《周易》中的数学

四、《周易》筮法中的数论问题
《周易》是一门很难看懂的书。 筮法是一种迷信活动，但若你不懂筮法， 你就根本不会懂得《周易》这本书在讲什 么，也就很难去洞察其中一些科学的、文 化的东西。所以即便我们和普通人一样也 将《周易》看作是远古传下来的一部用来 占筮的书，那么我们来认识一下筮对数学 的依赖性。
《周易》中的八卦太极图
中央的圆圈为太 极，黑白鱼形图 为两仪，围绕着 太极的是八卦。 太极的上、下、 左、右为乾、坤、 离、坎四卦，四 个卦形为内层两 条迭线为四象。 左图为 “伏曦八卦图”
八 卦 小 横 图
二、八 卦 与 数 学
1、八卦体现出了排列组合的思想。 如将阳爻 与阴爻 作为元素： 每次取2个，共有4种不同的取法； 每次取3个，共有8种不同的取法； … … … 每次取6个，共有64种不同的取法； … … … 两仪到64卦的排列方法相当数学中的无重复排 列:1 2 3 6
2 ＝2， 2 ＝4， 2 ＝ 8， ， 2 ＝64
2、64 卦表现出等比级数观念及无穷大与 无穷小的观念：
1 ， 2， 4， 8， 16 ， 32 ， 64 ， ，M , 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,,2 ,
即从第二项起，每项和前一项的比值 是一常数，即公比。M的发展趋势可无限 大，也可无限小： 1 1 1 1 1 1 1 1 ， ， ，， ， ， ， ， , 2 4 8 16 32 64 M
《易经》：是具有哲学思想萌芽的巫书， 内容东鳞西爪、文字简古难读。《易经》 记载了六十四卦，每卦六爻。乾卦另有 “用九爻” (多一卦)，坤卦另有“用六 爻” ( 也多一卦 ），讲述六十四卦为 “经”，所有这些卦合起来共有386爻。 (64×6＋2=386). 《易传》：是解释《易经》的书，是具 有浓厚哲学思想的书。有七种十篇。
事实上，筮是一种与数有关的活动，而 筮法确实是一种计算活动。筮法有多种 形式，现在我们来分析一种筮法。
1、筮法：用蓍草的操作来占卜。
“一变”： 将49根蓍草随机的分为两堆，然后在其 中一堆中取出1根不用，把两堆余下的蓍草分 别4根一组地分组，去掉不够4的余数（无余 数则算余4），这样加上已经取出的那根，共 去掉 5 根或 9 根蓍草，余下 44 根或 40根， 这个过程叫 “一变 ”；
一、八 卦 的 形 成
要了解《周易》的宇宙观，了解八卦是怎样 形成的，了解从太极到六十四卦的演化，首 先我们必须懂得《周易•系辞》中的一些东西 的含义。如 “易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象 生八卦，……”。
“易有太极”
“易有太极”：是指阴阳 未分，天地混沌时期。 太极就是太一，不是数 学意义上的一，而是哲 学意义的、整体的、绝 对的一。 太极，是大到极点，物 极必反，就会出现分化， 故阴阳分离，形成了天 和地。
每卦有六个爻辞，爻辞通过摇卦的方法 获得，并且规定只能摇一次，定初卦为 主，不再进行第二、第三次摇卦。 乾卦分别有初九、九二、九三、九四、 九五、上九、用九（只有乾卦有）。 顺序从下而上依次为序。
如果你抽到签为初九，则可解释为： *初九：潜龙勿用。（乾卦第一爻） 白话：乾卦第一爻，象征潜龙，以不用为 佳。 *九二：见龙在田，利见大人。 白话：乾卦第二爻，象征出现在田地上的 龙一样，可以见到高明伟大的人物了。 … … …
“二变”： 用“一变”余下的蓍草再重复上述的过程， 余下 40、36、或 32 根蓍草，叫“二变”； “三变”： 用 “二变” 余下的蓍草再重复上述过程， 余 下36、32、28 或 24 根蓍草，叫“三 变”； 用4除“三变”余下的蓍草数，可得 9、8、7、 6四个数之一。 如果得9或7，叫阳爻，用“——”表示； 如果得8或6，叫阴爻，用“――”表示。 这样“三变”决定一个爻。
