黑龙江鸡西、黑河、齐齐哈尔、大兴安岭市2017年中考数学试题(解析版)

2017年中考数学试题解析
（黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西卷）
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、单项选择题(每题3分，满分30分)
1．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）下列各式：①x 2+x 3=x 5；②a 2·a 3=a 6；
2=-；④(11
()33
-=⑤0(1)1π-=，其中正确的是【 】 A ．④⑤ B ．③④ C ．②③ D ．①④
【答案】A 。

【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，二次根式的性质与化简，负整数指数幂，零指数幂。

【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的化简、负指数幂与零指数幂的性质求解即可求得答案：
①x 2和x 3不是同类项，不可以合并 ，故错误；②a 3•a 2=a 5，故错误；
22=-=，故错误；④11
()33
-=，故正确；⑤0(1)1π-=，故正确。

故正确的是：④⑤。

故选A 。

2．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

因此，
A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确。

故选D。

3．（2017黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图)，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是【】【注：此题黑河卷没有】
A．B．C．
D．
【答案】C。

【考点】正方体的展开，正方体相对两个面上的文字。

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：
A、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误；
B、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误；
C、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确；
D、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误．故选C。

4．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是OA 上的一点，且∠EPF=450，图中阴影影部分的面积为【】
A．4一π8．4—2πC、8+πD．8-2π
【答案】A。

【考点】圆周角定理，切线的性质，扇形和三角形面积的计算。

【分析】连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，圆半径为2，∴AD=2，AD⊥BC。

又∵∠EPF=450，∴根据圆周角定理，得∠A=900。

又∵BC=4，
∴阴影部分的面积=△ABC的面积－扇形EAF的面积
=
22
1n r1902
BC AD=42=4 23602360
ππ
π
⋅⋅
⋅⋅-⋅⋅--。

故选A。

5．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）2017年5月份，齐齐哈尔市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，30，31，34，32，31，这组数据的中位数、众数分别是【】
A．32，31 B．31，31 C．31，32 D．32，35
【答案】B。

【考点】中位数，众数。

【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。

由此将这组数据重新排序为30、31、31、31、32、34、35，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：31。

众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是31，故这组数据的众数为31。

所以这组数据的中位数是31，众数是31。

故选B。

6．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，下图描述了他们散步过程中离家的距离s(米)与散步时间t(分)之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是【】
A．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了
B．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了—会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
【答案】D。

【考点】函数的图象
【分析】根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意味着有停留，与x 轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断：
A、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；
B、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误；
C、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；
D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回从家出发，符合图象的特点，正确。

故选D。

8．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b2－4ac<0 ⑤c<4b④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【】
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】由抛物线的开口向下，得到a＜0，
∵
b
2a
-＞0，∴b＞0。

又∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0。

∴abc＜0。

结论①错误。

又∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0。

结论②错误。

又∵对称轴为直线x=1，∴
b
=1
2a
-，即b=－2a。

结论④正确。

∵当x=－2时，对应的函数值y＜0，
∴4a－2b+c＜0，即－2b－2b+c＜0，即c＜＜4b。

结论③正确。

∴其中正确的结论有③④。

故选B。

9．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）若关于x的分式方程2m x2
1
x3x
+
-=
-
无解，则m的值为【】
A．一l.5 B．1 C．一l.5或2 D．一0.5或一l.5
【答案】D。

【考点】分式方程的解。

【分析】方程两边都乘以x（x－3）得：（2m＋x）x－x（x－3）=2（x－3），即（2m＋1）x=－6，①
①∵当2m＋1=0时，此方程无解，∴此时m=－0.5，
②∵关于x的分式方程2m x2
1
x3x
+
-=
-
无解，∴x=0或x－3=0，即x=0，x=3。

当x=0时，代入①得：（2m＋1）×0=－6，此方程无解；当x=3时，代入①得：（2m+1）×3=－6，解得：m=－1.5。

∴若关于x的分式方程2m x2
1
x3x
+
-=
-
无解，m的值是－0.5或－1.5。

故选D。

10．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=
2BC，②AEF ABC
1
S S
4
∆∆
≤，③AEDF
S=
四形
边
AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF
可能互相平分，
其中正确结论的个数是【】
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C。

