2018_2019学年高中数学第二章平面向量1从位移、速度、力到向量课件北师大版必修4

→ ，DC → ，CB → ，AB → 如图所示． 解 (1)向量AD
→ → (2)由题意知AD＝BC， ∴AD 綊 BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， → → ∴AB＝DC， ∴B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60° ，6 千米”．
【例 3】 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图 → → → 中所示与OA，OB，OC相等的向量．
题型一 【例 1】
向量的有关概念 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线； → → (2)若AB＝DC，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点； → ＝DC →； (3)在平行四边形 ABCD 中，一定有AB (4)若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a＝0； (5)若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
解析
①错误． 由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等， 但不能说明它们方
向的关系． ②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求 → 、CD → 必须在同一直线上，因此点 A、B、C、D 不一定 两个向量AB 在同一条直线上． → → ③正确．向量AB和BA是长度相等，方向相反的两个向量． ④错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不 一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．
平行，所以B是错误的．
答案 B
→ → 2． 如图所示， 梯形 ABCD 为等腰梯形， 则两腰上的向量AB与DC的 关系是( )
→ → A.AB＝DC → >DC → C.AB
→ → B．|AB|＝|DC| → <DC → D.AB
→ |与|DC → |表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 解析 |AB
知识点 2
向量的表示方法
(1)具有 方向和长度 的线段，叫作有向线段．以 A 为起点，以 → ，线段 AB 的长度也叫作有向线段 B 为终点的有向线段记作AB → 的长度，记作|AB → |. AB (2)向量可以用 有向线段 来表示．有向线段的长度表示 向量的
大小 ，即长度(也称 模 )．箭头所指的方向表示向量的方向．
向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线 段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终 点，三者缺一不可． 2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、 向量长度为半径的圆．
【训练 2】
一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北
偏东 30° 方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60° 方 向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30° 方向行驶了 2 千米才到达 B 地． → ，DC → ，CB → ，AB →； (1)在如图所示的坐标系中画出AD (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量．
答案 B
3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点
构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构
成的图形是________． 解析 因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起
点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是 一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单
注意
①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，
注意从两个要素出发考虑问题． ②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
【预习评价】
已知下列各量： ①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速 度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有 ②④⑤⑨⑩ ，是向量的有 ①③⑥⑦⑧ .
解
两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，
→ ＝DC → ，A、B、C、 所以 a 与 b 有共线的可能，故(1)不正确．(2)AB D 四点可能在同一条直线上， 故(2)不正确． (3)在平行四边形 ABCD → → → → → → 中， |AB|＝|DC|， AB与DC平行且方向相同， 故AB＝DC， (3)正确． (4) 零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．(5)a＝b，则 |a|＝|b|且 a 与 b 方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故 a＝c，(5)正确．
→ 与CD → 方向相反，故向量AB → ∥CD →. (2)根据题意，向量AB → |＝|CD → |，∴在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD，四边形 ABCD 为 又|AB
平行四边形， → ＝BC →， ∴AD → |＝|BC → |＝400(海里)． ∴|AD
规律பைடு நூலகம்法
1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定
向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确
定，与起点位置无关． 3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相 同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其 中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.
位，所以终点构成的图形是两个点．
答案 一条直线 两个点
→ → → → 4．设 O 是正方形 ABCD 的中心，则OA，BO，AC，BD中，模相 等的向量是________．
→ 与BO → ，AC → 与BD → 答案 OA
5．如图所示，以 1×2 方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终 点的向量中．
→ 、AE → 相等的向量； (1)写出与AF → (2)写出与AD模相等的向量．
→ ＝BE → ＝CD → ，AE → ＝BD → .(2)DA → ，CF → ，FC →. 解 (1)AF
课堂小结
1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较 大小． 2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的 是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有
规律方法
对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理
解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反
例即可．
【训练 1】
下列说法正确的有________（填序号） ．
①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； → → ②向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一条 直线上； → 与BA → 是平行向量； ③向量AB ④任何两个单位向量都是相等向量．
解 → 共线的向量有EF → ，BC → ，OD → ，FE → ，CB → ，DO → ，AO →， 与向量OA
→ ，AD →. DA
规律方法
判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方
向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向
量，则只要判断它们是否同向或反向即可.
课堂达标
1．下列说法错误的是( A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的 解析 零向量的长度为 0 ，方向是任意的，它与任何向量都 )
(3)向量也可以用黑体小写字母如 a， b， c， …来表示， 书写用a，
→ →
b，c ，…来表示．
→
【预习评价】
两个向量能比较大小吗？有向线段是向量吗？ 提示 两个向量不能比较大小，因为向量既有大小也有方
向．有向线段表示向量，但有向线段不是向量．
知识点3 与向量有关的概念 名称 定义 记法 0 零向量 长度为 零 的向量称为零向量 单位向 长度为 单位1 的向量叫作单位向 量 量 相等向 长度 相等 且方向 相同 的向量， 向量a与b相 a＝b 等，记作_____ 量 叫作相等向量
如果表示两个向量的有向线段 共线向 所在的直线 平行或重合 ，则称 a与b平行或共 量(平行 a∥b 这两个向量平行或共线．规定 线，记作_____ 向量) 平行 零向量与任一向量_____
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的两个要素是大小与方向．( √ (2)长度相等的向量是相等向量．( × ) (3)方向相同的向量是共线向量．( √ ) )
→ ＝CB → ＝DO → ；OB → ＝DC → ＝EO →； 解 OA → ＝AB → ＝ED → ＝FO →. OC
→ 模相等的向量有多少？ 【迁移 1】 例 3 中与OA
→ 的模相等的向量有 23 个． 解 由图知与OA
→ 的长度相等方向相反的向量有哪些？ 【迁移 2】 例 3 中与向量OA → 长度相等方向相反的向量有OD → ，BC → ，FE → ，AO →. 解 与向量OA → 共线的向量有哪些？ 【迁移 3】 例 3 中与向量OA
§1 从位移、速度、力到向量
内容要求
1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景.2.
理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示的意义 和方法．
知识点1 向量的概念 数学中，我们把既有 大小，又有方向 的量统称为向量，而把 那些 只有大小，没有方向 的量(如年龄、身高、体积等)称为 数量．
答案 ③
题型二
向量的表示
【例 2】 一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B， 然后改变航线向东偏北 60° 航行了 400 海里到达 C 岛，最后又 改变航线向西航行了 200 海里到达 D 岛． → → → (1)试作出向量AB，BC，CD； → |. (2)求|AD
解
→ ，BC → ，CD → 即为所求． (1)建立如图所示的直角坐标系，向量AB