黑龙江省大庆铁人中学高一上学期12月月考数学试卷

大庆铁人中学高一学年上学期月考考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分150 分，答题时间120分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

）
1. 设集合{}0)3(≤-=x x x A ，集合{}
20≤<=x x B ，则集合B A ⋃等于（ ）
A. ()3,0
B. (]2,0
C. (][)∞+⋃∞，
32,- D. ]3,0[ 2. 3
11sin π
的值为（ ） A. 2
3
- B. 21- C. 23 D. 21
3. 函数x x x f -++=2)1lg()(的定义域为（ ）
A. （-1，0）∪（0，2]
B. [-2，0）∪（0，2]
C. [-2，2]
D. （-1，2]
4. 若x x f 2cos )(cos =，则)30(sin o
f 的值为( )
A ．1
B ．21
- C ．0 D ．2
1
5. 设2log 3=a ，2ln =b ，2
1
5=c 则（ ）
A. c b a <<
B. a b c <<
C. a c b <<
D. b a c << 6. 下列函数中,既是)2
,
0(π
上的增函数,又是以π为最小正周期的偶函数是( )
A ．x y 2cos =
B ．x y sin =
C ． x y 2sin =
D ． x y cos =
7. 3
则方程x +2x -8=0的近似解可取为（精确度0.1）（ ）
A. 1.50
B. 1.66
C. 1.70
D. 1.75
8. 函数)3
21sin(
π
+=x y ，]2,2[ππ-∈x 的单调增区间为（ ） A. [3232-ππ，] B. ]35,3[ππ- C. [335-ππ，] D. [3
43-ππ，] 9. 函数y ＝a x －1
a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )
10. 若143
log <a
（0>a 且1≠a ），则实数a 的取值范围是（ ） A. )1,43( B. )43,0( C. ),1()43,0(+∞⋃ D. ),1()1,4
3
(+∞⋃
11. 若α是三角形的一个内角，且5
1
)23cos(
)2sin(=+++απαπ，则αtan 的值是（ ） A.34- B. 43- C. 34-或4
3
- D.不存在
12. 函数x x x f πsin 21
1
)(++=
)125(-≠≤≤-x x 且的所有零点之和等于（ ） A. -10 B. -8 C. -6 D. -4
二、填空题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共20分。

）
13. 设函数⎩⎨⎧>≤-=0
,0,)(2x x x x x f ，若4)(=a f ，则实数=a _______．
14. 已知任意幂函数经过定点),(n m A ，则函数n m x x f a +-=)(log )(经过定点______ ． 15. 已知函数1sin )(3
++=x b ax x f ，若f （a ）=8，则f （-a ）= __ ____ ． 16. 对任意两实数a 、b ，定义运算“max{a ，b }”如下：max{a ，b }=⎩⎨⎧<≥b
a b b
a a ,,，
则关于函数}cos ,max{sin )(x x x f =，下列命题中：
①函数f （x ）的值域为[22-
，1]； ②函数f （x ）的对称轴为4
π
π+=k x ，Z k ∈ ； ③函数f （x ）是周期函数；； ④当且仅当x =2kπ（k ∈Z ）时，函数f （x ）取得最大值1； ⑤当且仅当Z k k x k ∈+
<<,2
322π
ππ时，f （x ）＜0； 正确的是__ __ （填上你认为正确的所有答案的序号） 三、解答题： （共6道大题，共70分） 17.（本题10分）
已知
3
1
cos sin cos sin =+-θθθθ，
(1)求θtan 的值； （2）求θ
θπθπ
πθ22sin 1)
(cos )2
cos()2sin(+---+；
18. （本题12分）
已知集合A={0322<--x x x }，B={11+<<-a x a x }，R a ∈． （1）若B ⊆A ，求实数a 所构成的集合C ；
（2）设函数x x f sin 4)(=，若实数0x 满足f （0x ）C ∈，求实数0x 取值的集合．
19.（本题12分）
若函数)cos()(φx ωx f +=，ω＞0，|φ|＜）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离
为
4π，且3
2πx =时f （x ）有最小值． （1）求)(x f 的解析式； （2）若]6
5,4[π
πx ∈，求f （x ）的值域．
20.（本题12分）
是否存在）
，（22-
π
πα∈，），（πβ0∈，使等式)2
cos(2)sin(βπ
απ-=-， )cos(2)cos(3βπα+-=-同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理
由。

21.（本题12分）
已知函数b ax ax x f +-=4)(2
（0>a ）
（1）若在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．求a ，b 的值；
（2）若在区间]1,1[-上，不等式f （x ）>m x +-恒成立，求实数m 的取值范围．
22.（本题12分） 已知函数1
1
ln
)(-+=x x x f ． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：0)742()3(2
2
>-+-+++x x f x x f ；
（3）若函数)1(ln )(--=x x x g 在),1(+∞上单调递减，比较f （2）+f （4）+…+f （2n ）与2n （n ∈N *）的大小关系，并说明理由．
大庆铁人中学高一学年上学期月考考试
数学答案
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间120 分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

