高中数学新人教A版必修1课时分层作业9函数的单调性含解析

课时分层作业 (九) 函数的单调性
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、填空题
1．如果二次函数f (x )＝x 2
－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围
为________．
(－∞，2] [∵函数f (x )＝x 2
－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －1
2且在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上是增函
数，
∴
a －12
≤1
2
，即a ≤2.]
2．若函数f (x )＝
1
x ＋1
在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． [－1，＋∞) [函数f (x )＝
1
x ＋1
的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)， 又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.]
3．已知f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y ＝a ＋f (x )(a 为常数)；②y ＝a －f (x )(a 为常数)； ③y ＝
1f （x ）
；④y ＝[f (x )]2
. ②③ [f (x )在定义域内是减函数，且f (x )>0时，－f (x )，1
f （x ）
均为递增函数，故选②③.]
二、选择题
4．函数y ＝1
x
的单调递减区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(－∞，0)和(0，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C [函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1
x
在区间(－∞，
0)和(0，＋∞)上分别是减函数．]
5．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( )
A ．a ≥12
B ．a ≤12
C ．a >12
D ．a <12
D [函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <1
2.故选D.]
6．下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1
x
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝1－2x
D ．y ＝(2x －1)2
B [对于A ，y ＝1
x
在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递
增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝(2x －1)2
在⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]
7．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]
D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)
C [分别作出f (x )与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.]
8．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2
)＜f (a ) C ．f (a 2
＋1)＜f (a )
D ．f (a 2
＋a )＜f (a )
C [因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2
－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2
)与f (a )的大小，故B 错；
又因为a 2
＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋34
＞0，所以a 2
＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有
f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.]
三、解答题
9．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f (x )＞f (8(x －2))．
解：由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，8（x －2）>0，x >8（x －2），
解得2＜x ＜16
7
.
10．证明：函数f (x )＝x 2
－1x
在区间(0，＋∞)上是增函数．
[证明] 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 2
2＋1x 2
＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.
∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋
1
x 1x 2
>0，
∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，
∴函数f (x )＝x 2
－1x
在区间(0，＋∞)上是增函数．
[等级过关练]
1．若函数y ＝ax 与y ＝－b x
在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2
＋bx 在(0，＋∞)上( )
A ．单调递增
B ．单调递减
C ．先增后减
D ．先减后增
B [由于函数y ＝ax 与y ＝－b x
在(0，＋∞)上均为减函数，故a <0，b <0，故二次函数f (x )＝ax 2
＋bx 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝－b
2a <0，故函数y ＝ax 2
＋bx 在(0，＋∞)上
单调递减．]
2．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1
<0，则( )
A ．f (3)<f (2)<f (1)
B ．f (1)<f (2)<f (3)
C ．f (2)<f (1)<f (3)
D ．f (3)<f (1)<f (2)
A [对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有
f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1
<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，
则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.]
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
________．
(0，2] [依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪
⎧a －3<0，2a >0，（a －3）＋5≥2a ，
解得0<a ≤2.]
4．函数f (x )＝2x 2
－3|x |的单调递减区间是________．
⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 [函数f (x )＝2x 2－3|x |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2x 2
－3x ，x ≥0，2x 2＋3x ，x <0， 图象如图所示，f (x )的单调递减区间为
⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－34，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.
]
5．已知一次函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )(x ＋m )，且f (f (x ))＝16x ＋5. (1)求f (x )的解析式；
(2)若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数m 的取值范围． [解] (1)由题意设f (x )＝ax ＋b (a >0)．
从而f (f (x ))＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2
x ＋ab ＋b ＝16x ＋5，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2
＝16，ab ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩
⎪
⎨⎪⎧a ＝－4，
b ＝－5
3
(不合题意，舍去)． 所以f (x )的解析式为f (x )＝4x ＋1.
(2)g (x )＝f (x )(x ＋m )＝(4x ＋1)(x ＋m )＝4x 2
＋(4m ＋1)x ＋m ，g (x )图象的对称轴为直线x ＝－4m ＋1
8
.
若g (x )在(1，＋∞)上单调递增，则－4m ＋18≤1，解得m ≥－9
4
，所以实数m 的取值范围
为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－94，＋∞.。