八 卦 的 卦 象
乾象：乾为天、为君、为父、为夫、为天子… 坤象：坤为地、为后、为臣、为妻、为群… 震象：震为雷、为帝、为长子、为主、为诸侯… 巽象：巽为风、为霜、为长女、为处女、为妇… 坎象：坎为水、为月、为江河、为大川、为云… 离象：离为火、为日、为电、为大人、为妹… 艮象：艮为山、为石、为沙、为门庭、为少男… 兑象：兑为泽、为少女、为朋、为友、为巫…。
《周易》的作者大致以两种猜测：
周文王：公元前1182——公元前1135： 伏曦、周文王、孔丘等所做。 伏曦完成其中八卦，周文王将其演化为64 卦，以此研究天文、地理及用人之道，为 他出狱后启用姜子牙，灭商纣王作精心准 备。
孔子作为春秋时期的思想家、教育家，及儒家 的创史人。在他中年以后却从头去学《周易》， 成语“韦编三绝”就是指孔子学习《周易》的 故事。 人们认为《周易》中的《易传》部分由孔子所 作。 《周易》分为《易经》与《易传》两部分， 《易经》要早于《易传》七百多年。
坤卦 ( 0 ) 000000 … 乾卦 (63) 111111
列一表格对比说明：
卦名 坤 艮 坎 巽 震 离 兑 乾 符号 二进制 000 001 010 011 100 101 110 111 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7
二进制发明者: 德国数学家莱布尼兹（1646-1716） 莱布尼兹在我国的八卦图中悟出了闻名于世的 二进制数学。 莱布尼兹对八卦图评价： “易图是流行于宇宙间的科学中 最古老的纪念物”
少 阴 （－，＋）
太 阳 （＋，＋）
太 阴 （－，－）
少 阳 （＋，－）
“四象生八卦”
在四象之上再生一阴一阳，就产生第三爻。以 阴阳三爻错综复杂的排列，最终可得八种卦形： 1 乾卦 2 兑卦 3 离卦 4 震卦 （天） （泽） （火） （雷） 5 巽卦 6 坎卦 7 艮卦 8 坤卦 （风） （水） （山） （地） 八卦象征着世界形成了八种基本物质。
R
r
S 2r 2
1 R 2 2
“两仪生四象”
四象是在两仪一奇一偶之上复生一奇一偶 而产生的，它象征着春、夏、秋、冬四季 以及东、南、西、北四个方向。 四象分成 太阴： 少阴 少阳 太阳
“四象”在坐标中的图像表示
中国人将“笛卡尔直角 坐标系”的四个部分称 为四个象限，各象限的 正、负值完全符合易经 中的四象。
坤卦 ： 从下而上分别为，初六、六 二、六 三、六四、六五、上六、用六。 损卦 ： 从下而上分别为，初九、九二、六三、 六四、六五、上九。 若得到 “六三” 签，则六三爻辞解释是：
“ 三人行，则损一人；一人行，则得其 友。” 意思是说：三人结交，意见难一致，终 会丢掉一个朋友。一人独行，感到孤独， 就会寻找一个伴友。
0 1 2 3 4 5 6 n
3、伏曦八卦在数学上的对称性与稳定性
若将八卦太极图的数字 画一条曲线，则： 1与 8 2与 7 3与 6 4与 5 这些数字之和都是9。
4、8×8＝64，数字64组成的方阵
64 49 48 33 32 17 16 1 63 50 47 34 31 18 15 2 62 51 46 35 30 19 14 3 61 52 45 36 29 20 13 4 60 53 44 37 28 21 12 5 59 54 43 38 27 22 11 6 58 55 42 39 26 23 10 7 57 56 41 40 25 24 9 8
八卦与“笛卡尔”直角坐标系中卦限符号的关系
z
1（＋，＋，＋） 2（－, ＋，＋ ） 3（－，－，＋） 4（＋，－，＋） 5（＋，＋，－） 6（－，＋，－） 7（－，－，－） 8（＋，－，－）
O y x
三个互相垂直的平面将空间 分为8个部分，每一个部分我们 称他为一个“卦限”
八 卦 的 卦 德