【考点】等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方式的非负数性质，矩形的判定和性质，三角形边角关系，三角形中位线定理。

二、填空题(每题3分，满分30分)
11．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）2017年5月8日，“最美教师”张丽莉为救学生身负重伤，张老师舍己救人的事迹受到全国人民的极大关注，在住院期间，共有691万人以不同方式向她表示问候和祝福，将691万人用科学记数法表示为▲ 人．(结果保留两个有效数字)
【答案】6.9×106。

【考点】科学记数法，有效数字。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。

在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第
一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。

691万=6910000一共7位，从而691万=6910000=6.91×106。

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有
效数字。

因此691万=6910000=6.91×106≈6.9×106。

12．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）函数1
x +中，自变量x 的取值范围是 ▲
【答案】x 2x 0<≠且
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为01
x
在实数范围内有意义，必须1x 0x 11x 0x 1x 2x 0x 0x 0<-≥≤⎧⎧⎪⎪-≠⇒≠⇒≠⎨⎨⎪⎪≠≠⎩⎩
且。

13．（2017黑河、黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，己知AC =BD ，要使△ABC ≌△DCB ，则只需添加一个适当的条件是 ▲ (填一个即可)
【答案】AB =DC （答案不唯一）。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】∵AC =BD ，BC 是公共边，
∴要使△ABC ≌△DCB ，需添加：①AB =DC （SSS ）或②∠ACB =∠DBC （SAS ）。

14．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是
14
，则y 与x 之间的函数关系式为 ▲ 【答案】y =3x +5。

【考点】概率公式。

【分析】∵取出一个白球的概率P=
3x
7x y
+
++
，∴
3x1
=
7x y4
+
++
，即12+4x=7+x+y，
∴y与x的函数关系式为：y=3x+5。

15．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD=8，且△AFD的面积为60，则△DEC 的面积为▲
16．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是▲
【答案】4或5或6或7。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高两层，右侧一列最高一层；
由左视图可知左侧两行，右侧一行。

∴可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，也可能两行都是两层。

∴图中的小正方体最少4块，最多7块，即组成这个几何体的小正方体的个数可能是4或5或6或7。

17．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）用半径为9，圆心角为1200的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为▲ ．
【答案】
【考点】圆锥的计算，扇形的弧长公式，勾股定理。

【分析】设圆的半径为R，扇形的半径为r，
由圆的周长即为扇形的弧长，列出关系式：n r
2R 180
π
π
=。

∵n=120，r=9，∴1209
2R
180
π
π
⋅⋅
=，解得R=3。

由圆锥底面圆的半径为3，母线长为9，则圆锥的高为：h。

18．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，∠A=900，BC=4,有一个内角为600，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则PB的长为▲ ．
【答案】4
【考点】含30度角的直角三角形性质，直角三角形两锐角的关系，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：
∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°。

又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。

又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形。

又∵BC=4，∴PB=4。

当∠ABC=30°时，
（i）当P在A的右边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°。

又∠B=30°，BC=4，
∴
BC
cosB
PB
=
，即
2
BC4
PB=
cosB cos30
=。

（ii）当P在A的左边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°。

又∠B=30°，∴∠BCP=∠B。

∴CP=BP。

在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=1
2
BC=2。

根据勾股定理得：AB
∴AP=AB－PB
=－PB。

在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+
（－PB）2=BP2，解得：BP
综上所述，BP的长为4
19．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，点A在双曲线y=1
x
上，
点B在双曲线y=3
x
上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABDC为矩形，则
它的面积为▲
【答案】2。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=1
x
上，∴四边形AEOD的面积为1。

∵点B在双曲线y=3
x
上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3。

∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1=2。

20．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）
如图，在平面直角坐标系中有
一边长为l 的正方形OABC ，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB l 为边作第三个正方形OB l B 2C 2，照此规律作下去，则点B 2017的坐标为 ▲
20-2. （2017黑龙江黑河3分）因式分解：2227x 3y -= ▲ 【注：此题只有黑河卷有】
【答案】()()33x+y 3x y -。

