精英班第一章集合思想方法

集合思想的基本方法主要包括：①用集合语言描述与概括，建立数学模型； ②子集、补集、并集、交集的模型方法；③对应方法；④集合与逻辑相结合。

本章节我们主要学习集合的含义与表示方法、集合间的基本关系以及简单的集合运算。

1. 集合的概念：在现实生活和数学中，我们经常把一些对象放在一起，作为一个整体来研究。

例如：①某校高中一年级全体学生；②平面上到定点距离等于定长的点的全体；③1,3,5,7,9；④不等式320x +>的解的全体。

我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素。

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也就是说，任何一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一。

对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的。

也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象。

集合中的元素不重复出现。

集合常用大写字母,,A B C ……表示，集合中的元素用小写字母,,a b c ……表示。

如果a 是集合A 的元素，就记作a A ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作a A∉，读作“a 不属于A ”。

例如，由1,3,5,7,9组成的集合A ，那么3,2A A ∈∉。

数的集合简称数集。

我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R 。

当然我们还可以把正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为,,,,,+-+-+-Z Z Q Q R R 。

我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，把含有无数个元素的集合叫做无限集。

我们引进空集，规定空集不含元素，记作∅。

例如方程210x +=的实数解所组成的集合就是空集。

又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集。

2. 集合的表示方法：集合的表示方法常用列举法和描述法。

将集合中的元素一一列举出来（在列举时不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。

第一章 集合思想方法例如：方程2560x x -+=的解的集合，可以表示为{}2,3，也可以表示为{}3,2；又如方程组5,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合可以表示为{}(2,3)。

在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}A x x p =满足性质，这种表示集合的方法叫做描述法。

例如，方程2560x x -+=的解题可表示为{}2560x x x -+=；又如直线1x y +=上的点组成的集合可以表示为{}(,)1x y x y +=。

3. 子集：考察下面两个集合：A 是育英中学高一年级全体男生组成的集合，B 是育英中学高一年级全体学生组成的集合。

显然集合A 中的任何元素都属于集合B 。

再考察：{}6,C x x k k ==∈Z ， {}2,D x x m m ==∈Z 。

显然，能被6整除的整数必是偶数，就是说集合C 中任何一个元素都在集合D 中。

集合之间的这种关系，我们经常会遇到。

对于两个集合A 和B ，如果集合A 中的任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。

我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集。

用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图。

如图所示，表示的含义就是A B ⊆。

B A4. 相等的集合： 研究下面两个集合：{}2560E x x x =-+=，{}2,3F =。

容易看出，E F ⊆，同时F E ⊆，这说明,E F 是两个有更特殊关系的集合。

对于两个集合A 和B ，如果A B ⊆，且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等。

记作A B =。

读作“集合A 等于集合B ”。

因此，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合就相等。

5. 真子集：对于集合,A B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B Ü或B A Ý，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。

对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，就有N 躗躋躌。

【例1】考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素。

)1(平面直角坐标系内x 轴上方的一些点；)2(平面直角坐标系内以原点为心，以1为半径的圆内所有的点（不包括圆周上的点）； )3(一元二次方程012=-+bx x的根；)4(平面内两边和小于第三边的三角形； )5(2,1,222++xxx ；)6()0(,1,2≠++=+==a c bx ax y x y x y ；)7(09,04,3,222=-=-xx；)8(新华书店中有意思的小说全体。

【分析】 )1(中所说的点是不确定的，所以这样不确定的点不能组成集合；)2(中所说的点是确定的，所以以这些点为对象能组成一个集合；)3(中方程的根为242+±-=b b x ，这两个根是确定的，所以可以组成一个集合，这个集合的元素是两个根；)4(中所说的三角形是不存在的，所以满足这样条件的对象组成的集合为空集，该集合中没有元素；)5(中的对象是确定的，是关于x 的代数式，所以由这些确定的代数式为对象可以组成集合，它的元素是2,1,222++x x x ；)6(中的对象是确定的，能组成一个集合，它的元素是三个函数： )0(,1,2≠++=+==a c bx axy x y x y ；)7(中的对象是确定的，能组成一个集合，它的元素是：09,04,3,222=-=-xx ；)8(中的对象是不确定的，因为没有统一的标准去判断每一部小说是否“有意思”，所以满足这样条件的对象不能组成集合。

