立体及其表面上的点和线

c a d
§7-1 立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(三) 圆锥体
以轴线为铅垂线的圆锥体为例 空间分析：
圆锥面最左、 最右素线投影
Z
圆锥面最前、 最后素线投影
投影图：
各面投影特点：
X
前后分界线 §7-1 立体及其表面上的点和线
Y
左右分界线
(1)圆锥面：一个 圆与两个等腰三角形； (2)底面：一个圆 与两条直线。
§7-1 立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(二) 圆柱体
例3 已知圆柱面上的点A的正面投影，求其余两面投影。
分析：
(a') a”
由于圆柱面的水平投影有积 聚性，则a必在圆周上;而(a’ )不 可见，则点A必在后半个圆柱面 上；A点在左半个圆柱面上，故a” 可见。 作图： (1)过(a’ )作投影线，找到 直线与圆周的交点; (2)根据投影规律求出a”。
(二) 圆柱体
圆柱体的投影特点： 1.在与轴线垂直的投影面上， 圆柱体的投影为圆。 2.在与轴线平行的两个投影面 上，圆柱体的投影为全等的矩形。 注意： 1.圆与矩形需要用细点画线画出对称中心线；矩形的对称 中心线是轴线的投影，圆的圆心是轴线的积聚性投影。 2.圆柱面有积聚性，在其有积聚性的投影（圆周）上，任 何一点都是相应位置直素线的投影。
主视图：从前向后做正投射得到的图形。
各点投影符合 三面投影特性 俯视图：从上向下做正投射得到的图形。 左视图：从左向右做正投射得到的图形。
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
(一) 三棱锥的三视图
Z V s' s” a' X c' b'
投影过程： (1)建立坐标系; (2)作正投影; (3)投影面展开;
s' Z s” A a' X a s b c' b' c a” O (c”) B b” YW C S
步骤： (1)画底面△ABC 的三投影; (2)画顶点S 的三投影; (3)画左棱面△SAB 的三投影； (4)画右棱面△SBC 的三投影；
YH
(5)画后棱面△SAC 的三投影。
§7-1 立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
(一) 平面立体投影图的特点
2.投影分析
s' Z s”
(1)底面△ABC ：一个三角形、 两条直线。(水平面) (2)左棱面△SAB ：三个三角 形。(一般位置平面)
a' X a s b
c' b'
a” O (c”)
b” YW
(3)右棱面△SBC ：三个三角 形。(一般位置平面) (4)后棱面△SAC ：两个三角 形、一条直线。 (侧垂面) 注意： 一个粗实线封闭的线框，表 示一个面的投影，通常又是两个 表面的重影。
§7-1 立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
例2 已知四棱锥表面上线段的正面投影，求其水平投影。
s'
作图：
2' f' 1' g' a' b'(d') d c' 3' h'
(1)求取过Ⅲ的直线ⅢF 的投影 ; (2)延长1’2’，分别交s’a’、s’c’于g’、h’ ; (3)作GⅢ与ⅢH 的水平投影；
圆母线绕以 它的直径为轴线 回转而成圆球面
O
圆母线绕和 它的共面但不过 圆心的轴线回转 而成圆环面
O
A
O
A1
O
O
O
形体 由圆锥面和一个圆 由圆柱面和两个圆 由圆球面围成的 构成 平面围成的实体 平面围成的实体 实体
由圆环面围成的 实体
母线上任意一点的轨迹是一个圆周(纬圆)；其圆心是轨迹平面和轴线 一般 性质 的交点，半径是点到轴线的距离。 §7-1 立体及其表面上的点和线
平面立体
曲面立体
在工程上，将立体的三面投影称为三视图。
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
() 三棱锥的三视图
Z V s' S a' X s”
投影过程： (1)建立坐标系;
左视图
b' A B
C
a” O (c”)
b” Y
(2)作正投影; (3)投影面展开;
主视图 俯视图
a
s c b
a”
m' m a s
m”
(1)过(a’ )作直素线s’m’ ; (2)求出sm和s”m”； (3)在sm和s”m”上求得a和a”。
§7-1 立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(三) 圆锥体
例6 已知圆锥面上的点A的水平投影，求其余两面投影。
s' m' a' (a”) s”
分析：
PW
PV
A在圆锥面上，则过A必存在圆 锥面内的一个纬圆;A在前半个圆锥 面上，则a’ 可见；A点在右半个圆锥 面上，故a”不可见。