【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因
式。

因此，
()()()222227x 3y 39x y 33x+y 3x y -=-=-。

三、懈答题(满分60分)
21．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西5分）先化简，再求值： 22ab b a b a a a ⎛⎫---÷ ⎪ ⎪⎝⎭
,其中a =sin 30°，b =tan 45° 【答案】解：原式=()2
22a b a 2ab b a a a b a a b a a b
--+⋅=⋅=---。

又∵a =sin 30°=
12
，b =tan 45°=1， ∴原式=a －b =12－1=－12。

【考点】分式的化简求值，特殊角的三角函数值。

【分析】将括号内的部分通分，再将分式的除法转化为乘法，然后根据特殊角的三角函数值求出a 、b 的值，再代入进行解答。

22．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC ．设网格中小正方形的边长为l 个单位长度．
(1)在网格中画出△ABC 向上平移4个单位后得到的△A l B l C l ．
(2)在网格中画出△ABC 绕点A 逆时针旋转900后得到的△AB 2C 2
(3)在(1)中△ABC 向上平移过程中，求边AC 所扫过区域的面积．
【答案】解：（1）、（2）如图所示：
（3）∵△ABC 向上平移4个单位后得到的△A 1B 1C 1，△ABC 向上平移过程中，
边AC 所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形， ∴边AC 所扫过区域的面积=4×2=8。

【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A 1B 1C 1即可。

（2）根据图形旋转的性质画出△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后得到的△AB 2C 2。

（3）根据△ABC 向上平移4个单位后得到的△A 1B 1C 1，△ABC 向上平移过程中，求边AC 所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。

23．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分） 如图，抛物线21y x =x 2b c ++-
与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA =2，OC =3．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点D (2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
注：二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴是直线x =b 2a
-
【答案】解：（1）∵OA =2，OC =3，∴A （－2，0），C （0，3）。

将C （0，3）代入21y=x bx c 2
-++得c =3。

将A （－2，0）代入21y=x bx 32-
++得，()()210=22b 32-⋅-+-+，解得b =12。

∴抛物线的解析式为211y=x x 322
-++。

（2）如图：连接AD ，与对称轴相交于P ，由于点A 和点B 关于对称轴对称，
则即BP +DP =AP +DP ，当A 、P 、D 共线时BP +DP =AP +DP 最小。

设AD 的解析式为y =kx +b ，
将A （-2，0），D （2，2）分别代入解析式得，
2k b 0 2k b 2-+=⎧⎨+=⎩，解得，1k 2b 1
⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 解析式为y =12x +1。

∵二次函数的对称轴为1 12x 122 2=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
， ∴当x =12时，y =12×12+1=54。

∴P （12，54
）。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称（最短路线问题）。

【分析】（1）根据OC =3，可知c =3，于是得到抛物线的解析式为21y=x bx 32
-++，然后将A （－2，0）代入解析式即可求出b 的值，从而得到抛物线的解析式。

（2）由于BD 为定值，则△BDP 的周长最小，即BP ＋DP 最小，由于点A 和点B 关于对称轴对称，则即BP +DP =AP +DP ，当A 、P 、D 共线时BP +DP =AP +DP 最小。

24．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西7分）6月5日是世界环境日，为了普及环保知识，增强环保意识，某市第一中学举行了“环 保知识竞赛”，参赛人数1000人，为了了解本次竞赛的成绩情况，学校团委从中抽取部分学生的成绩(满分为100分，得分取整数)进行统计，并绘制出不完整的频率分布表和不完整的频数分布直方图如下：
(1)直接写出a 的值，并补全频数分布直方图．
(2)若成绩在80分以上(含80分)为优秀，求这次参赛的学生中成绩为优秀的约为多少人?
(3)若这组被抽查的学生成绩的中位数是80分，请直接写出被抽查的学生中得分为80分的至少有多少人?
【答案】解：（1）a =0.28 。

