三角形内角和定理的证明
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北师大版
八年级数学下册
三角形内角和定理的证明
教 材 分 析
学 情 分 析
教 学 重 难 点
教 学 目 标
教 法 与 学 法
教 学 过 程
教 学 评 价
2
一、教材分析
教材内容
本节课是北师大版八年级下册第六章第 五节三角形内角和定理的证明，本章的 前四节学习了定义、命题和平行线的性 质，在此基础上本节课主要介绍三角形 内角和定理的证明方法和应用。 本节课是在学习了三角形的有关概念、 平角定义、平行线的性质和三角形内角 和定理的基础上，进一步探索三角形内 角和定理的证明。本节课的内容是今后 学习多边形内角和、外角和，圆等知识 的基础，具有承上启下的作用。
A
1 2
B
C
这里的CD,CE称为 辅助线,辅助线通 常画成虚线.
D
分析:延长BC到D,过点C作 射线CE∥AB,这样,就相当 于把∠A移到了∠1的位置, 把∠B移到了∠2的位置。
19
请同学们分别用图形语言和符号 语言表述命题并写出已知、求证
已知:△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
20
A
11
例题讲解
例1 求直角三角形的两锐角之和是多少度? 【设计意图】由教师讲解例题，通过详细的讲解 证明过程，规范证明推理的格式并让学生熟练掌 握三角形内角和定理的应用。
12
随堂练习
1. 等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的 结论. 2.已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500.
教材的地位和作用
3
二、学情分析
（一）学生的现状
三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学 是通过实验得出的，没有给出具体的证明过程。同时，八年级的 学生具备了一定的归纳、总结、表达的能力，能在教师的引导下 进行合作、探索活动，展开讨论。
（二）学生可能遇到的困难
尽管前面学生接触过推理论证的知识，但接触时间短，掌握不 全面。特别是在论证的格式上，可能存在论证格式不规范的问题。
D B A E C
【设计意图】通过练习，及时巩固所学的知识，掌 握三角形内角和定理的应用。
13
课堂小结
1、三角形内角和定理的证明方法 2、三角形内角和定理的应用 3、学会添加合适辅助线
【设计意图】让学生自己来归纳总结，培养学 生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进 行整理并系统化，加深对三角形内角和定理的 认识。
16
知识
平行线的性质：
回顾
相等 两直线平行，同位角_____。
相等 两直线平行，内错角_____。
互补 两直线平行，同旁内角______。
17
复习引入
三角形内角的探索过程吗?
A A
1
B C B
2
C
18
自主探究
如果我们不移动角A,角B，你还有什么方 法可以得到上面的结果呢？
∟
C
∵∠C=900 (已知) ∴∠A+∠B=180°- 90°(等量代换) ∴∠A+∠B=90°
24
随堂练习
1、等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的 结论。 2、已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700
求证：∠ADE=500
D B
A E C
25
课堂小结
1、三角形内角和定理的证明方法 2、三角形内角和定理的应用 3、学会添加合适辅助线
【设计意图】从学过的知识引入,符合学生的认 知规律，并通过拼图活动让学生从中发展思维 的灵活性、创造性，引入三角形内角和定理的证 明。
10
自主探究
如果我们不移动角A,角B，你还有什么方法可以 使∠1=∠A，∠2=∠B，得到上面的结果呢？
A E 1
B
3
C
2 D
【设计意图】通过小组讨论、合作、交流，在老师 的引导下，给出定理的证明。同时，让学生各抒已 见，畅所欲言，培养了学生的“一题多思”，“一 题多解”的创新意识。
26
作业
习题6.6 1、2、3题（必做） 4（选做）
27
1 3 2
Q
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发? 你有新的证法吗?
22
试一试
根据下面的图形,写出相应的证明.
A Q B P (1) Q M B
(3)
A R C
S S
Q B P T C
N
P T
N
R M C
(2)
A
R
你还能想出其它证法吗?
23
例题讲解
例1 直角三角形的两锐角之和是多少度? 已知：如图,在Rt△ABC中，∠C=90° 求：∠A+∠B=？ 证明:在Rt△ABC中 ∵∠A+∠B+∠C=180° A (三角形内角和定理) ∴∠A+∠B=180°- ∠C (等式性质) B
4
三、教学重、难点
教学重点
三角形内角和定理的证明与应用
教学难点
三角形内角和定理的证明
5
四、教学目标
1、掌握三角形内角和定理的证明方法。
知识与技能
2、能灵活应用三角形内角和定理进行简单 的计算和推理证明 。
过程与方法
通过三角形内角和定理的证明过程，初步学会利 用辅助线证明，同时培养学生观察、分析、猜想、 归纳和论证的能力。
课 外 作 业
8
知识
平行线的性质：
回顾
相等 两直线平行，同位角_____。 相等 两直线平行，内错角_____。 互补 两直线平行，同旁内角______。 【设计意图】在老师的引导下，同学们一起复 习平行线的性质，为下面三角形内角和定理的 证明做铺垫。
9
复习引入
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 1800 你还记得这个结论的探索过程吗?
