九年级上册数学 二次函数易错题(Word版 含答案)

九年级上册数学 二次函数易错题（Word 版 含答案）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
1．在平面直角坐标系中，将函数2
263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．
（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）0a =或3a =-；（2）
118；（3）21136x -<<-；（4）1
8
m <-或1
16
m >-
【解析】 【分析】
（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】
解：（1）当1m =-时，()2
2613y x x x =++≥
把(),1P a 代入，得
22611a a ++=
解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<
当0m ≤时，2
22
3926=2()22
y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
此时，229911=()22918
m m m -
--++ ∴0y 的最大值1
18
=
综上所述，0y 的最大值为
118
（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0
当抛物线顶点在x 轴上时，2
2
=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29
m =-
由题意可知抛物线的对称轴为直线x=3
2
m 且x ≥3m
∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是
21136
x -<<- （4）18m <-或1
16
m >- 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．已知函数2222
22(0)
114(0)
2
2x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪
=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，
①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．
②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．
（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点
()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．
【答案】（1）1a =或3a =-；（2
）①1x =--
1x =+；②
7
2
4m ≤<或21m -<<-；（3
）3a <--
或1a ≤<-
或a >【解析】 【分析】
（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线
y m =观察其与图像交点，即可得到答案．
（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将
2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211
422
y x ax a =---+与0比大小；第二
种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211
422
y x ax a =-
--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2
2
22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211
422
y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】
（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-
--+中，得211
2422
a a =---+，解得1a =或3a =-．
（2）当1a =-时，函数为2221,
(0)17
(0)
2
2x x x y x x x ⎧+-<⎪
=⎨-++≥⎪
⎩，
①令2210x x +-=
，解得1x =--
1x =- 令217
022
x x -
++=
，解得1x =+
或1x =-
综上，1x =--
1x =+．
②对于函数()2
210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217
(0)22
y x x x =-
++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫
⎪⎝⎭
． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足
7
2
4m ≤<或21m -<<-． （3）22
22y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211
422
y x ax a =-
--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2
2
22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础
上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111
49342222
0y x ax a a a =---+=⨯--+<-，
解得3a >
或3a <--，
综上可得：3a <--．
②当20a -≤<时，若使得2
2
22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足
2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，
22222=20y x ax a a =-+--≤；得222a -≤<-，
在此基础上若使2211
422
y x ax a =-
--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111
4=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，
2221111
49342222
2y x ax a a a =---+=⨯--+>-；
求得21a -<<-； 综上：21a -≤<-．
③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，
22222=22y x ax a a =-+--≥且222111
4+40222
y x ax a a =---+=-<；
求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．
综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】
本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．
3．如图，若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝x ﹣3经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点M ，连接PC ．
①线段PM 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P 运动的过程中，是否存在点M ，恰好使△PCM 是以PM 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）①有，9
4
；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2) 【解析】 【分析】
（1）由直线表达式求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①根据PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+9
4
即可求解； ②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可． 【详解】
解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3， 故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3）， 将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：9303b c c ++=⎧⎨
=-⎩
，
解得：3
2c b =-⎧⎨=-⎩
，
故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， ①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+9
4
， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：9
4
； ②存在，理由：
PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；
（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2， 解得：x ＝0或2（舍去0）， 故x ＝2，故点P （2，﹣3）；
（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，
解得：x ＝0或（舍去0和），
故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，
故点P （3，2﹣）．
综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
4．如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与坐标轴的交点为()30A -,
，()10B ,，()0,3C -，抛物线的顶点为D ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若E 为第二象限内一点，且四边形ACBE 为平行四边形，求直线CE 的解析式． （3）P 为抛物线上一动点，当PAB ∆的面积是ABD ∆的面积的3倍时，求点P 的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =+-；（2）33y x =--；（3）点P 的坐标为()5,12-或
()3,12．
【解析】 【分析】
（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；
（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；
（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解． 【详解】
（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与坐标轴的交点为()30A -,
，()10B ,，()0,3C -，
∴93003
a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
，解得1
23a b c =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
∴抛物线的解析式为2
23y x x =+-． （2）如图，过点E 作EH x ⊥轴于点H
，
则由平行四边形的对称性可知1AH OB ==，3EH OC ==． ∵3OA =，∴2OH =，∴点E 的坐标为()2,3-． ∵点C 的坐标为()0,3-，
∴设直线CE 的解析式为()30y kx k =-< 将点()2,3E -代入，得233k --=，解得3k =-，
∴直线CE 的解析式为33y x =--．
（3）∵22
23(1)4y x x x =+-=+-，
∴抛物线的顶点为()1,4D --．
∵PAB ∆的面积是ABD ∆的面积的3倍， ∴设点P 为(),12t ．
将点(),12P t 代入抛物线的解析式2
23y x x =+-中，
得22312t t +-=，解得3t =或5t =-， 故点P 的坐标为()5,12-或()3,12． 【点睛】
本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．
5．如图，抛物线2
y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为
3,0，点C 的坐标为()0,3．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线
AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作
QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面
积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．
【答案】（Ⅰ）2
23y x x =--+；（Ⅱ）1
2
；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；
