伯努利方程习题
化工原理伯努利方程练习题
第一章 流体流动【例1-1】 已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m 3与998kg/m 3，试求含硫酸为60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。
解：根据式1-49984.018306.01+=mρ =（3.28+4.01）10-4=7.29×10-4ρm =1372kg/m 3【例1-2】 已知干空气的组成为：O 221%、N 278%和Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为9.81×104Pa 及温度为100℃时的密度。
解：首先将摄氏度换算成开尔文100℃=273+100=373K再求干空气的平均摩尔质量M m =32×0.21+28×0.78+39.9×0.01=28.96kg/m 3根据式1-3a 气体的平均密度为：3kg/m 916.0373314.896.281081.9=⨯⨯⨯=m ρ【例1-3 】 本题附图所示的开口容器内盛有油和水。
油层高度h 1=0.7m 、密度ρ1=800kg/m 3，水层高度h 2=0.6m 、密度ρ2=1000kg/m 3。
（1）判断下列两关系是否成立，即 p A =p'A p B =p'B（2）计算水在玻璃管内的高度h 。
解：（1）判断题给两关系式是否成立 p A =p'A 的关系成立。
因A 与A '两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。
所以截面A-A'称为等压面。
p B =p'B 的关系不能成立。
因B 及B '两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B '不是等压面。
（2）计算玻璃管内水的高度h 由上面讨论知，p A =p'A ，而p A =p'A 都可以用流体静力学基本方程式计算，即p A =p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2p A '=p a +ρ2gh于是 p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2=p a +ρ2gh简化上式并将已知值代入，得800×0.7+1000×0.6=1000h解得 h =1.16m【例1-4】 如本题附图所示，在异径水平管段两截面（1-1'、2-2’）连一倒置U 管压差计，压差计读数R =200mm 。
伯努利方程习题参考(课后给学生)
3
v3
3
180N
对平板冲击力 F R 180 N
【例2】 有一贮水装置如图5-4所示，贮水池足够大，当阀 门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全 开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试 求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动 损失)。
1
沿流向取为x 方向 列动量方程
2
d1
v1 p1
1
R d 2 R
2
2
v2
R′
d1 Q2 d2 2 R p1 0 Q(v2 x v1x ) ) [1 ( ) ] 2 4 d1 d 2 4
2 25 2 4 0.02 2 0 . 05 5 R 1000( ) [ 1 ( ) ] 2 . 38 10 2 3600 0.02 0.05 4
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(5-6)
3
考虑到实际情况
qV实 Cd qV Cd
4
d
2 2
2 g ( 液 )h液
式中Cd为流量系数，通过实验测定。
[1 ( A2 / A1 ) 2 ]
(5-7)
文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔 板，喷嘴等，其基本原理与文特里流量计基本相同，不再 叙述。
将式(5-4)代入到式(5-3)，则
(5-4)
(5-5)
V2
2 g ( 液 )h液 [1 ( A2 / A1 ) 2 ]
式(5-5)表明，若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h 液，就可以确定流体的速度。流量为：
2 2 g ( 液 )h液 qV A2V2 d 2 4 [1 ( A2 / A1 ) 2 ]
伯努利方程习题
L —变直径管段AB '直径d' = 0・2m • cb=Q ・4m '高差Ah=h 5m 今測得p* = 30kN/m^ * pB =40kN/in^ * B 处斷面平均流速VB =1. om/s 。
试判斷水在管中的流动方向。
解：列A 、B 断面的连续性方程以A 所在水平面为基准面，得1 22^ + 11 = △力+ 血 +土 = 5.696川 pg 2g pg 2g 故水在管中的流动方向是从B 流向A 。
2.如图 ' 用抽水量Q=24f/h 的禹心水泵由水池抽水，水泵的安装高程hs=6m ，吸水管的 直径为d = 100[nni ，如水流通过进口底阀 '吸水管路、90°弯头至泵叶轮进口的总水头损失为h. = 0.4mHX ） *求该泵叶轮进口处的真空度p 0解：取卜1斷面在水池液面，2-2斷面在水泵进口 *选基准面在自由液面。
列1、2斷面的0 +上丄+ 0 = 6 +也+工+ 0.4 （其中p 为绝对压強）Z / 2ggk=N=6.4+咗Z Z 2gA 断面的总水头乙 +厶+ = 4.898川pg 2g B 斷面的总水头4Q 4x24----- 5 ----- = 0.849/M /SPvI 0 849 1= 9.8x 6,4 + -^—1 = 63. U/i2x9.83.如图，高压水箱的泄水管*当阀门关闭时，测得安装在此管路上的压力表读数为pi = 280kPa *当阀门开启后，庄力表上的读数变为p2=60kPa，已知此泄水管的直径D=25mm *求每小时的泄水流量。
