九年级一对一教案-第17讲-相似三角形19版

第17讲相似三角形
【例题1】（2018•嘉兴一模）若=，则=．
【例题2】（2018•崇明县一模）已知2x=3y（y≠0），那么=．
【例题3】已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB=．
【例题4】已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=．
【例题5】如果线段b是线段a、c的比例中项，且a=2，c=8，则b=．
3.平行线
分线段
成比例
定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则
AB DE
BC EF
=.
利用平行线所截线段成比例求线段长
或线段比时，注意根据图形列出比例
等式，灵活运用比例基本性质求解.
例：如图，已知D，E分别是△ABC的
边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，
要使DE∥AB，那么BC：CD应等于
5
3
.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边
的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则
OA OB
OD OC
=.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则∥ADE∥∥ABC.
【例题1】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和
D、E、F，已知=，则的值为．
【例题2】已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，
B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．
【例题3】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过
点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，则线
段DE的长为．
F
E
D
C
B
A
l5
l4
l3
l2
l1
O
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【练习1】如图，直线l1∥l2∥l3且与直线a、b相交于点A、B、C、D、E、F，若AB=1，BC=2，DE=1.5，则DF=．
【练习2】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若=，则=．
【练习3】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2HB，BC=5HB，则的值为．
4.黄金分
割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC
AB＝=
5－1
2≈0.618，
那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割
点，AC与AB的比叫做黄金比．
例：把长为10cm的线段进行黄金分
割，那么较长线段长为5(5－1)cm．知识点二：相似三角形的性质与判定
5.相似三
角形
的判
定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∥A＝∥D，∥B＝∥E，则∥ABC∥∥DEF.
判定三角形相似的思路：∥条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；∥条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；∥条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；∥条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；∥条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三
角形相似．如图，若∥A＝∥D，
AC AB
DF DE
=，
则∥ABC∥∥DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如
图，若
AB AC BC
DE DF EF
==，则∥ABC∥∥DEF.
6.相似
三角形的
性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于
相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长
为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF
的面积之比为9：4.
(2) 如图，DE∥BC，AF∥BC,
已知S∥ADE:S∥ABC=1:4，则
AF:AG=1：2.
【例题1】如果两个相似三角形对应边之比是1：3，它们的对应中线之比是
（）
A．1：3B．1：4C．1：6D．1：9
【例题2】如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE=1：2，那
么下列等式一定成立的是（）
A．BC：DE=1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积=1：2
C．∠A的度数：∠D的度数=1：2
D．△ABC的周长：△DEF的周长=1：2
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【例题3】若两个相似三角形的相似比为1：2，则它们面积的比为（）A．2：1B．1：C．1：4D．1：5
【例题4】如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）
A．28°B．32°C．42°D．52°
【例题5】已知两个相似三角形的相似比为1：2，则它们的周长比为（）A．1：4B．4：1C．1：16D．1：2
【例题6】如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是．
巧用“基本图形”探索相似条件
名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
4．旋转型．
2．相交线型．
3．子母型．
平行线型
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
相交线型
2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO
CO ，
试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．
子母型
3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F .求证：AB AC ＝DF
AF
.
(第3题.例)
点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”（找中间量），称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，
【例题1】如图，在∥ABC中，AD∥BC于点D，DE∥AB于点E，DF∥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.
旋转型
4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC . 求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE
.
方法总结
1.“三点定型法”确定相似三角形
2.找中间量
3.作辅助线
巧作平行线构造相似三角形
名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．
巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP：PQ：QD.
过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE
EC
的值．
过一边上的点作平行线构造相似三角
形
3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P .求证：BP CP ＝BD
EC
.
过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1
4AB ，连接
EM 并延长交BC 的延长线于点D .求证：BC ＝2CD .
4利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．
证明两线段的数量关系类型1证明两线段的相等关系
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.
求证：BM＝MC.
类型2证明两线段的倍分关系
2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE.
证明两线段的位置关系类型1证明两线段平行
3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.
(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．
(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．
类型2 证明两线段垂直
4．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝1
3AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，
求证：EG ⊥DF .
证比例式或等积式的技巧
名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．
构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，
DE 交AC 于点F ，
求证：AB ·DF ＝BC ·EF .
三点定型法
3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F . 求证：DC AE ＝CF AD
.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
等比过渡法
6．如图，在∥ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∥EDF＝∥ABE.
求证：(1)∥DEF∥∥BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt∥ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG∥AP 于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
两次相似法
8．如图，在Rt ∥ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∥ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F .
求证：BF BE ＝AB
BC
.
9．如图，在∥ABCD 中，AM ∥BC ，AN ∥CD ，垂足分别为M ，N .求证： (1)∥AMB ∥∥AND ； (2)AM AB ＝MN AC
.
等积代换法
10．如图，在∥ABC 中，AD ∥BC 于D ，DE ∥AB 于E ，DF ∥AC 于F . 求证：AE AF ＝AC AB
.
等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD∥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
12．如图，已知AD平分∥BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
【例题1】（2018•长清区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．
【例题2】（2018•黄浦区一模）如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项．
（1）求证：∠CDE=∠ABC；
（2）求证：AD•CD=AB•CE．
【例题3】（2018•奉贤区一模）已知：如图，四边形ABCD，∠DCB=90°，对角线BD⊥AD，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，BD2=AB•BC （1）求证：BD平分∠ABC；
（2）求证：BE•CF=BC•EF．
【例题4】（2017•娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2=AB•EF．
【例题5】（2017•攀枝花）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．
（1）求证：直线CA是⊙O的切线；
（2）若BD=DC，求的值．
【例题6】（2017•乐山）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
【射影定理】
（1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
①AD2=BD•DC；
②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．
【例题1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=1，则CD 的长为．
【例题2】（2017•娄底模拟）在Rt△ABC，若CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD=3，CD=4，则BC=．
【例题3】已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD=．
【位似变换】
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
【例题1】如图，△ABC的三个顶点坐标为A（0，﹣2）、B（3，﹣1）、C（2，1）．
（1）在网格图中，画出△ABC以点B为位似中心放大到2倍后的△A1B1C1；（2）写出A1、C1的坐标．
【例题2】（2017秋•宜宾期末）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB 的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）．
（1）以图中的点T为位似中心，在第一象限内将△TAB放大到2倍得到△TA′B′，
放大后点A、B的对应点分别为A′、B′，请在网格图中画出△TA′B′．（2）请直接写出点A′、B′的坐标．。