2021年高三数学月考试卷(三)理(含解析)湘教版

2021年高三数学月考试卷（三）理（含解析）湘教版
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A． 2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，
解答：解：由图知，
∴T=π，即=π，解得：ω=2．
由五点作图的第二点可知，2×+φ=，即φ=﹣，满足|φ|＜，
∴ω，φ的值分别是2，﹣．
故选：A．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解φ的值，是基础题．
2．在等比数列{a
n }中，若a
4
，a
8
是方程x2﹣3x+2=0的两根，则a
6
的值是（）
A．B．C．D．±2
解答：解：∵a
4，a
8
是方程x2﹣3x+2=0的两根，∴a
4
a
8
=2，a
4
+a
8
=3＞0．
∴a4＞0，a8＞0．
由等比数列{a n}，，∴．
由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号．
∴．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题．
3．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）
A． 2097 B．2112 C．xx D．2090
解答：解：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，
这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104．
由9a+104=xx，得a=212，是自然数．
故选C．
点评：本题考查简单的合情推理，得出9个数的关系是关键．
4．“2a＞2b”是“lga＞lgb”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解答：解：∵2a＞2b等价于a＞b，
当0≥a＞b或a＞0≥b时，lga＞lgb不成立；
∴充分性不成立；
又∵lga＞lgb等价于a＞b＞0，能得出2a＞2b；
∴必要性成立；
∴“2a＞2b”是“lga＞lgb”的必要不充分条件．
故选：B．
点评：本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时需要判定充分性是否成立，必要性是否成立，是基础题．
5．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．2 D．
∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•
∴e==故选A
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．
6．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）
A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）
解答：解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，
g（）=ln+1+a＜0，
g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，
∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；
故选C．
点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．
7．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长（）
A．B．C．D．
考点：点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图．
专题：空间位置关系与距离．
分析：取E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出ME，AE的长，即可求AM的长．
解答：解：如图所示，E，F分别为AD，BC的中点，则MNEF为等腰梯形．
由正（主）视图为等腰梯形，可知MN=2，AB=4，
由侧（左）视图为等腰三角形，可知AD=2，MO=2
∴ME==
在△AME中，AE=1，∴=
故选C．
点评：本题考查三视图与直观图的关系，考查学生的读图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
8．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．
其中正确说法是（）
A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④
考点：棱柱的结构特征．
专题：综合题．
分析：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；
②水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF 的变化EH不变判断正误；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．
解答：解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；
②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EF，所以结论正确；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选D．
点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．
9．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）
A． 2 B．4 C．6 D．8
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．
解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，
∴+=6，∴p=8，故选：D．
点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）
考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．
专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．
分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．
解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，
函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，
所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．
故选D．
点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为．
考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．
分析：复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，代入后，把它的分子、分母同乘分母的共轭复数，
化为a+bi（ab∈R）的形式，令虚部为0，可求m 值．
解答：解：由z1=m+2i，z2=3﹣4i，
则===+为实数，
得4m+6=0，则实数m的值为﹣．
故答案为：
点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．
12．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为．
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离；球．
分析：折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．
解答：解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，
∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，
则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=
所求球的体积为：×=．
故答案为：．
点评：本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
13．已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是．
考点：简单线性规划．
专题：数形结合．
分析：令t=2y，把原问题转化为在条件下求x2+t2的最小值，作出可行域后由点到直线的距离公式求出原点到直线2x+t=2的距离，则答案可求．
解答：解：∵x2+4y2=x2+（2y）2，令t=2y，
则问题转化为在条件下求x2+t2的最小值．
作可行域如图，
，则x2+t2≥．故答案为：．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．
14．已知数列{a n}的首项a1=2，其前n项和为S n．若S n+1=2S n+1，则a n= ．
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：把已知递推式两边加1，得到等比数列{S n+1}，求出其通项公式后，由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列{a n}的通项公式．
解答：解：∵S n+1=2S n+1，
∴S n+1+1=2（S n+1），
∵S1+1=a1+1=3≠0，
∴．
∴数列{S n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴S n+1=3•2n﹣1，
∴S n=3•2n﹣1，
∴a n=S n﹣S n﹣1=3•2n﹣1﹣1﹣3•2n﹣2+1=3•2n﹣2（n≥2），
n=1时，a1=2不满足上式，
∴．
故答案为：．
点评：本题考查了数列递推式，关键是把已知递推式变形，得到新的等比数列，是中档题．
15．过x轴正半轴上一点P的直线与抛物线y2=4x交于两点A、B，O是原点，A、B的横坐标分别为3和，则下列：
①点P是抛物线y2=4x的焦点；
②•=﹣2；
③过A、B、O三点的圆的半径为；
④若三角形OAB的面积为S，则＜S＜；
⑤若=λ，则λ=3．
在这五个命题中，正确的是①③④⑤．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：阅读型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：①设P（a，0），设直线方程，联立抛物线方程，消去y，得到二次方程，由两根之积，即可得到a；
②求出A，B的坐标，由向量的数量积的坐标表示，即可得到；
③运用两种方法求出三角形ABO的面积，注意面积公式S△ABC=absinC=；
④由△ABO的面积，即可判断；
⑤=λ，即=，由A，F，B的坐标，即可得到．
解答：解：由图可得A（3，2），B（，﹣）