（不计水头损失）解：取管中心轴为尿准面 ' 水箱中取17断面，压力表处为2・2斷面*闸门关闭时所以自由液面至管中心轴距离h=28・ 57m闸门打开后*列1一1 ' 2-2斷面能量方程/ 2gV2=2O・ 98ni/sQ=V2A2=37.4.如图，大水箱中的水经水箱底部的竖管流入大％，竖管直径为di = 200nini - 道出口处为收缩喷嘴，其直径d2=100nini，不计水头损失，求管道的泄流量Q及A点相对压强p\。
伯努利方程习题参考(课后给学生)
思考题
(1)欧拉法研究----------的变化情况 (A) 每个质点的速度 (B) 每个质点的轨迹
( C) 每个空间点的速度
(D) 每个空间点的质点轨迹
( C)
思考题
(2). 二元流动的速度分布为 u=2x+t, v=y2+2t, 则 t=0时, 点(1,2)的流体加 速度分量 ax 和ay 为---------(A) 1,2 ( C) 2,4 (B) 3,16 (D) 5,18
则
p1 Hg h h1 13.6 0.2 0.72 2 (mH2O) g
列1-1和2-2断面的伯努利方程
Hg gh p1 gh1 p1 Hg gh gh1
p1 V12 p 2 V 22 z1 z2 g 2 g g 2 g
3
v3
3
180N
对平板冲击力 F R 180 N
【例2】 有一贮水装置如图5-4所示，贮水池足够大，当阀 门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全 开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试 求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动 损失)。
将式(5-4)代入到式(5-3)，则
(5-4)
(5-5)
V2
2 g ( 液 )h液 [1 ( A2 / A1 ) 2 ]
式(5-5)表明，若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h 液，就可以确定流体的速度。流量为：
2 2 g ( 液 )h液 qV A2V2 d 2 4 [1 ( A2 / A1 ) 2 ]
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伯努利方程习题
伯努利方程习题1. 一变直径管段AB ，直径d A ＝0.2m ，d B ＝0.4m ，高差Δh ＝1.5m 。
今测得p A ＝30kN/m 2，p B ＝40kN/m 2，B 处断面平均流速v B ＝1.5m/s 。
试判断水在管中的流动方向。
解：列A 、B 断面的连续性方程 v v A A B BA A = 得 v v 6m/sB BA AA A ==以A 所在水平面为基准面，得 A 断面的总水头 24.8982A AA p v z m g gρ++=B断面的总水头225.69622B B B BB p v p v z h m g g g gρρ++=∆++=故水在管中的流动方向是从B 流向A 。
2. 如图，用抽水量Q ＝24m 3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程h s ＝6m ，吸水管的直径为d ＝100mm ，如水流通过进口底阀、吸水管路、90º弯头至泵叶轮进口的总水头损失为h w ＝0.4mH 2O ，求该泵叶轮进口处的真空度p v 。
Q解：取1-1断面在水池液面，2-2断面在水泵进口，选基准面在自由液面。
列1、2断面的能量方程，有4.02600222+++=++gvp p aγγ（其中p 为绝对压强）即gvp p p va 24.6222+==-γγ其中s m d Q v /849.036001.02444222=⨯⨯⨯==ππ故a v kPp 1.638.92849.04.68.92=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯=3. 如图，高压水箱的泄水管，当阀门关闭时，测得安装在此管路上的压力表读数为p 1＝280kPa ，当阀门开启后，压力表上的读数变为p 2＝60kPa ，已知此泄水管的直径D ＝25mm ，求每小时的泄水流量。
（不计水头损失）解：取管中心轴为基准面，水箱中取1-1断面，压力表处为2-2断面，闸门关闭时h p γ=1所以自由液面至管中心轴距离h ＝28.57m闸门打开后，列1－1、2－2断面能量方程gvp h 2000222++=++γ即： v 2＝20.98m/sQ ＝v 2A 2＝37.1m 3/h4. 如图，大水箱中的水经水箱底部的竖管流入大气，竖管直径为d 1＝200mm ，管道出口处为收缩喷嘴，其直径d 2＝100mm ，不计水头损失，求管道的泄流量Q 及A 点相对压强p A 。
伯努利方程的应用(例题)
截面2-2’处压强为 ：
P2 gh 10009.810.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 P2 (101330 3335) (10330 4905)
P1
(101330 3335)
0.079 7.9% 20%
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gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
R
式中 ：
Z1 1m，Z2 6m
u1
0， u2
VS A
84.82
3600
0.12
3m / s
4
P1 0(表压），
p2 0.02106 11770 8230Pa（表压）
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
R
其中： z1=0； p1=147×103 Pa（表压）；
u1
qV A
qm
d2
1000 / 3600 0.785 0.0532 1000
1.26m / s
4
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z2=0；喷嘴出口速度u2可直接计算或由 连续性方程计算