乾：健也。乾象天，不息的运转，性质刚健； 坤：顺也。坤象地，顺承天而行，性质柔顺； 震：动也。震为雷，雷能惊动万物，性质我动： 巽：入也。巽为风，风无孔不入，性质为入： 坎：陷也。坎为水，水流入底处，性质为陷; 离：丽也。离为火，火付着可燃之物，性质为附丽： 艮：止也。艮为山，山魏然不动，性质为停止； 兑：悦也。悦为泽，泽气洋溢，性质为悦。
两爻组成“四象”：（由下向上读）
太阴 少阴 少阳 太阳
00 01 10 三爻的不同排列组成 “八卦”：
11
111 110 101 100
011 010 001 000
这是二进制数记数中 0、1、2、3、4、5、6、7 中的八个数
64卦相当于二进制数 0 到 63 这 64 个数。
“周易筮法”（成卦法）和一次同余式的关 系 《周易》的成卦法和一个同余式有关。 同余式理论属于 “数论” 的范畴，它是关 于数的可除性的一种符号语言。生活中的 应用举不胜举，如： 今天是星期一，是本学期的第一天，第100 天后是星期几？100÷7，商14余2，余2就 是星期2。
现在是零点，100小时后是几点？ 100÷24，商4余4，余4就是4点种。 推而广之，若 m÷7 与 n÷7 都是星期 r ，(1≤r≤6) 如果 r =0，即除尽，则第 m 天与 n 天都是星期日。 可见同样的余数代表某种相同的性质。
＋64 ＋64 ＋64 ＋64 ＋64 ＋64 ＋64
260 260 260
260 260 260
260 260
三、八 卦 与 二 进 制 数
人类最早发生 “数” 的概念是“有”与 “无”。 “有”与“无”在卦画上即为 阳爻： ，阴爻 。 《周易•系辞》上说八卦的形成过程，就是 一种二进制记数法： 阳爻： 代表 1； 阴爻： 代表 0。
太极生两仪
太极生两仪：体现了数的可 分性。两仪就是天和地，古 人用符号 “ ” 和 “ ” 分别来表示 “阳爻” 和 “阴爻” 阳爻： 代表天、火、 男、白天… 阴爻： 代表地、水、 女、黑夜…
两仪图（阴阳鱼）
（易学家绘制的太极图）
两仪中的数学
阳爻 ： 代表正数、 奇数、加号＋、数字1，…。 阴爻： 代表负数、偶 数、减号 -、数字0，…。 两仪的面积正好相等。两个 对称圆的面象，全凭理想之作，繁杂多多。世界史 学家皆由《周易》开始承认中国古代数学 造诣甚深。 至今为止，全世界仍未见到比易经数学更 为高深伟大的，令人叹为观止，其高深、 ， 周密、广阔、巧妙、繁复，可谌称绝无仅 有，应列人世界数学史中之最高位置。
《周易· 系辞》未将 “两仪生四象，四象生八卦，…”。这 一数学思想继续演绎下去，却接着说： “八卦定吉凶，吉凶生大业… …” 将《易经》完全引向另一方面。 而 “易数” 就成了占卜算卦的依据了。
沈宜甲在《科学无玄的周易》 一书中说：
“《周易》之数学为数学、数字之最高 峰，在近代数学中，亦无法与之相比，其 最不可思议者即由单一课题，以求奇、偶、 阴阳爻之数，而有几百种定律、周期性， 包括十进、二进、排列组合、极大极小、 可能率等，可云集数学之大成。而成书于 三千年前，乃人类至高智慧之表现。又有 不可解者，即三、四千年前之中国古人与 其他各国古人，何能至此。…”。
这一过程重复六次，得到6个爻，6 爻 确定一个卦。就完成了筮的操作。 这时可由出的卦，利用《周易》中的卦 辞预测所占卜的行为的吉凶悔吝等。 6个阳爻,称为乾卦。乾卦的卦辞为： 乾、 元、 亨、 利、 贞。 乾：卦名； 元：万事万物根本，又解 做大；亨：通达无碍；利：祥和而无害； 贞：洁净而清正。 白话为：乾卦，具有原始的、伟大的、 亨通的、祥和的、贞洁的德性。
《周易》中的数学
《周易》是我国最古老、最有权威、最著 名的一部经典著作，是中华民族聪明智慧 的结晶。它是保罗万象的百科全书，具有 多学科性，包括自然、社会、思维各大领 域，内容渉及哲学、地理、天文、医学、 乐理、物理、相对论、场论、信息论、…， 甚至若干现代尖端科学的渊源都可追溯到 《周易》，如：遗传密码、军事战略、计 算机、未来学等。 《周易》同时也是一部“数学巨著”。