2019-2020年高一下学期3月联考调研试卷数学含答案

2019-2020年高一下学期3月联考调研试卷数学含答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位
．．．．．．
置上
．．．
1、若点在函数的图象上，则的值为▲；
2、化简= ▲；
3、设，比较的大小关系▲；
4、已知点P1(1,3),P2(4,-6),P是直线P1P2上的一点,且=2,那么点P的坐标为▲；
5、在中，设分别为角的对边，若，，，则边
= ▲；
6、已知角的终边经过点，求值▲；
7、已知向量，则▲；
8、已知函数的图象为C，把C上所有的点纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为▲；
9、已知等差数列的前项和为，若，则实数▲；
10、求值▲；
11、若，则▲；
12、在平行四边形ABCD中，，求平行四边形ABCD的面积▲；
13、已知，则函数的最小值为▲；
14、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的恰有一个，那么k的取值范围是▲；
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
15、（本题共计14分）在△ABC中，已知向量，，且
（1）若，，求的值；（2）若面积为2，，求
的长。

16、（本题共计14分）已知.
（1）求的值；（2）求的值。

17、（本题共计14分）设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足.
（1）若＝5，求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求的通项公式。

18、（本题共计16分）如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要
求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．
（1）若的外接圆面积为S，求S的值；
（2）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距
离最远)。

19、（本题共计16分）已知，O为三角形内一点
（1）已知，求证；
（2）若的三条边上三条高分别为，求三角形最大角的余弦。

20、（本题共计16分）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．
（1）证明：tan A2＝1－cosAsinA；
（2）已知AB＝6 ，BC＝3 ，CD＝4 ，AD＝5，
①若A＋C＝1800，求tan A2＋tan B2＋tan C2＋tan D2的值；②求四边形ABCD面积的最大值。