喷射泵是利用流体流动时静压能与动能的转换 原理进行吸、送流体的设备。当一种流体经过喷 嘴时，由于喷嘴的截面积比管道的截面积小得多 ，流体流过喷嘴时速度迅速增大，使该处的静压 力急速减小，造成真空，从而可将支管中的另一 种流体吸入，二者混合后在扩大管中速度逐渐降 低，压力随之升高，最后将混合流体送出。
伯努利方程计算题
伯努利方程计算题一、一根内径均匀的细玻璃管，开口向上竖直放置，管内有一段长15cm的水银柱封闭着一段空气柱，当玻璃管在竖直平面内缓慢转动至开口向下时，发现管内水银柱长度变为18cm，则大气压强为多少cmHg？（答案：C）A. 60cmHgB. 55cmHgC. 65cmHgD. 70cmHg二、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，现将玻璃管缓慢向上提起（管口未离开槽内水银面），直到管内外水银面相平，则此过程中（答案：A）A. 气体体积增大，压强减小B. 气体体积减小，压强增大C. 气体体积不变，压强不变D. 无法判断气体体积和压强的变化三、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若使玻璃管绕其下端在槽内水银面内匀速转动，则转动后（答案：D）A. 管内气体体积增大B. 管内气体体积减小C. 管内气体压强增大D. 管内气体压强不变四、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若环境温度升高，则管内水银面比槽内水银面高度差将（答案：B）A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法判断五、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若将玻璃管稍微上提一些（管口未离开槽内水银面），则（答案：A）A. 管内气体体积增大，压强减小B. 管内气体体积减小，压强增大C. 管内气体体积不变，压强不变D. 无法判断气体体积和压强的变化六、一根两端开口的玻璃管，下端附一塑料片（塑料片重力不计），竖直压入水面下20cm 深处，然后向管内缓慢注入某种液体，当管内液面高出水面5cm时，塑料片刚好脱落，则该液体的密度是多大？（答案：B）A. 0.8g/cm³B. 1.2g/cm³C. 1.0g/cm³D. 0.5g/cm³七、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若将玻璃管稍微倾斜一些（管口未离开槽内水银面），则（答案：D）A. 管内气体体积增大，压强减小B. 管内气体体积减小，压强增大C. 管内气体体积不变，压强不变D. 无法判断气体体积和压强的变化八、一根两端开口的玻璃管，下端附一塑料片（塑料片重力不计），竖直压入水面下10cm 深处，然后向管内缓慢注入水，当管内水面比管外水面高出多少时，塑料片刚好脱落？（答案：A）A. 10cmB. 5cmC. 15cmD. 20cm九、一端封闭的粗细均匀的玻璃管，开口向下竖直插入水银槽中，管内封闭有一定质量的气体，管内水银面比槽内水银面高4cm，若将玻璃管上端开口封闭，再将玻璃管缓慢向上提起（管口未离开槽内水银面），直到管内外水银面相平，则此过程中（答案：C）A. 气体体积增大，压强增大B. 气体体积减小，压强减小C. 气体体积不变，压强增大D. 无法判断气体体积和压强的变化十、一根两端开口的玻璃管，下端附一塑料片（塑料片重力不计），竖直压入水面下20cm 深处，然后向管内缓慢注入酒精，当管内酒精面高出水面多少时，塑料片刚好脱落？（答案：B）A. 10cmB. 25cmC. 30cmD. 35cm。
伯努利方程的应用(例题)
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
R
其中： z1=0； p1=147×103 Pa（表压）；
u1
qV A
qm
d2
1000 / 3600 0.785 0.0532 1000
1.26m / s
4
2019/7/29
z2=0；喷嘴出口速度u2可直接计算或由 连续性方程计算
2019/7/29
2019/7/29
分析：求Ne Ne=WeWs/η
柏努利方程
求We
P2=?
整体流动非连续
截面的选取？
塔内压强
解：取塔内水面为截面3-3’，下水道截面为截面4-4’， 取
地平面为g基z3准水u平232面，p在3 3-3g’z和4 4-4u’24间2 列 柏p4努利方程： 式中： u3 u4 0
将以上各值代入（b）式，可求得输送碱 液所需的外加能量：
We
18.59.81
2.452 2
29.4 103 1100 Nhomakorabea 30.8
242.0
j
/
kg
碱液的质量流量：
qm
4
d 2 2u2
0.785 0.072
2.451000
10.37kg
/
s
泵的有效功率：
Ne Weqm 24210.37 2510W 2.51kW
泵的效率为60%，则泵的轴功率：
N Ne 2.51 4.18kW
0.6
伯努利方程的应用(例题)
4
We
26 9.81
6.15104 1000
2.492 2
160
479.7J
/ kg
Ne
Weqm
We
qV
479.7 34.5 1000 3600
4.60kW
gz1
u12
gz3
u32 2
p3
h f 13
式中， z1 0 z3 2m p1 0(表压)
答：1.23m
3）确定输送设备的有效功率
例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后 流入下水道，已知管道内径均为0.1m，流量为84.82m3/h， 水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至喷头，管子 进口的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较塔内压强 高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计， 泵的效率为65%，求泵所需的功率。
R 10J / kg We ?
