05 攻防测试

l
y (x)
y
EI
x
3.设杆中作用集中荷载所引起的位 3.设杆中作用集中荷载所引起的位 移作为失稳时的位移. 移作为失稳时的位移.
l/2 l/2
y (x)
Q l 2 x x3 l y ( x) = ( ) (0 ≤ x ≤ ) EI 16 12 2 精确解: 精确解: 3 48l Q 令 a= EI 3x 4 x 3 Q y ( x) = a( 3 ) l l 10 EI 误差:+1.3 :+1.3% Pcr = 2 误差:+1.3 l
∑
i =1
i
i
将无限自由度化为有限自由度. 将无限自由度化为有限自由度. 结构势能则为 a1 , a 2 , a n 的多 元函数, 元函数,求其极值即可求出临界 荷载. 荷载.
例:求图示体系的临界荷载. 求图示体系的临界荷载. 解: 1.设 1.设
y ( x) = a sin
πx
l
π 4 EI
EP = (
π EI
4
π
2
P)a 2
精确解: 精确解:
Pcr =
π 2 EI
l2
Pcr =
π 2 EI
l2
例:求图示体系的临界荷载. 求图示体系的临界荷载.
x
P
4a 2 解: 2.设 y ( x ) = 2 (lx x ) 2.设 l
12 EI Pcr = 2 l
误差:+21.6 误差:+21.6% :+21.6
E P =0 y1 E P 1 = [( kl P ) y1 + Py 2 ] = 0 y1 l
x
三.瑞利里兹法
应变能
1 Ve = 2
∫
l
M
M = EIy′′(x)
0
(x) dx EI
2
P
P
l
EI EI
1 Ve = 2
∫
l
0
EI [ y ′′ ( x )] 2 dx
y (x)
x
P l 2 外力势能 V = P = ∫0 ( y ′) dx 2 * 结构势能 EP = Ve + VP 1 l P l ′′) 2 dx ∫ ( y ′) 2 Байду номын сангаасx = ∫ EI ( y 2 0 2 0
* e
V = ∑ Pi i = P
= l l cos = 2l sin
2
P 例二:求图示结构的临界荷载. 例二:求图示结构的临界荷载.
k k
P
1 1 ky 12 + ky 解: 应变能 V e = 2 2
* e
2 2
l
y1 y2
2 y2 ( y2 y1 ) 2 ] l 外力势能 V = ∑ Pi i = P[ + 2l 2l
* e
y ds dx = dx 1 + ( y′) 2 dx dy 2 1/ 2 1 = dx[(1 + ( y′) ) 1] = dx[1 + ( y′) 2 1] ds dx 2 1 2 dx ds = ( y′) dx 2 l l 1 ( y′) 2 dx 设 y ( x ) = a11 ( x ) + a2 2 ( x ) + an n ( x ) = ∫ (ds dx) = ∫ n 0 0 2 = a ( x)
2 1 1 y2 ( y 2 y1 ) 2 2 2 = ky 1 + ky 2 P [ + ] 2 2 2l 2l 1 2 = [( kl P ) y 12 + 2 Py 1 y 2 + ( kl 2 P ) y 2 ] 2l kl P P E P E P =0 δE P = δ y1 + δy2 = 0 P kl 2 P y1 y 2
* 结构势能 EP = Ve + VP
EI = ∞
P 2 3klP + k 2l 2 = 0 2.618kl 3± 5 P= kl = E P 1 2 E P 0.382kl = 0 y = l [ Py 1 + ( kl 2 P ) y 2 ] = 0 2 y 2 Pcr = 0.382kl
4l 3 a2
x
P
1 Ve = 2
∫
l
0
EI [ y ′′ ( x )] 2 dx =
π2 P l Ve* = ∫ ( y ′) 2 dx = Pa 2 2 0 4l
l
y (x)
y
EI
x
4l 3 4l dEP π 4 EI π 2 =( 3 P)a = 0 da 2l 2l π 4 EI π 2 P=0 3 2l 2l
Pcr =
π 2 EI
l2
�
二.能量法确定临界荷载
例一:求图示结构的临界荷载. 例一:求图示结构的临界荷载. 解: 应变能
P k
EI = ∞
y
P
1 V e = ky y 2
外力势能
l
22 2 1 y 2 y = 2l ( ) = l ( ) = Py 2 2 2 l 2l = 2l lk P 2 * = y 结构势能 E P = Ve + VP 2l dEP lk P 由势能驻值原理 = y=0 dy l 得临界荷载 Pcr = lk