作图： (1)以s为圆心，sa 的距离为半 径作纬圆，找到纬圆与圆锥最左素 线的交点m，并求其正面投影m’ ;
m
s a
(2)作过M点的水平面P 的迹线； (3)在平面P的迹线上求得a’与a” 。
s' s”
a' a
c' b' c s c”
o'
a” b”
o”
o
b
以S点的投影作为坐标原点
§7-1 立体及其表面上的点和线
以底面对称中心作为坐标原点
二、平面立体及其表面上的点和线
(三) 平面立体的画法
棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚 线。 注意： 1.所有投影的边缘轮 廓线都是可见的，要用粗 实线画出。 2.边缘轮廓线内直线 的可见性，要利用交叉两 直线上的重影点来判断。
s' s”
k' a' a s b'
c' a” (c”)
c
b”
分析：k ’ 可见，则点K 位于左棱 面SAB上；另一点未标注可见性， 则该点可能位于右棱面或后棱面上。
S K A B
C
§7-1 立体及其表面上的点和线
b
二、平面立体及其表面上的点和线
例1 已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。
s' s”
(4)求点Ⅰ和点Ⅱ的水平投影；
a g f 1 s 3 b
§7-1 立体及其表面上的点和线
h 2
c
(5)判断可见性并连线。
三、回转体及其表面上的点和线
回转面是一类特殊的曲面，是由母线绕固定轴线旋转得到 的。表面是回转面或回转面和平面的立体，称为回转体。
在工程上，回转体应用较为广泛。常见的回转体包括：
三、回转体及其表面上的点和线
(二) 圆柱体
以轴线为铅垂线的圆柱体为例 空间分析：
圆柱面最左、 最右素线投影
投影图：
圆柱面最前、 最后素线投影
Z
各面投影特点： (1)圆柱面：一个 圆周与两个矩形； (2)上下底面：一 个圆与两条直线。
X
前后分界线 §7-1 立体及其表面上的点和线
Y
左右分界线
三、回转体及其表面上的点和线
(2)作正投影; (3)投影面展开;
a s
c
(4)整理图形。
b
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
(二) 三视图中的方位关系及投影规律
s' s”
上 下
a' c' b'
上 下
a” (c”)
b”
左
a s
右
c
后
前
三视图投影规律：
后 前
b
左
右
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
名称一般性质直母线绕和它相交的轴线回转而成圆锥面直母线绕和它平行的轴线回转而成圆柱面由圆锥面和一个圆平面围成的实体由圆柱面和两个圆平面围成的实体形体构成圆母线绕以它的直径为轴线回转而成圆球面由圆球面围成的实体圆母线绕和它的共面但不过圆心的轴线回转而成圆环面由圆环面围成的实体71立体及其表面上的点和线圆柱体三回转体及其表面上的点和线圆柱面最左最右素线投影左右分界线前后分界线以轴线为铅垂线的圆柱体为例投影图
a
§7-1 立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(二) 圆柱体
例4 已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。
d' a' c' f' (b') f” b” c” d”
a”
ACB的侧面投影
分析：
线段的侧面投影随圆柱 面积聚为一段圆弧，可利用 积聚性作图。
f b
作图： (1)取特殊点; (2)取一般点； (3)判断可见性，光滑连线。
投影过程： (1)建立坐标系;
a” (c”)
a' X a
c' b' O c s
b” YW
(2)作正投影; (3)投影面展开;
(4)整理图形。
b
YH
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
(一) 三棱锥的三视图
s' s”
投影过程： (1)建立坐标系;
a” (c”)
a'
c' b'
b”
(二) 三视图中的方位关系及投影规律
s' s”
高平齐
a' c' b'
长对正
a s c
a” (c”)
b”
三视图投影规律：
宽相等
(1)主、俯视图长对正; (2)主、左视图高平齐;
b
(3)俯、左视图宽相等。
§7-1 立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
(一) 平面立体投影图的特点
1.画图——画出棱线和顶点的投影
立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律 二、平面立体及其表面上的点和线 三、回转体及其表面上的点和线
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