2019/7/29
将已知数据代入柏努利方程式:
g
We
6g
32 2
8230 1000
10
We 91.4J / kg
Ne Weqm We.qV
91.4 84.82 1000 2153W
3600
泵的功率：
N Ne 2153
2019/7/29
解：沿水流方向在上、下游取截面1-1’和2-2’。在这两截 面间列柏努利方程：
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
伯努力方程练习题
伯努力方程(Bernoulli’s Equation)是流体力学中描述理想流体(ideal fluid)能量守恒的方程式。
理想流体满足以下4个条件：1. 流体是非粘性的(nonviscous)，在相邻流层之间无内摩擦力；2. 流体不可压缩(incompressible)，因此密度恒定；3. 流体运动是稳态的(steady)，即流体中每一点的运动速度、密度和压力不随时间改变；4. 流体运动不存在湍流(turbulence)，意味着每个流体单元相对于中心的角速度为零，因此在该运动的流体中无任何涡流(eddy current)。
由于质量守恒及液体的流动处于稳态，因此有连续性方程(Equation of Continuity):根据能量守恒，可推导出理想流体的伯努力方程：通常表示为：伯努力方程中的每一项都是压力单位，在SI单位制中是Pa或N/m2。
由于1J=1N·m，所以1Pa=1J/m3。
每一项的物理意义是单位体积的能或做功，压力表ρv2为单位体积具有的动能，ρgy为单示单位体积的流体对前方流体所做的功。
12位体积具有的重力势能。
伯努力方程有两个特殊情况：1. 水平流动的液体y1=y2；2. 静止的液体v1=v2=0，则得到流体静力学方程：伯努力方程将理想流体不同两点的流速、压力和高度联系了起来，在应用该方程计算过程中先要分别写出每点各自的3个参数。
需要考虑几个要点：1.是否是以上2个特例；2.如果不是特例1，选择参考水平面，一般选择2个中较低的点作为参考比较简单；3.如果给出两处流体截面的半径或面积，则可根据连续性方程确定它们的流速关系；4.如果一个截面面积远远大于另一个截面（比如水桶里的水面和水桶下方的小孔），则截面大的流速v≈0；5.和大气相通则压力等于大气压(或表压为零)。
[例题一] 一个装满水的桶在水面以下0.80m处有一个开孔。
(a)当出口是水平开放的，水流出的速度是多少？(b)如果开口末端是竖直向上的，则形成的“喷泉”能达到多高？解：(a) 由于P1=P2，则伯努力方程为点1比点2高0.80m，即根据连续性方程A1》A2，v1相对于v2可忽略不计，故v1≈0。
伯努利方程的应用(例题)
式中：
2014-5-17
u3 u4 0
Z3 1m，Z 4 0.2m，
P4 0(表压），P3 ?
1000kg / m
g p3
3
将已知数据代入柏努利方程式得：
P3 11770Pa(表压）
计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’ 截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。
2
u1 7.34m / s
qV .h 3600
3600
4
4
d1 u1
2
0.082 7.34
132.8m3 / h
2014-5-17
2）确定容器间的相对位置
例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送
入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为
9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接
u2 u1 13733
由连续性方程有：
2
2
(a)
2
u1 A1 u 2 A2
0.08 d1 u1 u2 u1 d 0.02 2
2
2014-5-17
u2 16u1
联立(a)、(b)两式
(b)
6u
1
2
u1 13733
管直径为φ38×2.5mm，料液在连接
管内流动时的能量损失为30J/kg(不包 括出口的能量损失)，试求高位槽内 液面应为比塔内的进料口高出多少？
2014-5-17
分析：
高位槽、管道出口两截面 解： 取高位槽液面为截面 1-1 ’ ，连接管出口内侧为截面 2u、p已知
求△Z
柏努利方程
伯努利方程练习