补全频数分布直方图如下：
（2）成绩优秀的学生约为：1000×3228 100
=600（人）。

（3）被抽查的学生中得分为80分的至少有11人。

【考点】频数（率）分布表，频数分布直方图，频数、数率和总量的关系，用样本估计总体，中位数。

【分析】（1）根据第一组的频数8与频率0.08，列式求出被抽取的学生的总人数：8÷0.08=100（人）；
再根据频率求出第二组59.5～69.5的频数：100×0.12=12（人）；
然后求出最后一组89.5～100.5的频数：100－8－12－20－32=100－72=28
（人）；
用最后一组频数除以被抽取的总人数即可得到a 的值：a =
28 100
=0.28。

根据计算补全统计图即可；被抽取的学生总人数为：，
（2）用后两组的频率乘以参赛总人数1000，计算即可得解。

（3）根据中位数的定义，确定被抽取的100名学生中的第50与第51人都在第四组79.5～89.5，
∵中位数是80，而这一组的最低分是80，
∴得分为80分的至少有：51－8－12－20=51－40=11。

25．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西8分） 黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并。

立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数图象．(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)
(1)直接写出渔船离开港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数关系式
(2)求渔船与渔政船相遇对，两船与黄岩岛的距离、
(3在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口 出发经过多长时间与渔政船相距30海里
?
【答案】解：（1）当0≤t ≤5时，s =30t ；当5＜t ≤8时，s =150；当8＜t ≤13时，s =－30t ＋390。

（2）设渔政船离港口的距离s 与渔船离开港口的时间t 之间的函数关系式为
s =kt +b ，则
8k b 0 34k b 1503
+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得k 45 b 360=⎧⎨=-⎩。

∴s =45t －360。

联立s 45t 360s 30t 390=-⎧⎨=-+⎩，解得t 10s 90=⎧⎨=⎩。

∴渔船离黄岩岛的距离为150－90=60（海里）。

（3）∵s 30t 390s 45t 360=-+=-政，渔渔，∴分两种情况：
①－30t ＋390－（45t －360）=30，解得t =9.6；
②45t －360－（－30t ＋390）=30，解得t =10.5。

∴当渔船离开港口9.6小时或10.5小时时，两船相距30海里。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）由图象可得出渔船离港口的距离s 和它离开港口的时间t 的函数关系式，分为三段求函数关系式。

（2）由图象可知，当8＜t ≤13时，渔船和渔政船相遇，利用待定系数求渔政船的函
数关系式，再与这个时间段渔船的函数关系式联立，可求相遇时，离港口的距离，再求两船与黄岩岛的距离。

（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，8＜t ≤13，渔船与渔政船相距30海里，有两种可能：
①s 渔－s 渔政=30，②s 渔政－s 渔=30，将函数关系式代入，列方程求t 。

26．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西8分）如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =45°，易证MN =AM +CN
⑴ 如图2，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC =CD ， 点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =2
1∠ABC ,试探究线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． ⑵ 如图3，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN =
21∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．
【答案】解：（1）MN =AM ＋CN 。

证明如下：
如图，∵BC ∥AD ，AB =BC =CD ，∴梯形ABCD 是等腰梯形。

∴∠A +∠BCD =180°。

把△ABM 绕点B 顺时针旋转到△CBM ′，
则AM =CM ′，BM =BM ′，∠A =∠BCM ′，∠ABM =∠M ′BC ，
∴∠BCM ′+∠BCD =180°。

∴点M ′、C 、M 三点共线。

∵∠MBN =12
∠ABC ， ∴∠M ′BN =∠M ′BC
＋∠CBN =∠ABM ＋∠CBN =∠ABC －∠MBN =
12∠ABC 。

∴∠MBN =∠M ′BN 。

在△BMN 和△BM ′N 中，∵ BM =BM ′ ，∠MBN =∠M ′BN ， BN =BN ，
∴△BMN ≌△BM ′N （SAS ），∴MN =M ′N 。

又∵M ′N =CM ′＋CN =AM ＋CN ，∴MN =AM ＋CN 。

（2）MN =CN －AM 。

【考点】等腰梯形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）先判定梯形ABCD 是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A +∠BCD =180°，再把△ABM 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点M 到达点M ′，根据旋转变换的性质，可得AM =CM ′，BM =BM ′，∠A =∠BCM ′，∠ABM =∠M ′BC ，然后证明M ′、C 、N 三点共线，再利用“边角边”证明△BMN 和△BM ′N 全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证。