①设P（a，0），过P的直线为y=k（x﹣a），联立抛物线方程消去y，得k2x2﹣（2ak2+4）x+k2a2=0，则3×=a2，a=1，
即P（1，0）即为焦点F，故①对；
②=（3，2）•（，﹣）=3×﹣2×=﹣3，
故②错；
③S△ABO=×1×（2）==
=，R=，故③对；
④S△ABO=＞，＜，故④对；
⑤若=λ，即=，λ==3，故⑤对．
故答案为：①③④⑤
点评：本题考查抛物线的定义、性质和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，得到二次方程，应用韦达定理求解，同时考查平面向量的数量积的坐标表示，和向量共线定理，以及求外接圆的半径应用面积公式，属于中档题．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若，且，求a和c的值．
考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．
专题：计算题；转化思想．
分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．
解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此．（6分）
（II）解：由，可得accosB=2，
，
由b2=a2+c2﹣2accosB，
可得a2+c2=12，
所以（a﹣c）2=0，即a=c，
所以．（13分）
点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．
17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：（本小题满分15分）
（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）
证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．
∵PA=PD，∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（9分）
解：（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；
Q（0，0，0），，，．
设M（x，y，z），则，，
∵，
∴，∴…（12分）
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．…（13分）
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，
∴，
∴t=3．…（15分）
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．
18．（12分）某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题；压轴题．
分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；
（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．
解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．
S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，
∵2a+6=y，∴，
∴，其定义域是（6，500）．
（2），
当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，
此时，x=50，y=60，S max=2430．
答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．
19．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．
考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，
解得a1=1，d=2．
∴a n=2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：
当n=1时，=，
当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．
∴=，n∈N*
由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．
∴b n=，n∈N*．
又T n=+++…+，
∴T n=++…++，
两式相减得：T n=+（++…+）﹣
=﹣﹣
∴T n=3﹣．
点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．
20．（13分）已知圆N：（x+2）2+y2=8和抛物线C：y2=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；
（Ⅱ）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；向量与圆锥曲线．
分析：（1）由圆N：（x+2）2+y2=8，知圆心N为（﹣2，0），半径r=2，设A（x1，y1），B （x2，y2），设l的方程为y=x+m，由直线l是圆N的切线，知，解得直线l的方程为y=x﹣2，由此能求出弦长|AB|．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由直线l是圆N的切线，得，解得此时直线l的方程为y=﹣x+2；当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2﹣2，则得不成立．综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．
解答：解：（1）∵圆N：（x+2）2+y2=8，
∴圆心N为（﹣2，0），半径r=2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线的斜率为1时，设l的方程为y=x+m，即x﹣y+m=0，
∵直线l是圆N的切线，∴，
解得m=﹣2，或m=6（舍去）
此时直线l的方程为y=x﹣2，
由，消去x得y2﹣2y﹣4=0，
∴△=（﹣2）2+16=20＞0，
y1+y2=2，y1•y2=4，
，
∴弦长|AB|=．
（2）（i）设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0（k≠0），
∵直线l是圆N的切线，∴，
得m2﹣4k2﹣4mk﹣8=0，①
由，消去x得ky2﹣2y+2m=0，
∴△=4﹣4k×2m＞0，即km＜且k≠0，
，，
∵点M与点N关于直线y=x对称，∴M（0，﹣2），
∴，，
∵，∴x1x2+（y1+2）（y2+2）=0，
将A，B在直线y=kx+m上代入并化简，得
，
代入，，
得，
化简，得m2+4k2+2mk+4k=0，②
①+②得2m2﹣2mk+4k﹣8=0，
即（m﹣2）（m﹣k+2）=0，
解得m=2，或m=k﹣2．
当m=2时，代入①，解得k=﹣1，满足条件，且k≠0，
此时直线l的方程为y=﹣x+2．
当m=k﹣2时，代入①整理，得7k2﹣4k+4=0，无解．
（ii）当直线l的斜率不存在时，
因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为x=2﹣2．
则得，y1+y2=0，
，
即，
由①得：
=x1x2+y1y2+2（y1+y2）+4
=20﹣12≠0，
当直线l的斜率不存在时，不成立．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=﹣x+2．
点评：本题考查线段长的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应用、直线与圆锥曲线的位置关系的应用．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
21．（13分）设函数f（x）=1﹣e﹣x，函数g（x）=（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（1）当a=0时，求函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值；
（2）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）由f（x）=1﹣e﹣x，知f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，故函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，由此能求出函数h（x）=f′（x）•g（x）的极值．（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），知≥0，分类讨论能够得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣e﹣x，∴f′（x）=﹣e﹣x•（﹣1）=e﹣x，
函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe﹣x，
∴h′（x）=（1﹣x）•e﹣x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
故该函数在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=．
（Ⅱ）由题1﹣e﹣x≤在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1﹣e﹣x∈[0，1），∴≥0，
若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞﹣恒成立，则a≥0．
不等式1﹣e﹣x≤恒成立等价于（ax+1）（1﹣e﹣x）﹣x≤0在[0，+∞）上恒成立，
令μ（x）=（ax+1）（1﹣e﹣x），则μ′（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，
又令v（x）=a（1﹣e﹣x）+（ax+1）e﹣x﹣1，
则v′（x）=e﹣x（2a﹣ax﹣1），∵x≥0，a≥0．
①当a=0时，v′（x）=﹣e﹣x＜0，
则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②当a≥0时，v′（x）=﹣a•e﹣x（x﹣）．
ⅰ）若2a﹣1≤0，即0＜a≤时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；
ⅱ）若2a﹣1＞0，即a＞时，若0＜x＜时，
v′（x）＞0，则v（x）在（0，）上单调递增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也单调递增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．
综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，]．
点评：本题考查函数极值的求法，求实数的取值范围．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．24268 5ECC 廌$23375 5B4F 孏23652 5C64 層O(20527 502F 倯Z@Q33029 8105 脅20080 4E70 买38749 975D 靝34006 84D6 蓖24630 6036 怶。