第一章伯努利方程练习（一）班级姓名分数一、将293K 60%硫酸用泵从常压贮槽送入表压为200KN/m2的酸设备中，所用管子的内径为50mm，硫酸流入设备处与贮槽液面的垂直距离为15m，损失压头为22.6m酸柱，酸的流量为3Kg/s，硫酸的密度为1498 Kg/m3，求泵的有效功率？2、某离心泵安装在水平面上4.5m处，泵的流量为20m3/h，吸水管为￠108×4mm钢管，吸水管路中损失能量为24.5J/Kg，求泵入口处的压强，当地大气压为100 KN/m23、288K的水由水塔径内径为200mm钢管流出，水塔内液面高于管的出口25m，损失压头为24.6m，求导管中水的流速和流量？4、某车间循环水流程是凉水池中流体经泵到换热器后，再到凉水塔顶进行冷却。
凉水池水面比地面低1m，凉水塔塔顶比地面高10m，循环水量为72m3/h，水管内径为100mm，损失压头为13m，求泵的有效功率。
5、某塔高30m，现进行水压试验时，离塔底10m高处的压力计读数为500 KN/m2。
当地大气压力为100 KN/m2时，求塔底及塔顶处水的压力。
6、某水泵进出管处真空表的读数为650mmHg,出口管处压力表的读数2.5at，试求泵前后水的压力差为多少？多少米水柱？7、用压缩空气将封闭贮槽中的硫酸输送到高位槽，输送结束时贮槽距出口管的垂直距离为4m，硫酸在管中的流速为1m/s,管路的能量损失为15J/kg，硫酸的密度为1800kg/m3,求贮槽中应保持多大的压力（用at表示）8、已知d2=1／2d1其他物性不变，问因流动阻力产生的能量损失为原来的多少倍？9、贮存气体的容器连接一个U型管液柱压强计，压强计的另一端通大气，指示液的读数为100mmg，已知大气压强为750 mmg，汞的密度为13600 kg/m3，该容器的表压强为多少？绝对压强为多少？。
专升本伯努利方程练习题
专升本伯努利方程练习题### 专升本伯努利方程练习题#### 一、选择题1. 伯努利方程适用于哪种流体？A. 静止流体B. 可压缩流体C. 不可压缩流体D. 任何流体2. 在伯努利方程中，以下哪一项与流体的压强无关？A. 流体的密度B. 流体的流速C. 流体的高度D. 流体的粘度#### 二、填空题3. 伯努利方程的一般形式为 \[ P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{常数} \]，其中 \( P \) 表示______，\( \rho \) 表示______，\( v \) 表示______，\( g \) 表示______，\( h \) 表示______。
4. 当流体在管道中流动时，若管道横截面积增大，则流体的流速将______。
#### 三、简答题5. 解释为什么在通风管道中，管道的狭窄部分会产生较高的流速。
6. 描述伯努利方程在航空工程中的应用。
#### 四、计算题7. 假设有一个水平管道，管道的直径从 \( D_1 = 0.2 \) 米逐渐减小到 \( D_2 = 0.1 \) 米。
如果管道中的水以 \( v_1 = 2 \) 米/秒的速度流动，求在 \( D_2 \) 处水的流速 \( v_2 \)。
8. 考虑一个水塔，水面高度 \( h_1 = 10 \) 米，水从塔顶以\( v_1 = 5 \) 米/秒的速度流出。
求在离塔顶 \( h_2 = 5 \) 米处的水流速度 \( v_2 \)，假设水的密度为 \( \rho = 1000 \) 千克/立方米，重力加速度 \( g = 9.81 \) 米/秒²。
#### 五、论述题9. 论述伯努利方程在实际工程中可能遇到的局限性，并提出可能的解决方案。
答案提示：- 选择题：1.C，2.D- 填空题：3. 流体的压强，流体的密度，流体的流速，重力加速度，流体的高度- 简答题：5. 根据伯努利方程，流体在管道中流动时，流速增加会导致压强降低，因此在管道狭窄部分流速会增大。
伯努利方程题目
选择题伯努利方程的标准形式是什么？A. y' + P(x)y = Q(x)yn（正确答案）B. y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0C. y' = P(x)y + Q(x)D. y' + P(x)y = Q(x)求解伯努利方程时，若n=1，方程将转化为哪种类型的方程？A. 一阶线性微分方程（正确答案）B. 可分离变量的微分方程C. 齐次微分方程D. 恰当微分方程伯努利方程中，当P(x)和Q(x)均为常数，且n=2时，方程的解可能是什么形式？A. 指数函数解B. 三角函数解C. 双曲函数解或有理函数解（正确答案）D. 对数函数解在求解伯努利方程时，若n≠0且n≠1，通常采用的解题策略是？A. 直接积分B. 求解一阶线性微分方程（正确答案）C. 使用幂级数展开D. 应用拉普拉斯变换伯努利方程的一个实际应用领域是？A. 物理学中的波动方程B. 经济学中的增长模型（正确答案）C. 