【拓展】 下列各组对象能否组成集合？若能，指出它们是有限集，无限集，还是空集。

)1(大于0且小于1之间的所有无理数；)2(方程101,0)()2)(1(≤≤=-⋅⋅⋅--n n x x x 且N n ∈的解； )3(绝对值小于1的整数；)4(方程组)(,43,43R x x y x y ∈⎩⎨⎧+=-=的解集； )5(只能被1和自身整除的整数叫素数，相邻的素数叫孪生素数（例如，5与11,7与17,13与⋅⋅⋅,19）由1到100之间所有的孪生素数（例如11与13看做一个对象）作为一组对象。

【分析】 )1(能组成集合，是无限集；)2(能组成集合，集合用列举法表示为{}n ,,2,1⋅⋅⋅，其中.,101N n n ∈≤≤当1=n 时，集合为{}1；当2=n 时，集合为{}2,1；……它是有限集；)3(能组成集合，它只有一个元素0，所以它是有限集； )4(方程组无解，所以它是空集； )5(能组成集合，是有限集。

【例2】集合A 是由元素1,1,12--n n 组成的，其中Z n ∈，求n 的取值范围。

【分析】 由集合中元素的互异性，可知2211,1, 11, 2, 1, 15,2n n n n n n n n ⎧⎪⎧-≠-≠⎪⎪⎪-≠⇒≠⎨⎨⎪⎪-≠±⎩⎪≠⎪⎩ 因此n 是不等于1且不等于2的整数。

【拓展】 )1(若{}4,12,332---∈-a a a ，求实数a 的值；)2(若{}m mm ∈+-11，求实数m的值。

【分析】 )1(当33-=-a 时，0=a ，则14,1122-=--=-a a ，此时集合为{}4,1,3---；故0=a 满足题意；当123-=-a 时，1-=a ，则34,432-=--=-a a ，此时集合有两个元素为3-，故1-=a 不满足题意；当432-=-a 时，1(1-=±=a a 舍去)，把1=a 代入，112,23=--=-a a ，此时集合为{}3,1,2--，故1=a 满足题意。

综上所述，0=a 或1=a .)2(由{}m mm ∈+-11得mmm =+-11，解得21±-=m 。

【例3】用列举法表示下列集合，把结果填在空里：)1(方程组222,0,x y x y ⎧+=⎨-=⎩的解集为________； )2(集合{}Zx x xy y A ∈≤-==,2,12用列举法表示为________；)3(集合{}0122=+-=x xx B 用列举法表示为________；)4(集合{}Zx x xy y x C ∈≤-==,2,1),(2用列举法表示为________；)5(集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈=Z x N x x D 18,用列举法表示为________； )6(集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+=N x Z x F 18用列举法表示为________； )7(集合{}+∈-==N k k x x P ,12用列举法表示为________；)8(集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+==是非零实数b a bb aa x x Q ,,用列举法表示为________。

【分析】 )1(方程的解为⎩⎨⎧==,1,1y x 或⎩⎨⎧-=-=,1,1y x 故填{})1,1(),1,1(--；)2(集合A 是数集，由Z x x ∈≤,2，知.2,1,0,1,2--=x 又12-=x y ，得.3,0,1,0,3-=y 由集合中元素的互异性，可得集合A 用列举法表示为{}3,0,1-，故填{}3,0,1-；)3(集合B 的元素是方程0)1(2=-x 的根1=x ，故填{}1；)4(集合C 是点集，这些点在曲线12-=x y 上，且满足Z x x ∈≤,2的点，.0,1,2±±=x⎩⎨⎧=-=,3,2y x ⎩⎨⎧=-=,0,1y x ⎩⎨⎧-==,1,0y x ⎩⎨⎧==,0,1y x ⎩⎨⎧==,3,2y x 故填{})3,2(),0,1(),1,0(),0,1(),3,2(---； )5(集合D 中的元素x 是自然数，当7,3,1,0=x 时，1,2,4,818=+x，即N x ∈时，Zx∈+18成立，故填{}7,3,1,0；)6(集合F 的元素为x+18，是整数，其中N x ∈，当7,3,1,0=x 时，1,2,4,818=+x，故填{}8,4,2,1；)7(集合P 是正奇数集合，它的元素为⋅⋅⋅-⋅⋅⋅,127,5,3,1k 元素有规律性，故填{}⋅⋅⋅7,5,3,1： )8(当0,0>>b a 时，2=x ，当0,0<<b a 时，2-=x ；当b a ,异号时，.0=x 故填{}2,0,2-。