（二）学法
在教师的引导下，学生主要是自主学习和合作学习，通过观察，归 纳，总结来主动探索，获得知识，在小组讨论、交流合作的探究活动中 锻炼“一题多思”，“一题多解”的思维，提高分析问题、解决问题的 能力。
7
六、教学过程
知 识 回 顾
复 习 引 入
自 主 探 究
例 题 讲 解
随 堂 练 习
课 堂 小 结
21
议一议
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把 三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图), 他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动.
证明:过点A作PQ∥BC,则
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等) B ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换). C P A
1、通过小组交流、合作探索，激发学生的学 习兴趣，体验成功的快乐。
情感态度与价值观
2、通过探索活动，培养学生对数学的热爱， 提高学生运用数学的实践能力和创新能力。
6
五、教法与学法
（一）教法
针对本节课的特点，我采用演示法和师生互动探究式教学法，利 用多媒体辅助教学，遵循启发式教学原则，以学生为主体，结合八年 级学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
14
作业
习题6.6 1、2、3题（必做） 4（选做）
【设计意图】布置作业，进一步巩固所学的知 识。作业中分为必做题与选做题，实施分层教 学，满足不同学生的不同需要。
15
七、教学评价
本节课我通过复习引入新课，在教学中采用 演示法和探究式教学法，借助多媒体辅助教学， 遵循学生为主体的原则，符合新课标的要求。我 认为教学过程安排合理，具体可行。 在探究的过程中，通过小组交流、合作探索， 学生不仅获得了新知识，而且激发了学生的学习 兴趣，培养了学生“一题多思”，“一题多解” 的创新意识。
已知:△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. B
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等)
E
1 ︵ 3
C
2
D
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换)
还有其它方法证明三角形内角和定理吗?
八年级数学下册
三角形内角和定理的证明
教 材 分 析
学 情 分 析
教 学 重 难 点
教 学 目 标
教 法 与 学 法
教 学 过 程
教 学 评 价
2
一、教材分析
教材内容
本节课是北师大版八年级下册第六章第 五节三角形内角和定理的证明，本章的 前四节学习了定义、命题和平行线的性 质，在此基础上本节课主要介绍三角形 内角和定理的证明方法和应用。 本节课是在学习了三角形的有关概念、 平角定义、平行线的性质和三角形内角 和定理的基础上，进一步探索三角形内 角和定理的证明。本节课的内容是今后 学习多边形内角和、外角和，圆等知识 的基础，具有承上启下的作用。
A
1 2
B
C
这里的CD,CE称为 辅助线,辅助线通 常画成虚线.
D
分析:延长BC到D,过点C作 射线CE∥AB,这样,就相当 于把∠A移到了∠1的位置, 把∠B移到了∠2的位置。
19
请同学们分别用图形语言和符号 语言表述命题并写出已知、求证
已知:△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=1800.
20
A
11
例题讲解
例1 求直角三角形的两锐角之和是多少度? 【设计意图】由教师讲解例题，通过详细的讲解 证明过程，规范证明推理的格式并让学生熟练掌 握三角形内角和定理的应用。
12
随堂练习
1. 等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的 结论. 2.已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500.
教材的地位和作用
3
二、学情分析
（一）学生的现状
三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学 是通过实验得出的，没有给出具体的证明过程。同时，八年级的 学生具备了一定的归纳、总结、表达的能力，能在教师的引导下 进行合作、探索活动，展开讨论。
（二）学生可能遇到的困难
尽管前面学生接触过推理论证的知识，但接触时间短，掌握不 全面。特别是在论证的格式上，可能存在论证格式不规范的问题。
D B A E C
【设计意图】通过练习，及时巩固所学的知识，掌 握三角形内角和定理的应用。
13
课堂小结
1、三角形内角和定理的证明方法 2、三角形内角和定理的应用 3、学会添加合适辅助线
【设计意图】让学生自己来归纳总结，培养学 生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进 行整理并系统化，加深对三角形内角和定理的 认识。
16
知识
平行线的性质：
回顾
相等 两直线平行，同位角_____。
相等 两直线平行，内错角_____。
互补 两直线平行，同旁内角______。
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复习引入
三角形内角的探索过程吗?
