2017年高考文科数学试题(天津卷)答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
文科数学
1．B 【解析】∵{1,2,4,6}A
B =，(){1,2,4}A B
C =，选B ．
2．B 【解析】由20x -≥，得2x ≤，由|1|1x -≤，得02x ≤≤，
所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件．选B ．
3．C 【解析】从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同的取法：（红，黄），
（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫），而取出的两只中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，所以满足题意的概率为
42
105
=．选C ． 4．C 【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，
第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；
第二次循环：63N
N =
=，不满足3N ≤； 第三次循环：23
N
N ==，满足3N ≤；
此时跳出循环体，输出2N =.选C ．
5．D 【解析】由题意，222
2tan 60c c a b b
a
⎧
⎪=⎪=+⎨⎪⎪=
⎩，解得21a =，23b =，选D ．
6．C 【解析】函数()f x 为奇函数，所以221(log )(log 5)5
a f f =-=，
又222log 5log 4.1log 42>>=，0.8
122<<，由题意，a b c >>，选C ．
7．A 【解析】由题意5π8x =
取最大值，11π8
x =与x 相交，设()f x 周期为T ， 所以11538844T πππ-==或34
T
，所以3T π=或T π=，又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以22
3
T πω==，排除C 、D ； 由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯
+=，102242
k ππ
ϕπ+=+，
即212
k π
ϕπ=+
，令0k =，12
πϕ=
．选A ．
8．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当|
|2
x
y a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由2
2x a x x
+=+，得
2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2
x
f x a +≥恒成立，当
0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．
解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值
2，所以不等式()|
|2
x
f x a +≥等价于 |
|22
x
a +≤在R 上恒成立． 当
a =0x =，得|22x
+>，不符合题意，排除C 、D ； 当a =-0x =，得|22
x
->，不符合题意，排除B ；
选A ． 9．2-【解析】
()(2)(21)(2)212
2(2)(2)555
a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则
2
0,25
a a +==-. 10．1【解析】∵(1)f a =，切点为(1,)a ，1
()f x a x
'=-
，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为：(1)(1)y a
a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1 11．
9π2
【解析】设正方体边长为a ，则22
6183a a
=⇒= ， 外接球直径为344279
23,πππ3382
R V R ====⨯=.
12．22
(1)(1x y ++=
【解析】设圆心为(1,)C m -，由题意(0,)A m ，(1,0)F ， 所以(1,0)AC =-，(1,)AF m =-， 所以1
cos 2||||1AC AF CAF
AC AF ⋅∠=
==-⋅+，解得
m =
因为以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点
A ，所以0m >，取m =
所求圆的方程为22
(1)(1x y ++-=．
13．4【解析】
442241411
44a b a b ab ab ab ab
+++=+≥≥
， 当且仅当2
2
2a b =，且1
2
ab =，即22a =，2
4b =时取等号.
14．
311
【解析】0
32cos603AB AC ⋅=⨯⨯=，1233AD AB AC =+,则
12212
()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-，
311
λ=．
15．【解析】（Ⅰ）由sin 4sin a A b B =
，及sin sin a b
A B
=
，得2a b =． 由
222
)ac
a b c =--，
及余弦定理，得222
5cos 25
b c a
A bc
ac +-=
=
=-
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得sin
5A =
，代入sin 4sin a A b B =，得
sin sin 45
a A B
b ==．
由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以cos 5
B ==． 于是4sin 22sin cos 5B B B ==
，
23cos 212sin
5
B B =-=，
故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555
B A B A B A -=-=
⨯--⨯=-．
16．【解析】（Ⅰ）由已知，,x y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≤≥≥即7660,6,20,0,0,
x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
-⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≤≥≥
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
x
x
（图1） （图2）
（Ⅱ）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．
考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-
+
，这是斜率为12
5
-，随z 变化的一族平行直线．25z 为直线在y 轴上的截距，当25
z
取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y
满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距
25
z
最大，即z 最大． 解方程组7660,
20,x y x y +=⎧⎨-=⎩
得点M 的坐标为(6,3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
17．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD
//BC ，故D A P ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的
角．因为AD ⊥平面PDC ，所以
AD ⊥PD ．在Rt △PDA 中，由已知，得
AP =cos AD DAP AP ∠=
=
． 所以，异面直线AP 与BC ．
（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ．又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C ．
（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．
因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．
由于AD //BC ，DF //AB ，故BF =AD =1，由已知，得CF =BC –BF =2．又AD ⊥DC ，故
BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得DF ==在Rt △DPF 中，可得
sin PD DFP DF ∠=
=
．
所以，直线AB 与平面PBC ． 18．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．
由已知2312b b +=，得2
1()12b q q +=，而12b =，所以2
60q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2n
n b =．
由3412b a a =-，可得138d a -=①．由11411S b =，可得1516a d +=②， 联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-．
所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n
n b =．
（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有
2342102162(62)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，
2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
上述两式相减，得23
142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
1212(12)4(62)2(34)21612
n n n n n ++⨯-=---⨯=----．
得2
(34)216n n T n +=-+．
所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2
(34)2
16n n +-+．
19．【解析】（I ）由3
2
4()63()f x x a x x a b =--+-，可得
2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，
令()0f 'x =，解得x a =，或4x a =-．由||1a ≤，得4a a <-． 当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -．
（II ）（i ）因为()e (()())x
x x g'f f 'x =+，由题意知0
00()e ()e
x
x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以00
00
000()e e e (()())e
x x x
x f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩．
所以，()f x 在0x x =处的导数等于0．
（ii ）因为()e x
g x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤． 又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =． 另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，
由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减， 故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，
从而()e x
g x ≤在00,[11]x x -+上恒成立．
由32
()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤．
令3
2
()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2
()612t'x x x =-，
令()0t'x =，解得2x =（舍去），或0x =．
因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7],1-． 所以，b 的取值范围是[7],1-．
20．【解析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得2
1()22
b c a c +=．
又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=． 又因为01e <<，解得1
2
e =． 所以，椭圆的离心率为
12
． （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m
． 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为
12x y
c c
+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22
m c c
x y m m -==
++， 即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c c
m m -++．
由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c
c m m -++=++，整理得2340m m -=，
所以43m =，即直线FP 的斜率为3
4
．
（ii ）由2a c =
，可得b =，故椭圆方程可以表示为22
22143x y c c
+=．
由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22
223430,1,43x y c x y c c
-+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2
2
76130x cx c +-=，解得137
c
x =-
（舍去），或x c =． 因此可得点3(,
)2
c
P c
，进而可得5|2|c FP ==，
所以53||||||22
c c
FP FQ Q c P -=
-==．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ． 因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248
c c
QN FQ QFN =⋅∠=
⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于2
7532
c ，由四边形PQNM 的
面积为3c ，得22
752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =． 所以，椭圆的方程为
22
11612
x y +=．。