依据表面性质不同，立体可分为：平面立体和曲面立体。 平面立体：表面全是平面的立体。 曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。
§7-1 立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(三) 圆锥体
例5 已知圆锥面上的点A的正面投影，求其余两面投影。
s' (a') s”
分析： 圆锥面的投影没有积聚性，a在 圆内的某点处，但A必过圆锥面内的 一条素线;(a’ )不可见，则点A必在 后半个圆锥面上；A点在左半个圆锥 面上，故a”可见。 作图：
圆柱体
圆锥体
圆球体
圆环体
§7-1 立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
(一) 回转体的形成方法
名称 回 转 面 形 成 方 法 和 简 图 圆 锥 体 圆 柱 体 圆 球 体 圆 环 体 直母线绕和 直母线绕和 它相交的轴线回 它平行的轴线回 转而成圆锥面 转而成圆柱面
S O O A
b” Y
a” O (c”)
s c b
a
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
(一) 三棱锥的三视图
Z V s' s” W
投影过程： (1)建立坐标系;
a” (c”)
a' X
c' b' O
b” YW
(2)作正投影; (3)投影面展开;
a
s c b
YH
§7-1 立体及其表面上的点和线
§7-1 立体及其表面上的点和线
三、回转体及其表面上的点和线
a' c' b' c” a” b”
X c a b
a1' a1
c1'
c1
b1' O
c1”
a1”
YW b1”
b1
YH
§7-1 立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
(四) 平面立体表面上的点
平面立体表面上取点的方法与平面内取点方法完全相同。 点的可见性由点所属面的可见性决定。
例1 已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。
作图： (1)求取过K 直线SM 的投影 ;
k' n' k” ( ) a' m' a b' n
(2)按投影规律找到k 和k” ;
b”
a” c' (c”)
c
(3)过无名点正面投影做一 平行线，并求取其水平投影； (4)根据投影规律找到无名 点的水平投影和侧面投影； (5)第二种可能性。
s
m k
b
§7-1 立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
(五) 平面立体表面上的线
作图方法：与立体表面取点相同。 注意： 只有在同一表面内的相邻两点的同面投影才可以相连！
s' 2'
空间为 一折线
c' A Ⅰ
S
Ⅱ C B
a'
1'
b'(d') d s b
组成折线的两条线段的 共有点（转折点）在两个面 的交线（棱线）上。
a
c
转折点
一、立体的三视图及其投影规律
(一) 三棱锥的三视图
Z V s' s” W
投影过程： (1)建立坐标系;
a” (c”)
a' X a
c' b' O c s
b” YW
(2)作正投影; (3)投影面展开;
H
b
YH
§7-1 立体及其表面上的点和线
一、立体的三视图及其投影规律
(一) 三棱锥的三视图
s' Z s”
1' a' c' c a 1(2) b
§7-1 立体及其表面上的点和线
s'
s”
2' b' s c” a”
b”
二、平面立体及其表面上的点和线
(三) 平面立体的画法
棱线的可见投影画成粗实线，棱线的不可见投影画成细虚 线。 注意： 3.在每一个投影的 封闭轮廓线内，如有相 交于一点的三条直线， 如果交点可见，则直线 也可见；它们或者全部 都不可见，或者全部都 可见。
三、回转体及其表面上的点和线
(三) 圆锥体
圆锥体的投影特点： 1.在与轴线垂直的投影面上，圆 锥体的投影为圆。 2.在与轴线平行的两个投影面上， 圆锥体的投影为全等的等腰三角形。
注意： 1.圆与等腰三角形需要用细点画线画出对称中心线，等腰 三角形的对称中心线是轴线的投影。
2.圆是锥面的投影，也是底面的投影；圆的圆心既是轴线 的积聚性投影，也是锥顶的投影。
c
YH
§7-1 立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
(二) 立体的无轴投影图
立体投影的形状以及投影之间的关系与轴无关，因此，可 以不必画出投影轴。
Z V
X
O
Y
§7-1 立体及其表面上的点和线
二、平面立体及其表面上的点和线
(二) 立体的无轴投影图
在立体是无轴三投影图上，可以假想选取立体的对称面、 端面、轴线或某一点的投影作为坐标轴或坐标原点。