A A
1
B C B
2
C
18
自主探究
如果我们不移动角A,角B，你还有什么方 法可以得到上面的结果呢？
∟
C
∵∠C=900 (已知) ∴∠A+∠B=180°- 90°(等量代换) ∴∠A+∠B=90°
24
随堂练习
1、等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的 结论。 2、已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700
求证：∠ADE=500
D B
A E C
25
课堂小结
1、三角形内角和定理的证明方法 2、三角形内角和定理的应用 3、学会添加合适辅助线
【设计意图】从学过的知识引入,符合学生的认 知规律，并通过拼图活动让学生从中发展思维 的灵活性、创造性，引入三角形内角和定理的证 明。
10
自主探究
如果我们不移动角A,角B，你还有什么方法可以 使∠1=∠A，∠2=∠B，得到上面的结果呢？
A E 1
B
3
C
2 D
【设计意图】通过小组讨论、合作、交流，在老师 的引导下，给出定理的证明。同时，让学生各抒已 见，畅所欲言，培养了学生的“一题多思”，“一 题多解”的创新意识。
26
作业
习题6.6 1、2、3题（必做） 4（选做）
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1 3 2
Q
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发? 你有新的证法吗?
22
试一试
根据下面的图形,写出相应的证明.
A Q B P (1) Q M B
(3)
A R C
S S
Q B P T C
N
P T
N
R M C
(2)
A
R
你还能想出其它证法吗?
23
例题讲解
例1 直角三角形的两锐角之和是多少度? 已知：如图,在Rt△ABC中，∠C=90° 求：∠A+∠B=？ 证明:在Rt△ABC中 ∵∠A+∠B+∠C=180° A (三角形内角和定理) ∴∠A+∠B=180°- ∠C (等式性质) B
4
三、教学重、难点
教学重点
三角形内角和定理的证明与应用
教学难点
三角形内角和定理的证明
5
四、教学目标
1、掌握三角形内角和定理的证明方法。
知识与技能
2、能灵活应用三角形内角和定理进行简单 的计算和推理证明 。
过程与方法
通过三角形内角和定理的证明过程，初步学会利 用辅助线证明，同时培养学生观察、分析、猜想、 归纳和论证的能力。
课 外 作 业
8
知识
平行线的性质：
回顾
相等 两直线平行，同位角_____。 相等 两直线平行，内错角_____。 互补 两直线平行，同旁内角______。 【设计意图】在老师的引导下，同学们一起复 习平行线的性质，为下面三角形内角和定理的 证明做铺垫。
9
复习引入
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 1800 你还记得这个结论的探索过程吗?
（二）学法
在教师的引导下，学生主要是自主学习和合作学习，通过观察，归 纳，总结来主动探索，获得知识，在小组讨论、交流合作的探究活动中 锻炼“一题多思”，“一题多解”的思维，提高分析问题、解决问题的 能力。
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六、教学过程
知 识 回 顾
复 习 引 入
自 主 探 究
例 题 讲 解
随 堂 练 习
课 堂 小 结
21
议一议
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把 三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图), 他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动.
证明:过点A作PQ∥BC,则
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等) B ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换). C P A
1、通过小组交流、合作探索，激发学生的学 习兴趣，体验成功的快乐。
情感态度与价值观
2、通过探索活动，培养学生对数学的热爱， 提高学生运用数学的实践能力和创新能力。
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五、教法与学法
（一）教法
针对本节课的特点，我采用演示法和师生互动探究式教学法，利 用多媒体辅助教学，遵循启发式教学原则，以学生为主体，结合八年 级学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
14
作业
习题6.6 1、2、3题（必做） 4（选做）
【设计意图】布置作业，进一步巩固所学的知 识。作业中分为必做题与选做题，实施分层教 学，满足不同学生的不同需要。
15
七、教学评价
本节课我通过复习引入新课，在教学中采用 演示法和探究式教学法，借助多媒体辅助教学， 遵循学生为主体的原则，符合新课标的要求。我 认为教学过程安排合理，具体可行。 在探究的过程中，通过小组交流、合作探索， 学生不仅获得了新知识，而且激发了学生的学习 兴趣，培养了学生“一题多思”，“一题多解” 的创新意识。
已知:△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. B
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等)
E
1 ︵ 3
C
2
D
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换)
还有其它方法证明三角形内角和定理吗?