝⎭
， 可得$22.060.1y x =-+.
【点睛】
本题考查独立性检验中的计算2K 和求回归直线方程，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
19．（1）22
198x y +=；（2）max 89
r = 【解析】
【分析】
（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（
2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.
【详解】 由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩
，所以2228b a c =-=. 故椭圆的标准方程为22
198
x y +=； （2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ， 由22119
8x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=， 1212221664,8989
m y y y y m m -+=
=++ 22221(2
F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆Q 为的周长） 2121166F MN r S y y ∴==- 即
r ==令21t m =+，（1t ≥），
则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =
. 【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.
20．（1）360；（2）576.
【解析】
分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列数（捆绑法），再用全排列相减得结果.
详解：（1）法1：46
A 360=，法2：6
622A 360A =； （2）643643A A A 576-=．
答：分别有360和576种不同的排法.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
21．（1）3252
x -；（2）154. 【解析】
【分析】
（1）先求出6n =，再根据二项式系数性质得到最大项.
（2）根据展开式的通项得到答案.
【详解】
（1）依题意264n =，解得6n =
则6((22n x x -=，它的展开式共有7项，二项式系数最大的项是第4项，
所以该展开式中二项式系数最大的项为3
3
33246
5()(=22x T C x =- （2）由（1
）6((22n x x -=
，它的展开式的通项616()(2r r r r x T C -+=, 即3
662161(1)()2r r
r
r r T C x --+=-，令3602r -=，则4r =，
因此该展开式中的常数项为15
4
.
【点睛】
本题考查了二项式的计算，属于常考题型.
22．（1）[]1,3；（2）[)
4,+∞
【解析】
【分析】
(1)解不等求得p，根据m的值求得q；根据p∧ q为真可知p、q同时为真，可求得x的取值范围．
(2)先求得q．根据p是q的充分不必要条件，得到不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围．【详解】
(1)由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.
当m=2时,q:-1≤x≤3.
若p∧q为真,p,q同时为真命题,
则
15,
-13,
x
x
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
即1≤x≤3.
∴实数x的取值范围为[1,3]. (2)由x2-2x+1-m2≤0,得q:1-m≤x≤1+m.∵p是q的充分不必要条件,
∴
0,
1-1,
15,
m
m
m
>
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+≥
⎩
解得m≥4.
∴实数m的取值范围为[4,+∞).
【点睛】
本题考查了复合命题的简单应用，充分必要条件的关系，属于基础题．。