数学：《平面向量基本定理》课件(人教A版必修二)共26页
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即（2 - ）a +(k - 4)b = 0
2 -= 0 k – 4 = 0
k = 8 .
评析 本题在解决过程中用到了两向量
共线的充要条件这一定理，并借助平 面向量的基本定理减少变量，除此之 外，还用待定系数法列方程，通过消 元解方程组。这些知识和考虑问题的 方法都必须切实掌握好。
2. 在实际问题中的指导意义在于
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
例5、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.
找到表示一个平面所有向量的一组基
底（不共线向量 e1 与 e 2 ），从而将 问题转化为关于e1、e 2 的相应运算。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
N
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 1、2是否相同？
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1 = 2 = 0
？若
与
1
2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e1 + 2e 2 . 况会是怎样？
请大家动手, 在图中确定一组
DM
C
基底，将其他向
量用这组基பைடு நூலகம்表
示出来。
A
N
B
解析： 设AB = e1,AD = e 2 ,则有：
1
1
DC = 2 AB = 2 e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1 =
-1
2
e1 +
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
=
1 2
e1 - e 2
21
-4
e1
=
1 4
e1
-
e2
.
A
N
B
评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。
思考 设 a、b是两个不共线的向量，
已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共 线，求k的值。
数学：《平面向量基本定理》课件(人 教A版必修二)
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
D
C
e1
AM
·O
A
B
例５ ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和
D
E
C
AB的中点,
AE=
=
CF=
AD+
b+
1 2
CB+
DE aA BF =
-b
-
F
1 2
a
B
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数1、2使
a = 1e1 + 2e 2 我们把不共线的向量e1、e 2 叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底。
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
M
CF
M
C
Aa
a
O
N BO
解：A、B、D三点共线
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD –
CB
=(2a – b) –(a
=+3ab)– 4b
则需 2a + kb = (a – 4b ) 由向量相等的条件得 2 =
k = 4
k = 8 .
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
特别的，若a与 e1（ e2）共线，则有
2=0（1 =0），使得: a = 1e1 + 2e 2 .
例3：
已知向量 e1 、e 2 求做向量-2.5 e1+3 e 2
C
B
e2
A e12.5e1
3e2
·O
例4
且 如A图 Ba所 示 A， D， b， 平用 aA、 行 bB表C四 的 示 CD M边 两 、 AM形 条 、 BM对 C 、 M角 D ? 线M B相 ，
平面向量基本定理
2.3.1平面向量的基本定理
设e1 、e 2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
即 a = 1e1+ 2e 2 .
e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = 1 (AD+BC)
2
谢谢同学们
再 见
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
2 -= 0 k – 4 = 0
k = 8 .
评析 本题在解决过程中用到了两向量
共线的充要条件这一定理，并借助平 面向量的基本定理减少变量，除此之 外，还用待定系数法列方程，通过消 元解方程组。这些知识和考虑问题的 方法都必须切实掌握好。
2. 在实际问题中的指导意义在于
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
例5、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.
找到表示一个平面所有向量的一组基
底（不共线向量 e1 与 e 2 ），从而将 问题转化为关于e1、e 2 的相应运算。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
N
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 1、2是否相同？
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1 = 2 = 0
？若
与
1
2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e1 + 2e 2 . 况会是怎样？
请大家动手, 在图中确定一组
DM
C
基底，将其他向
量用这组基பைடு நூலகம்表
示出来。
A
N
B
解析： 设AB = e1,AD = e 2 ,则有：
1
1
DC = 2 AB = 2 e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1 =
-1
2
e1 +
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
=
1 2
e1 - e 2
21
-4
e1
=
1 4
e1
-
e2
.
A
N
B
评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。
思考 设 a、b是两个不共线的向量，
已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共 线，求k的值。
数学：《平面向量基本定理》课件(人 教A版必修二)
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
D
C
e1
AM
·O
A
B
例５ ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和
D
E
C
AB的中点,
AE=
=
CF=
AD+
b+
1 2
CB+
DE aA BF =
-b
-
F
1 2
a
B
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数1、2使
a = 1e1 + 2e 2 我们把不共线的向量e1、e 2 叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底。
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
M
CF
M
C
Aa
a
O
N BO
解：A、B、D三点共线
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD –
CB
=(2a – b) –(a
=+3ab)– 4b
则需 2a + kb = (a – 4b ) 由向量相等的条件得 2 =
k = 4
k = 8 .
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
特别的，若a与 e1（ e2）共线，则有
2=0（1 =0），使得: a = 1e1 + 2e 2 .
例3：
已知向量 e1 、e 2 求做向量-2.5 e1+3 e 2
C
B
e2
A e12.5e1
3e2
·O
例4
且 如A图 Ba所 示 A， D， b， 平用 aA、 行 bB表C四 的 示 CD M边 两 、 AM形 条 、 BM对 C 、 M角 D ? 线M B相 ，
平面向量基本定理
2.3.1平面向量的基本定理
设e1 、e 2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
即 a = 1e1+ 2e 2 .
e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = 1 (AD+BC)
2
谢谢同学们
再 见
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特