工程学中的热传导问题D. 生物学中的遗传模型求解伯努利方程时，若P(x)和Q(x)均为x的多项式函数，且n为常数，则方程的解可能是什么类型？A. 多项式解或超越函数解B. 有理函数解或隐函数解（正确答案）C. 幂级数解D. 三角函数解伯努利方程的解在什么条件下可能不存在或不是唯一的？A. 当P(x)和Q(x)均为常数时B. 当n为任意实数时C. 当Q(x)在某区间内变号且n<0或n>1时（正确答案）D. 当P(x)在某区间内连续时求解伯努利方程时，若n=0，方程将转化为哪种类型的方程？A. 一阶线性微分方程B. 可分离变量的微分方程（正确答案）C. 齐次微分方程D. 恰当微分方程伯努利方程中的P(x)和Q(x)通常是什么类型的函数？A. 必须是常数B. 可以是x的任意连续函数（正确答案）C. 必须是多项式函数D. 必须是三角函数。
伯努利方程习题
伯努利方程习题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-1.一变直径管段AB ，直径d A ＝0.2m ，d B ＝0.4m ，高差Δh ＝1.5m 。
今测得p A ＝30kN/m 2，p B ＝40k N /m 2，B 处断面平均流速v B ＝1.5m /s 。
试判断水在管中的流动方向。
解：列A 、B 断面的连续性方程v v A A B B A A = 得v v 6m/s B BA AA A == 以A 所在水平面为基准面，得A 断面的总水头24.8982A AA p v z m g gρ++= B 断面的总水头225.69622B B B BB p v p v z h m g g g gρρ++=∆++= 故水在管中的流动方向是从B 流向A 。
2.如图，用抽水量Q ＝24m 3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程h s ＝6m ，吸水管的直径为d ＝100mm ，如水流通过进口底阀、吸水管路、90o 弯头至泵叶轮进口的总水头损失为h w ＝0.4mH 2O ，求该泵叶轮进口处的真空度p v 。
解：取1-1断面在水池液面，2-2断面在水泵进口，选基准面在自由液面。
列1、2断面的能量方程，有4.02600222+++=++gv p p aγγ（其中p 为绝对压强）即gvp p p va 24.6222+==-γγ其中s m d Q v /849.036001.02444222=⨯⨯⨯==ππ 故a v kPp 1.638.92849.04.68.92=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯=3.如图，高压水箱的泄水管，当阀门关闭时，测得安装在此管路上的压力表读数为p 1＝280kPa ，当阀门开启后，压力表上的读数变为p 2＝60kPa ，已知此泄水管的直径D ＝25mm ，求每小时的泄水流量。
（不计水头损失）解：取管中心轴为基准面，水箱中取1-1断面，压力表处为2-2断面，闸门关闭时 所以自由液面至管中心轴距离h ＝28.57m闸门打开后，列1－1、2－2断面能量方程 即：v 2＝20.98m/sQ ＝v 2A 2＝37.1m 3/h4.如图，大水箱中的水经水箱底部的竖管流入大气，竖管直径为d 1＝200mm ，管道出口处为收缩喷嘴，其直径d 2＝100mm ，不计水头损失，求管道的泄流量Q 及A 点相对压强p A 。
伯努利方程的应用(例题)
1.96
u1 p1 u2 p2 gz1 We gz2 R 2 2
式中 ：
2
2
Z1 1m，Z 2 6m
u1 0， u2 VS
A
P 1 0(表压），
84.82 3600
4
0.12
3m / s
p2 0.02 106 11770 8230 Pa（表压）
2018/11/24
2018/11/24
分析：求Ne
Ne=WeWs/η求We源自柏努利方程 P2=? 塔内压强
截面的选取？
整体流动非连续
解：取塔内水面为截面 3-3 ’ ，下水道截面为截面 4-4 ’ ，
取
地平面为基准水平面，在 3-3’和4-4’间列柏努利方程： 2 2
u3 p3 u4 p4 gz3 gz4 2 2
2018/11/24
在截面1-1 ’ 和2-2’ 之间列柏努利方程式。以管道中心 线作基准水平面。 由于两截面无外功加入，所以We=0。 能量损失可忽略不计Σhf=0。 柏努利方程式可写为：
u P1 u P2 gZ1 gZ 2 2 2
式中： Z1=Z2=0 P1=3335Pa（表压） ，P2= - 4905Pa（表压 ）
式中：
2018/11/24
u3 u4 0
Z3 1m，Z 4 0.2m，
P4 0(表压），P3 ?