一、选择题
答案
1~5:D A D B A 6~10: B B C D C 11~12: A B 二、填空题 答案
13. 4-或2 14. ），（12 15. -6
16. ①②③ 三、解答题
17.解：（1）由已知3
1
cos sin cos sin =+-θθθθ， 化简得θθθθcos sin cos 3sin 3+=-
整理得θθcos 2sin = 故2tan =θ
（2）
θ
θπθπ
π
θ22sin 1)(cos )2cos()2sin(+---+
θ
θ
θθ2
2sin 1cos sin cos +-= 又 1cos sin 22=+θθ
上式可化简为θ
θθθθθ2
222sin cos sin cos sin cos ++-911tan 21tan 2=+-=θθ 18. 解：（Ⅰ）A ={x |-1＜x ＜3}， A B ⊆⎩⎨
⎧≤+-≥-∴3
11
1a a 解得20≤≤a
综上，实数a 的构成的集合}20{≤≤=a a C （5分）
（Ⅱ）由题意， 函数x x f sin 4)(=，且f （0x ）C ∈，
∴2sin 400≤≤x ，从而2
1
sin 00≤≤x 则实数0x 取值的集合是},26
52,6
22{000Z k k x k k x k x ∈+≤≤+
+
≤≤πππ
ππ
ππ或 19.解：（1）∵函数f （x ）的一个零点与之相邻的对称轴之间的距离为，
∴f （x ）的周期T =π，即
，∴ω=2．又∵x =
时f （x ）有最小值，
∴f （）=cos （+φ）=-1，∴+φ=2k π+π，解得φ=2k π-，
∵|φ|＜
，∴φ=-，∴f （x ）=cos （2x -）． （2）∵x ∈[，
]，∴
，
∴当2x -
=π时，f （x ）取得最小值-1，当2x -=
时，f （x ）取得最大值，
∴f （x ）的值域是[-1，
]．
20.解：假设存在角βα,则由已知条件可得⎩⎨⎧==β
αβ
αcos 2cos 3sin 2sin
二式平方和得2cos 3sin 22=+αα21sin 2
=
∴α2
2
sin ±
=∴α ），（22-π
πα∈4
π
α±=∴
当4
π
α=时，由βαcos 2cos 3=
可知23cos =
β而），（πβ0∈6
π
β=∴此时满足题
意 当4
-
π
α=时，由βαcos 2cos 3=可知23cos =
β6
πβ=∴ 此时不满足βαsin 2sin =
，故舍去。

综上存在角βα,，6
4
π
βπ
α=
=
，
21.解：（1） ]1,0[∈x
f （x ）=a （x 2-4x ）+b =a （x -2）2+b -4a
∵a ＞0，∴函数图象开口向上，对称轴x=2，
∴f （x ）在[0，1]递减；∴f （0）=b=1，且f （1）=b-3a=-2，∴a=b=1；
（2）f （x ）＞-x +m 等价于 x 2
-4x +1＞-x +m ，
即 x 2
-3x +1-m ＞0，要使此不等式在]1,-1[∈x 上恒成立，
只需使函数g （x ）=x 2
-3x +1-m 在[-1，1]上的最小值大于0即可．
∵g （x ）=x 2
-3x +1-m 在[-1，1]上单调递减，∴g （x ）min =g （1）=-m -1，由-m -1＞0得，m ＜-1． 因此满足条件的实数m 的取值范围是（-∞，-1）． 22.解：（1）函数f （x ）为奇函数． 证明如下：由
，解得x ＜-1或x ＞1，
所以函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞） 对任意的x ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）， 有
，
所以函数f （x ）为奇函数．…4分
（2）任取x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，
则==，因为x2＞x1＞1，所以x1•x2+x2-x1-1＞x1•x2-（x2-x1）-1＞0，
所以，所以f（x1）-f（x2）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），所以函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减；
由f（x2+x+3）+f（-2x2+4x-7）＞0得：f（x2+x+3）＞-f（-2x2+4x-7），
即f（x2+x+3）＞f（2x2-4x+7），
又，2x2-4x+7=2（x-1）2+5＞1 ，
所以x2+x+3＜2x2-4x+7，
解得：x＜1或x＞4，
所以原不等式的解集为：（-∞，1）∪（4，+∞）．8分
（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．理由如下：
因为，
所以f（2）+f（4）+…+f（2n）-2n=ln（2n+1）-2n=ln（2n+1）-[（2n+1）-1]，又g（x）=ln x-（x-1）在（1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，所以g（2n+1）＜0，
即ln（2n+1）-[（2n+1）-1]＜0，
故f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．…12分。