（2）在∠CBN 内部作∠CBM ′=∠ABM 交CN 于点M ′，然后证明∠C =∠BAM ，再利用“角边角”证明△ABM 和△CBM ′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM =CM ′，BM =BM ′，再证明∠MBN =∠M ′BN ，利用“边角边”证明△MBN 和△M ′BN 全等，根据全等三角形对应边
相等可得MN =M ′N ，从而得到MN =CN -AM ：
如图，作∠CBM ′=∠ABM 交CN 于点M ′，
∵∠ABC +∠ADC =180°，∴∠BAD +∠C =360°－180°=180°。

又∵∠BAD +∠BAM =180°，∴∠C =∠BAM 。

在△ABM 和△CBM ′中，∵∠CBM ′=∠ABM ′ ，AB =BC ，∠C =∠BAM ，
∴△ABM ≌△CBM ′（ASA ）。

∴AM =CM ′，BM =BM ′。

∵∠MBN =12
∠ABC ， ∴∠M ′BN =∠ABC －（∠ABN ＋∠CBM ′）=∠ABC －（∠ABN ＋∠ABM ） =∠ABC -∠MBN =
12∠ABC 。

∴∠MBN =∠M ′BN 。

在△MBN 和△M ′BN 中，∵BM =BM ′ ，∠MBN =∠M ′BN ， BN =BN ，
∴△MBN ≌△M ′BN （SAS ）。

∴MN =M ′N 。

∵M ′N =CN －CM ′=CN －AM ，∴MN =CN -AM 。

27．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l 80元，售价320元；乙种服装每件进价l 50元，售价280元．
(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?
(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a (0<a <20)元出售，乙种服装价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
【答案】解：（1）设购进甲种服装x 件，则乙种服装是（200－x ）件，
根据题意得：180x ＋150（200－x ）=32400，
解得：x =80，200－x =200－80=120。

∴购进甲、乙两种服装80件、120件。

（2）设购进甲种服装y 件，则乙种服装是（200－y ）件，根据题意得：
()()()(
)()()320180y 280150200y 26700 320180y 280150200y 26800⎧-+--≥⎪⎨-+--≤⎪⎩，解得：70≤y ≤80。

∵y 是正整数，∴共有11种方案。

（3）设总利润为W 元，则W =（140－a ）y +130（200－y ），即w =（10－a ）
y +26000。

①当0＜a ＜10时，10－a ＞0，W 随y 增大而增大，
∴当y =80时，W 有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件。

②当a =10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以。

③当10＜a ＜20时，10－a ＜0，W 随y 增大而减小，
∴当y =70时，W 有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。

【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）设购进甲种服装x 件，则乙种服装是（200－x ）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解。

（2）设购进甲种服装y 件，则乙种服装是（200－y ）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y 的不等式组，解不等式组即可求得y 的范围，再根据y 是正整数整数即可求解。

（3）首先求出总利润W 的表达式，然后针对a 的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案。

28．（2017黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两条直角边0A 、08分别在y 轴和x 轴上，并且OA 、OB 的长分别是方程x 2—7x +12=0的两根(OA <0B )，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒l 个单位长度的速度向点O 运动；同时，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．
(1)求A 、B 两点的坐标。

(2)求当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并直接写出此时点Q 的坐标．
(3)当t =2时，在坐标平面内，是否存在点M ，使以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由x 2－7 x +12=0解得x 1=3，x 2=4。

∵OA ＜OB ，∴OA =3 , OB =4。

∴A (0，3)， B (4，0)。

(2) 由OA =3 , OB =4，根据勾股定理，得AB =5。

由题意得，AP =t , AQ =5－2t 。

分两种情况讨论：
①当∠APQ =∠AOB 时，如图1，△APQ ∽△AOB 。

∴AP AQ AO AB =，即t 52t 35-= 解得 t = 1511。

∴Q （20181111
，）。

②当∠AQP =∠AOB 时，如图2， △APQ ∽△ABO 。

∴AP AQ AB AO =，即t 52t 53-= 解得 t = 2513。

∴Q （12301313 ，）。

（3）存在。

M 1（42255 ，）， M 2（4255 ，），M 3（4855
- ，）。

【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。