1000kg / m
g p3
3
将已知数据代入柏努利方程式得：
P3 11770Pa(表压）
计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’ 截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。
伯努利方程典型例题
伯努利方程典型例题一、一水平放置的管道中，水流以速度v1流过一截面A1，然后流经一较小截面A2时速度增至v2。
根据伯努利方程，下列哪个说法正确？A. 在A1处的压力大于A2处的压力B. 在A1处的压力小于A2处的压力C. 两处的压力相等D. 无法确定两处的压力关系（答案：A）二、一液体在竖直管道中向上流动，管道上部有一开口，液体在此处以速度v流出。
若忽略管道中的摩擦损失，根据伯努利方程，下列哪个描述是正确的？A. 管道底部的压力大于顶部的压力B. 管道底部的压力小于顶部的压力C. 管道底部和顶部的压力相等D. 管道底部的压力与液体流出速度无关（答案：A）三、一水流经过一收缩管道，流速从v1增加到v2，同时管道截面积从A1减小到A2。
若考虑无摩擦损失，根据伯努利方程，下列哪个关系成立？A. 动能增加量等于势能减少量B. 动能增加量大于势能减少量C. 动能增加量小于势能减少量D. 动能与势能之和保持不变（答案：D）四、一飞机在水平飞行时，其机翼上方的气流速度大于下方的气流速度。
根据伯努利方程，下列哪个说法是正确的？A. 机翼上方的压力大于下方的压力B. 机翼上方的压力小于下方的压力C. 机翼上下方的压力相等D. 机翼上下方的压力与气流速度无关（答案：B）五、一液体在文丘里管中流动，当液体流经收缩段时，其流速增加，压力降低。
根据伯努利方程，下列哪个描述是正确的？A. 收缩段入口处的压力大于出口处的压力B. 收缩段入口处的压力小于出口处的压力C. 收缩段入口和出口处的压力相等D. 收缩段内的压力与流速无关（答案：A）六、一水流在流经一弯曲管道时，若忽略摩擦损失，根据伯努利方程，下列哪个说法是正确的？A. 弯曲管道内侧的压力大于外侧的压力B. 弯曲管道内侧的压力小于外侧的压力C. 弯曲管道内外侧的压力相等D. 弯曲管道内的压力分布与管道形状无关（答案：B）七、一液体在竖直向上的管道中流动，若液体在管道底部的速度为v1，压力为P1，在管道顶部的速度为v2，压力为P2，且v2 > v1，根据伯努利方程，下列哪个关系成立？A. P1 > P2B. P1 < P2C. P1 = P2D. P1与P2的关系无法确定（答案：A）八、一水流在流经一扩大管道时，流速从v1减小到v2，同时管道截面积从A1增加到A2。
伯努利方程的应用(例题)
解: 如图 所示，取碱液池中液面为1-1′截面，塔顶喷嘴 入口处为2-2′截面，并且以1-1′截面为基准水平面。
在1-1′和2-2′截面间列柏努利方程
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
R （a）
或
We
g(z2
z1)
u22
u12 2
p2
p1
R（b）
其中：
z1=0； p1=0（表压）； u1≈0 z2=20-1.5=18.5m； p2=29.4×103 Pa（表压）
碱液的质量流量：
qm
4
d 2 2u2
0.785 0.072
2.451000
10.37kg
/
s
泵的有效功率：
Ne Weqm 24210.37 2510W 2.51kW
泵的效率为60%，则泵的轴功率：
N Ne 2.51 4.18kW
0.6
End
例：用泵将贮液池中常温下的水送到吸收塔顶部，贮液池 水面保持恒定，各部分的相对位置如图所示。输水管的直 径为Φ76×3，排水管出口喷头连接处压强为61500Pa，送 水量为34.5 m3/h，水流经全部管路（不包括喷头）的能量 损失为160 J/kg，试求泵的有效功率。又知在泵入口处安装 了真空表，真空表距水面高2m，从贮液池水面到真空表段 管路的能量损失为50 J/kg，试求真空表的计数。
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
R
式中 ：
Z1 1m，Z2 6m
u1
0， u2
VS A
84.82
3600
0.12
伯努利方程的应用(例题).
管直径为φ38×2.5mm，料液在连接
管内流动时的能量损失为30J/kg(不包 括出口的能量损失)，试求高位槽内 液面应为比塔内的进料口高出多少？
2018/8/3
分析：
高位槽、管道出口两截面 解： 取高位槽液面为截面 1-1 ’ ，连接管出口内侧为截面 2u、p已知
求△Z
柏努利方程
2’ ,
并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努
高位槽中液位恒定，高位力均为大气压。送液管 为φ45×2.5mm的钢管，要求 送液量为3.6m3/h。设料 液在管内的压头损失为 1.2m（不包括出口能量 损失），试问：高位槽 的液位要高出进料口多 少米？
答：1.23m
3）确定输送设备的有效功率
例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后 流入下水道，已知管道内径均为 0.1m，流量为 84.82m3/h， 水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至喷头，管子 进口的阻力忽略不计 ) 为 10J/kg，喷头处的压强较塔内压强 高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计， 泵的效率为65%，求泵所需的功率。
式中：
2018/8/3
u3 u4 0
Z3 1m，Z 4 0.2m，
P4 0(表压），P3 ?