（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求
当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；
（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解． 【详解】
解:（Ⅰ）依题意()()2
330
{3
b c c --+⨯-+==
解得2{3
b c =-= 所以2
23y x x =--+
（Ⅱ）2223(1)4y
x x x
抛物线的对称轴是直线1x =-
(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-
∵P 、Q 关于直线1x =-对称 设Q 的横坐标为a 则()11a x --=-- ∴2a x =--
∴(
)
2
2,23Q x x x ----+
∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--
∴周长(
)
2
22
222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++ 当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M - ∴2(3)1AM =---= 设直线AC 的解析式为y kx b =+
则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩
∴设直线AC 的解析式为3y x
将2x =-代入3y
x
，得1y =
∴(2,1)E -， ∴1EM
=
∴111
11222
AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯=
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合， ∴3OQ = ∵2223(1)4y
x x x
∴()1,4D -
过D 作DK y ⊥轴于K ， 则1DK =，4OK = ∴431OK OK OQ =-=-= ∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =
∴224FG DQ ==
设(
)
2
,23F m m m --+，则(,3)G m m +
()223233FG m m m m m =+---+=+
∴234m m +=，解得14m =-，21m = 当4m =-时，2235m m --+=- 当1m =时，2230m m --+=． ∴()4,5F --或()1,0
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．
6．如图，直线3y
x
与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线
2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=
（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；
（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相
似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）2
43y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
或(4,3)-- 【解析】 【分析】
（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；
（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】
解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，
∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OC
OB
=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），
把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，
93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨
⎪=⎩
，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的解析式为：2
43y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；
（2）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，
∵B（-1，0），D（-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，∴AB AC
BP BA
=，
即
232
2
BP
=，
解得BP=22
，
过点P作PE⊥x轴于E，
则BE=PE=
2
3
×
2
2
=
2
3
，
∴OE=1+2
3=
5
3
，
∴点P的坐标为（-5
3，-
2
3
）；
②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB AC
BA BP
=，
即232
2BP =，
解得BP=32
过点P作PE⊥x轴于E，
则BE=PE=2
=3， ∴OE=1+3=4， ∴点P 的坐标为（-4，-3）； 综合上述，当52,33P ⎛⎫--
⎪⎝⎭
或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ∆相似；
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．
7．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x
的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．
（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．
（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．
【答案】(1) －2；(2) y=
13x+103，90；(3) m ＜0，或；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．
【解析】
【分析】
（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；
（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；
（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．
（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．
【详解】
（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x
中，得到k =－2．
故答案为：－2．
（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．
得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．
故答案为：y =13x +103
，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）． 将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．
解得：12m m =
=（不合题意，舍去）．
所以m = ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．
将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．
解得：123322m m =
=（不合题意，舍去）．
所以32
m +=． 综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m
=
12+或m
=32． （4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．
∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．
①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．
代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．
②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．
代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．
综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．
【点睛】
本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．如图，已知顶点为M （32，258
）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）213222y x x =-
++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】
【分析】 （1）用待定系数法求解即可；
（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；
（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222
a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣
32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣
32）2+258， 解得：a ＝﹣12
， ∴抛物线的表达式为：213222
y x x =-
++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32
x +2＝2， 即点C 坐标为（0，2）， 同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），
过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H
，
由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝
12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32
x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为：
S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12
-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，
当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；
（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32
a +2），
当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，
PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32
a ， 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，
∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，
∴△COQ ′∽△Q ′FP ，
'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F
-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，
∴OQ ′＝
OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′＝22223213CO OQ +=
+=， 此时a ＝13，点P 的坐标为（13，
9313-+）． 【点睛】 此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．
9．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2
y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．
【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73
-） 【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；
（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32
AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案； （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.