高一数学第二学期第一次检测答案
一、填空
1、
2、α
s i n；3、a
b
c<
<；4、()3,3-；
5
6、；
7、5；
8、)
5
2
1
sin(
3
π
-
=x
y；
9、15；10、1；11、；12、2；
13、1；14
4
5
-
5
3
二、解答题
15、解：b a // ，A A cos 3sin =⋅∴，3
3tan =
∴A . π<<A 0 ，6
π
=
∴A . ………………………2分
（1）20,53sin πϕϕ<<=
，5
4cos =∴ϕ. cos()cos()cos cos sin sin 666
A πππ
φφφφ∴-=-=⋅+⋅………………………4分
431552=+⨯=
………………………6分 （2）A bc S sin 21
=
， ………………………8分 2
1
212⨯=∴bc ，4=∴b ； ………………………10分
BC ∴ ………………………12分
=………………………14分 16、解：（1）554
sin
cos 4
cos sin =
⋅-⋅π
θπ
θ ，5
10
cos sin =-∴θθ，………………2分
2510)cos (sin 2=
-∴θθ，522sin 1=-∴θ，5
3
2sin =∴θ. ………………6分 （2）令),2(4πππ
θ∈=-
t ，55sin =∴t ，5
52cos -=t ，………………8分 sin()sin()sin()12
4
123
t t π
π
ππ
θ∴+
=+
+
=+ ………………12分
sin cos
cos sin
3
3
t t π
π
=⋅+⋅=
………………14分
17、（1）由题意知55=S ，36-=S ，所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=⨯+=⨯+3256652
45511d a d a ………………2分
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=+∴21251
211d a d a ，⎩⎨
⎧-==∴371d a ， ………………4分 n a n 310-=∴ ………………6分
（2）100609)103(22+-=+-=n n n T n ………………8分 当1=n 时，4910060911=+-==b T ；………………10分
当2≥n 时，1006092+-=n n T n ，100)1(60)1(921+---=-n n T n ，………………12分
691860)12(9-=--=∴n n b n ，检验当1=n 时，495169181≠-=-=b ，
⎩⎨
⎧≥-==∴2
6918149
n n n b n .………………14分 18、（1）在AMN ∆中，由正弦定理可知：R 260sin 2=︒，3
3
260sin 1=︒=∴R ，………2分
ππ3
4
2==∴R S .………………4分
（2）设︒<<︒=∠1200,θθAMN
在AMN ∆中，
︒=60sin 2sin θAN
，AN θ∴=，………………6分 又因为2,180NP ANP θ=∠=︒-
222
2cos(180)
AP AN NP AN NP θ∴=+-⋅︒-………………8分
216sin 42sin 2cos 3θθθ=++⋅⋅………………10分 3
20)302sin(316+︒-=
θ………………12分 ︒<<1200θ ，︒<︒-<︒-∴21030230θ.………………14分
当︒=︒-90302θ时，︒=60θ，此时123
16
320)(max 2
=+=
AP ， 32max =∴AP ，此时
2==AN AM .………………16分 19、（1）BC OA ⊥ ，0BC OA =⋅∴，
AC OB ⊥ ，0=⋅∴AC OB ………………2分
⎪⎩⎪⎨
⎧⋅+⋅=⋅+=⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅=∴AC
CB AC OC AC CB OC AC OB )(0)(0，………………4分 0=⋅-⋅∴AC OC BC OC ，0=⋅∴BA OC ，BA OC ⊥∴.………………6分
（2）设ABC ∆面积为S ，由面积公式可知⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯S AB S AC S AB 51
21111
21131
21，………………8分
⎪⎩
⎪
⎨⎧===∴t BC t AC t AB 102226， ………………10分 C ∠∴为最大角 ………………12分
222
cos 2AC BC AB C AC BC
+-∴=⋅………………14分
222(22)(10)(26)2322210110
t t t t t +-==-⨯⋅………………16分
20、解：（1）右===--=
-=2tan 2
cos 2sin
2cos 2sin 2)2sin 21(1sin cos 12
A A A
A A A A A 左…………2分 （2）原式B
A D D C C
B B A A sin 2
sin 2sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1+=-+-+-+-=，
连接AC ，在ACD ∆和ACB ∆中
D DC AD DC AD B BC AB BC AB cos 2cos 22222⋅-+=⋅-+∴ B B cos 4521625cos 362936⨯⨯++=⨯⨯-+∴ B cos 764=∴，191cos =
∴B ，π<<B 0 ，19
10
6sin =∴B .…………4分 连接BD ，在ABD ∆和DBC ∆中
C CB C
D CB CD A AB AD AB AD cos 2cos 22222⋅⋅-+=⋅⋅-+∴
73cos =
∴A ，π<<A 0 ，7
102sin =∴A ；…………6分
∴原式22sin sin 3
A B =
+=
…………8分 （3）连接AC ，在ACB ∆和ACD ∆中，
D DC AD DC AD AC B BC AB BC AB cos 2cos 222222⋅⋅-+==⋅⋅-+∴， D B cos 4521625cos 362936⨯⨯-+=⨯⨯-+∴， D B cos 10cos 91-=-∴，…………10分
D B D DC AD B BC AB S sin 452
1
sin 3621sin 21sin 21⨯⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅⨯+⋅⋅⨯=
D B sin 10sin 9+=…………12分
法一：⎩⎨
⎧=--=-∴D
B S D B sin 10sin 9cos 10cos 91，平方相加得0cos 1818sin 182
=--⋅-B S B S
1)sin(1cos sin 18
18222+≤++=+⋅=-∴S B S B S B S ϕ
（ϕ为锐角，︒<<︒1200B 等号成立）其中1
1sin ,1
cos 2
2
+=
+=
S S S ϕϕ
)1(18)18(222+≤-∴S S ，3602≤∴S ，106≤∴S ，
106max =∴S 此时2
π
ϕ=
+B ， 106tan =∴B . …………16分
法二：19cos 10cos 9sin 10sin B D
S B D
=-⎧∴⎨
=+⎩，平方相加得2181100180cos()S B D +=+-+
所以2
180180cos()S B D =-+，当且仅当B D π+=时，2
S 取最大值360
所以面积的最大值为 …………16分。