1000kg / m
g p3
3
将已知数据代入柏努利方程式得：
P3 11770Pa(表压）
计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’ 截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。
2018/8/3
1.96
u1 p1 u2 p2 gz1 We gz2 R 2 2
式中 ：
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1. 一变直径管段AB ，直径d A ＝0.2m ，d B ＝0.4m ，高差Δh ＝1.5m 。
今测得p A ＝30kN/m 2，p B ＝40k N /m 2，B 处断面平均流速v B ＝1.5m /s 。
试判断水在管中的流动方向。
解：列A 、B 断面的连续性方程 v v A A B B A A =
得 v v 6m/s B B A A
A A == 以A 所在水平面为基准面，得
A 断面的总水头 2 4.8982A A A p v z m g g
ρ++= B 断面的总水头 22 5.69622B B B B B p v p v z h m g g g g
ρρ++=∆++= 故水在管中的流动方向是从B 流向A 。
2. 如图，用抽水量Q ＝24m 3
/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程h s ＝6m ，吸水管的直径为d ＝100mm ，如水流通过进口底阀、吸水管路、90o 弯头至泵叶轮进口的总水头损失为h w ＝0.4mH 2O ，求该泵叶轮进口处的真空度p v 。
解：取1-1断面在水池液面，2-2断面在水泵进口，选基准面在自由液面。
列1、2断面的能量方程，有 4.02600222+++=++g
v p p a γγ（其中p 为绝对压强） 即 g v p p p v a 24.62
22
+==-γγ 其中 s m d Q v /849.03600
1.02444222=⨯⨯⨯==ππ 故 a v kP p 1.638.92849.04.68.92=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯= 3. 如图，高压水箱的泄水管，当阀门关闭时，测得安装在此管路上的压力表读数为p 1＝280kPa ，当阀门开启后，压力表上的读数变为p 2＝60kPa ，已知此泄水管的直径D ＝25mm ，求每小时的泄水流量。
（不计水头损失）
解：取管中心轴为基准面，水箱中取1-1断面，压力表处为2-2断面，闸门关闭时
所以自由液面至管中心轴距离
h ＝28.57m
闸门打开后，列1－1、2－2断面能量方程
即：v2＝20.98m/s
Q＝v2A2＝37.1m3/h
4. 如图，大水箱中的水经水箱底部的竖管流入大气，竖管直径为d1＝200mm，管道出口处为收缩喷嘴，其直径d2＝100mm，不计水头损失，求管道的泄流量Q及A点相对压强p A。
解：取1-1断面在A处，2-2断面在喷嘴出口，自由液面为0-0断面，选基准面在喷嘴出口。
列0、2断面的能量方程，有
v2＝11.71m/s
Q＝v2A2＝0.09m3/s
v1＝Q/A1＝2.93m/s
又列0、1断面的能量方程，有
p A＝25.1kN
5. 如图，虹吸管从水池引水至C端流入大气，已知a＝1.6m，b＝3.6m。
若不计损失，试求：（1）管中流速v及B点的绝对压强p B。
（2）若B点绝对压强水头下降到0.24m以下时，将发生汽化，设C端保持不动，问欲不发生汽化，a不能超过多少？
解：取1-1断面在C处，2-2断面在B处，自由液面为0-0断面，基准面选在过C面中心的水平面。
列0、1断面的能量方程，有
v1＝v2＝8.4m/s
又列0、2断面的能量方程，有
p B＝47.04kPa
a＝6.16m
6. 如图，由水池通过等直径虹吸管输水，A点为虹吸管进口处，H A＝0；B点为虹吸管中与水池液面齐高的部位，H B＝6m；C点为虹吸管中的最高点，H C＝7m；D点为虹吸管的出口处，H D＝4m。
若不计流动中的能量损失，求虹吸管的断面平均流速和A、B、C各断面上的绝对压强。
解：A、B、C、D各断面上的平均流速相等，用v表示，
列自由液面与出口断面D的能量方程
v＝6.26m/s
列自由液面与A断面的能量方程
p A＝140.2kPa
列自由液面与B断面的能量方程
p B＝81.4 kPa
列自由液面与C断面的能量方程
p C＝71.6 kPa
7. 如图，水从敞口水池沿一截面有变化的管路排出，若质量流量q m＝15kg/s，d1＝100mm，d2＝75mm，不计损失，试求所需的水头H以及第二管段中央M点的相对压强。
解：取管中心轴为基准面，列自由液面与出口断面的能量方程 其中： s m d q v m /395.34222==ρ
π 故 H ＝0.588m
又列自由液面与M 处断面的能量方程
其中 s m d q v m /9.142
11==ρπ 故
p m ＝3.94kPa。