高中物理必修二教案-6.4万有引力理论的成就5-人教版

万有引力理论的成就教学设计
一） 地球质量的计算
在质量为M 、半径为R 的地球表面上，如果忽略地球自转的影响，质量为m 的物体的重力加速度g ，可以认为是由地球对它的万有引力产生的．由万有引力定律和牛顿第二定律有：
mg R Mm G =2 则该天体表面的重力加速度为：2R GM g =
由此式可知，地球表面的重力加速度是由地球的质量和半径决定的．而又因为地球是椭球的赤道的半径大，两极的半径小，所以赤道上的重力加速度小，两极的重力加速度大．也可让学生发挥得：离地球表面的距离越大，重力加速度越小．
二） 天体质量的计算
应用万有引力定律可以计算天体的质量.基本思路是：根据行星（或卫星）运动的情况，求出行星（或卫星）的向心加速度，而向心力是由万有引力提供的，这样，列出方程即可求得中心天体（太阳或行星）的质量.
假设m′是太阳的质量，m 是某个行星的质量，r 是它们之间的距离，T 是行星公转的周期，那么行星做匀速圆周运动所需的向心力为
由此可以解出
[临考叮嘱]
1．自力更生法(g —R )
由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3g 4πGR 。

2．借助外援法(T —r )
(1)由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2。

(2)若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3πr 3
GT 2R 3。

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝
3πGT 2。

可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

三） 典例
1、(2014·全国Ⅱ卷)假设地球可视为质量均匀分布的球体。

已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G 。

地球的密度为( )
A.3πGT 2g 0－g g 0
B.3πGT 2g 0g 0－g
C.3πGT 2
D.3πGT 2g 0g
解析：选B 物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R
2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，以上两式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g )。

故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误。

2、(多选)(2016·湖南省师大附中等四校联考)某行星外围有一圈厚度为d 的发光带(发光的物质)，简化为如图甲所示模型，R 为该行星除发光带以外的半径。

现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度v 与到行星中心的距离r 的关系如图乙所示(图中所标为已知)，则下列说法正确的是( )
A ．发光带是该行星的组成部分
B ．该行星的质量M ＝v 02R G
C ．行星表面的重力加速度g ＝v 02
R
D ．该行星的平均密度为ρ＝3v 02R 4πG (R ＋d )3
解析：选BC 若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v ＝ωr ，v 与r 应成正比，与图象不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A 错误；
设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G Mm r 2＝m v 2r ，得该行星的质量为：M ＝v 2r G ；由图乙知，r ＝R 时，v ＝v 0，则有：M ＝v 02R G ，故B 正确；当r ＝R 时
有mg ＝m v 02R ，得行星表面的重力加速度g ＝v 02R ，故C 正确；该行星的平均密度为ρ＝M 43
πR 3＝3v 02
4πGR 2
，故D 错误。

3、国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。

1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上。

设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )
A ．a 2＞a 1＞a 3
B ．a 3＞a 2＞a 1
C ．a 3＞a 1＞a 2
D ．a 1＞a 2＞a 3
解析：选D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地
点时有G Mm 1(R ＋h 1)2＝m 1a 1，即a 1＝GM (R ＋h 1)2，对于东方红二号，有G Mm 2(R ＋h 2)2
＝m 2a 2，即a 2＝GM (R ＋h 2)2
，由于h 2＞h 1，故a 1＞a 2，东方红 二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a ＝ω2r ，故a 2＞a 3，所以a 1＞a 2＞a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误。

4、(2016·江苏高考)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。

下列关系式正确的有( )
A ．T A ＞T B
B ．E k A ＞E k B
C ．S A ＝S B
D.R A 3T A 2＝R B 3T B
2
解析：选AD 根据开普勒第三定律，R A 3T A 2＝R B 3
T B 2，又R A ＞R B ，所以T A ＞T B ，选项A 、D 正确；由G Mm R 2＝m v 2R 得，v ＝ GM R ，所以v A ＜v B ，则E k A ＜E k B ，选项B 错误；由G Mm R 2＝mR 4π2T 2得，T ＝2π R 3GM ，卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积S ＝1T πR 2＝GMR 2，可知S A ＞S B ，选项C 错误。

[临考叮嘱]
用好二级结论，速解运行参量比较问题
天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力。

基本关系式为：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T
2。

二级结论有：①向心加速度a ∝1r
2，r 越大，a 越小； ②线速度v ∝
1r ，r 越大，v 越小； ③角速度ω∝1r 3
，r 越大，ω越小；。