【详解】
解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，
03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩
解得
1
4
3
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
∴此抛物线的表达式是：243
y x x
=-+-．
（2）过点D作DH⊥BC于H，
在△ABC中，设AC边上的高为h，则
11
:():():3:2
22
ABD BCD
S S AD h DC h AD DC
∆∆
=⋅⋅==，又∵DH//y轴，
∴
2
5
CH DC DH
OC AC OA
===．
∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴
26
3
55
CH DH
==⨯=．
∴
64
2
55
BH BC CH
=-=-=．
∴tan∠DBC=
3
2
DH
BH
=.
（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，
∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，
∵∠BAC=∠FAC ，
∴∠OAB=∠OFA ．
∴△OAB ∽△OFA ， ∴13
OB OA OA OF ==． ∴OF=9，即F （9，0）；
设直线AF 的解析式为y=kx+b （k≠0），
可得093k b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得133
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AF 的解析式为：133
y x =-， 将x=2代入直线AF 的解析式得：73
y =-， ∴E （2，73
-
）. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.
10．如图，经过原点的抛物线2
y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．
（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；
（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；
（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？
【答案】（1）214y x x =
-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）512
t =
或98t = 【解析】
【分析】
（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；
（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；
（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点， ∴0b =．
又抛物线的对称轴是直线2x =，
∴122a --=，解得：14
a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =
-． 令2104
y x x =-=， 解得：10x =，24x =．
∴点D 的坐标为(4,0)．
（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．
证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，
如图①，AE EG GC +=，
∴EG GC AE =-，
∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，
∵2EC EA -=，
∴1EG =，
∴(1,2)E ，
过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．
∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，
∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．
∴PEB HEF ∠=∠．
在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，
∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，
∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，
∴12
PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=，
∴5PF PE =．
（3）由2211(2)144
y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．
若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：
（I ）若FM FD =．如图②所示：
连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，
∵(4,0)D ，
∴2222125MD MN ND =+=+=． 设FM FD k ==，则2NF k =-．
在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，
∴22(2)1k k -+=，
解得：54k =
， ∴54FM =，34
NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；
令1y =-，则
2114
x x -=-， ∴2x =，即ON=2，
∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ∵(1,2)E ，
∴1,2BE BP t ==-，
∴221(2)PE t =+-，
∴251(2)PF t =•+-，
在Rt △OPF 中，由勾股定理，得
222OP OF PF +=,
∴22211(
)55(2)4t t +=+-， ∴98
t =． （II ）若DF DM =．如图③所示：
此时5FD DM ==
∴45OF =，
∴(45,0)F ，
由（I ）知，PE =，PF =
在Rt △OPF 中，由勾股定理，得
222OP OF PF +=，
∴222(455(2)t t +-=+-
∴12
t =． （III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．
∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，
故此种情形不存在．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。