2017高考理科数学一轮复习课件：第5章 数列 第1讲

一项 an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那 么这个公式叫数列的递推公式．
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第五章 数 列
1．下列说法不正确的是___③_____． ①数列可以用图象来表示； ②数列的通项公式不一定是唯一的； ③数列中的项不能相等； ④数列可以用一群孤立的点表示． 解析: 数列是按一定次序排成的一列数，数列中的项可以是 同一个数，故③不正确．
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第五章 数 列
1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋b，求{an}的通项公式． 解: a1＝S1＝3＋b， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当 b＝－1 时，a1 适合此等式． 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式． 所以当 b＝－1 时，an＝2·3n－1； 当 b≠－1 时，an＝32＋·b3，n－1n，＝n1≥，2.
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第五章 数 列
将以上 n 个等式两端分别相乘，整理得 an＝n（n2＋1）. 综上可知，数列{an}的通项公式 an＝n（n2＋1）.
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第五章 数 列
考点三 数列函数性质的应用
(1)已知{an}是递增数列，且对于任意的 n∈N*，an ＝n2＋λn 恒成立，则实数 λ 的取值范围是_(－__3_，__＋__∞__)_． (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则 此数列的通项公式为 an＝_2_n_－__1_1__；数列{nan}中数值最小的 项是第__3______项．
第五章 数 列
考点二 由递推关系式求数列的通项公式(高频考点)
根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2)；
(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2. [解] (1)因为 an＝n－n 1an－1(n≥2)， 所以 an－1＝nn－－21an－2，…，a2＝12a1. 可得 an＝a1×12×23×…×n－n 1＝an1＝n1.
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第五章 数 列
3．数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的关系
已知数列{an}的前 n 项和 Sn，则 an＝
______S_1 ______，n＝1，
___S_n－__S_n_－_1______，n≥2.
4．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项 an 与它的前
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第五章 数 列
nan＋1－(n－1)an＝an＋2n. 整理得 an＋1－an＝2(n≥2)． 当 n＝1 时，a2－a1＝2，所以数列{an}是以 2 为首项， 以 2 为公差的等差数列， 故 an＝2＋(n－1)×2＝2n.
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(2)因为 an＋1－an＝3n＋2，
第五章 数 列
所以 an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝n（3n2＋1）(n≥2)．
当 n＝1 时，a1＝12×(3×1＋1)＝2 符合公式，
所以 an＝32n2＋n2.
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第五章 数 列
由递推关系式求通项公式的常用方法 已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、 累乘、构造法求解．当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差数列； 当出现 an＝xan－1＋y 时，构造等比数列；当出现 an＝an－1＋ f(n)时，用累加法求解；当出现aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．
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第五章 数 列
3．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn＝(－1)n＋1·n，求 a5＋a6 及 an； (2)若 Sn＝3n＋2n＋1，求 an.
解: (1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)] ＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又 a1 也适合于此式， 所以 an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
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第五章 数 列
(2)由题设知 a1＝1. 当 n>1 时有 an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1， 整理得 an＝nn＋－11an－1. 于是 a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2， … an－1＝n－n 2an－2，an＝nn＋－11an－1，
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第五章 数 列
(2)因为 an＝n2－5n＋4＝n－522－94的对称轴方程为 n＝52. 又 n∈N*，所以 n＝2 或 n＝3 时，an 有最小值， 其最小值为 a2＝a3＝－2.
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第五章 数 列
1. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，并且满足 a1 ＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．求{an}的通项公式． 解: 令 n＝1， 由 a1＝2 及 nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，① 得 a2＝4，故 a2－a1＝2， 当 n≥2 时，有(n－1)an＝Sn－1＋n(n－1)，② ①－②，得
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内容 A
数列的概念
√
数 列 等差数列
等比数列
第五章 数 列
要求
B
C
√ √
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第五章 数 列
第1讲 数列的概念与简单表示法
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第五章 数 列
1．数列的相关定义 (1)数列：按照一定顺序排列的一列数． (2)数列的项：数列中的每一个数． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
第五章 数 列
(2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11，当 n＝1 时也符合， 则 an＝2n－11，所以 nan＝2n2－11n＝2n－1412－1281，且 n∈N*，故 n＝3 时，nan 最小．
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第五章 数 列
(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识， 函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之 一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数 列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商； ③结合函数图象等方法.
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第五章 数 列
＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)， 得 an＋1－an－3＝0 或 an＋1＝－an. 因为 an>0，故 an＋1＝－an 不成立，舍去． 因此 an＋1－an－3＝0，即 an＋1－an＝3， 从而{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列， 故{an}的通项公式为 an＝3n－1.
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第五章 数 列
2．必会的 2 种方法 (1)强调 an 与 Sn 的关系：an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2. (2)已知递推关系求通项公式：对这类问题的要求不高，但试 题难度较难把握．一般有两种常见思路：①算出前几项，再 归纳、猜想；②利用累加或累乘法可求数列的通项公式．
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第五章 数 列
1．必明辨的 2 个易错点 (1)由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项，易忽视首项的验证． (2)数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一 定要注意自变量的取值，如数列 an＝f(n)和函数 y＝f(x)的定 义域是不同的．
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第五章 数 列
[解析] (1)设 f(n)＝an＝n2＋λn，
λ
其图象的对称轴为直线 n＝－ 2 ， 要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f(n) 为增函数， 故只需满足 f(1)<f(2)，即 λ>－3.
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第五章 数 列
3．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通 项公式． 解: 由题意知 an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝11－－22n＝2n－1.
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第五章 数 列
考点一 由an与Sn的关系求通项公式an 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn>1，且 6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求数列{an}的通项公式． [解]由 a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)， 解得 a1＝1 或 a1＝2.由已知 a1＝S1>1，因此 a1＝2. 又由 an＋1＝Sn＋1－Sn
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第五章 数 列
3.已知数列{an}，若 an＝n2－5n＋4， (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． 解: (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4. 因为 n∈N*，所以 n＝2，3. 所以数列中有两项是负数，即为 a2，a3.
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第五章 数 列
已知数列{an}的前 n 项和 Sn，求数列{an}的通项公式，其求 解过程分为三步： (1)先利用 a1＝S1 求出 a1; (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn －Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表 达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符 合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
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第五章 数 列
2.已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 Sn＝n＋3 2an. (1)求 a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解: (1)由 S2＝43a2 得 3(a1＋a2)＝4a2，解得 a2＝3a1＝3； 由 S3＝53a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得 a3＝32(a1＋a2)＝6.
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第五章 数 列
2Байду номын сангаас已知数列{an}，若 an＝n2＋kn＋4 且对于 n∈N*，都有 an＋1>an，求实数 k 的取值范围． 解: 由 an＋1>an 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n∈N*， 所以－k2<32，即得 k>－3.
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第五章 数 列
2．已知数列{an}的通项公式为 9
an＝pn＋nq，且
a2＝32，a4＝32，
则 a8＝___4_____．
解析: 由已知得24pp＋ ＋q2q4＝ ＝3232，，
解得p＝14，则 q＝2，
an＝14n＋n2，故
a8＝94.
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第五章 数 列
(2)因为当 n＝1 时，a1＝S1＝6； 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1] ＝2·3n－1＋2， 由于 a1 不适合此式， 所以 an＝62，·n3n＝－11＋，2，n≥2.