几何s-凸函数及其性质

几何s-凸函数及其性质
宋振云
【摘要】函数凸性及其广义凸性是函数的重要性质之一,对凸函数进行分类和推广是研究函数凸性及其广义凸性的一个重要途径.在研究凸函数、Godunova-Levin 函数、P-函数和s-凸函数的基础上,针对几何凸函数的推广问题,提出了几何s-凸函数的概念,通过分析几何s-凸函数的凸性特征,给出了几何s-凸函数的若干判定定理和运算性质,建立了几何s-凸函数的Jensen型不等式和Hadamard型不等式.几何s-凸函数概念的建立为研究新的凸函数和拓展凸函数概念开辟了一条新途径.
【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(030)001
【总页数】5页(P1-5)
【关键词】s-凸函数;几何s-凸函数;判定定理;运算性质;Jensen型不等式
【作者】宋振云
【作者单位】湖北职业技术学院机电工程学院,湖北孝感432000
【正文语种】中文
【中图分类】O178.1
我们知道，凸函数是控制论、最优化理论和线性规划等领域应用十分广泛的一类重要函数. 近年来，随着凸函数理论研究的深入和应用领域的拓展，对凸函数的关注和研究成为了数学研究领域的一个热点问题，特别是对区间上的二元幂平均定义的
凸函数的研究更显突出. 如几何凸函数[1]、调和凸函数[2]、平方凸函数[3]、调和
平方凸函数[4]及其推广r-平均凸函数[5]；对数凸函数(AG-凸函数[6])、AH-凸函
数[7]及其推广AM-凸函数[8]；指数凸函数(GA-凸函数[9])、GH-凸函数[10]及其
推广GM-凸函数[11]；HA-凸函数[12]、HG-凸函数[13]及其推广HM-凸函数[14]等等. 另一方面，从改变幂平均的角度考虑，也有以不同方式建立的凸函数概念，如
定义1[15] 设f(x)是定义在区间I⊆R上的非负值函数，若∀x1,x2∈I及∀λ∈(0,1)，有
(1)
则称f(x)为Godunova-Levin函数，或称f(x)属于Q(I)函数类.
定义2[16] 设f(x)是定义在区间I⊆R上的非负值函数，若∀x1,x2∈I及∀λ∈(0,1)，有
f(λx1+(1-λ)x2)≤f(x1)+f(x2)
(2)
则称f(x)为P-函数，或称f(x)属于P(I)函数类.
定义3[17] 设I=[0,+∞)，s∈(0,1]，f:IR，若∀x1,x2∈I及∀λ∈[0,1]，有
f(λx1+(1-λ)x2)≤λsf(x1)+(1-λ)sf(x2)
(3)
则称f(x)为I上的s-凸函数，或称f(x)属于函数类.
基于上述的前期研究，并受其启发，本文针对几何凸函数的推广问题，提出了几何s-凸函数的概念，讨论了几何s-凸函数的判定方法和运算性质，建立了几何s-凸
函数的Jensen型不等式，并给出了几何s-凸函数的一个等价形式和推论，同时，得到了几何s-凸函数的一个Hadamard型不等式.
定义4 设I⊆R+，s∈(0,1]，f:IR+，若∀x1,x2∈I及∀t∈[0,1]有
(4)
则称f(x)为I上的几何s-凸函数. 若不等式(4)中的不等号反向，则称f(x)为I上的几何s-凹函数.
显然，几何凸函数是s=1时几何s-凸函数的特例.
1 几何s-凸函数的判定及性质
设闭区间I=[a,b]⊆R+，由于函数ln x是I上单调递增的函数，记ln I=[lna,lnb]. 若I为开区间，则lnI也为相应的开区间.
定理1 设I⊆R+，s∈(0,1]，f:IR+，则f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数的充要条件是函数lnf(ex)为lnI上的s-凸(凹)函数.
证明令g(x)=lnf(ex)(x∈lnI).
充分性设∀x1,x2∈I,则lnx1,lnx2∈lnI，因为g(x)=lnf(ex)为lnI上的s-凸函数，所以∀t∈[0,1]，有
即故f(x)为I上的几何s-凸函数.
必要性∀x1,x2∈lnI，由于函数lnx严格单调，所以ex1,ex2∈I，若f(x)为I上的几何s-凸函数，则∀t∈[0,1]，有
g(tx1+(1-t)x2) =lnf(etx1+(1-t)x2)=lnf ((ex1)t(ex2)1-t)
≤tslnf(ex1)+(1-t)slnf(ex2)=tsg(x1)+(1-t)sg(x2)
故g(x)=lnf(ex)为lnI上的s-凸函数.
同样的方法可证定理的后半部分成立.
定理2 设I⊆R+，s∈(0,1]，f:IR+，则f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数的充要条件是φ(t)∀x1,x2∈I)是[0,1]上的s-凸(凹)函数.
证明因为[0,1])，所以，φ(0)=lnf(x2)，φ(1)=lnf(x1).
充分性若φ(t)是[0,1]上的s-凸函数，则∀x1,x2∈I及t∈[0,1]，有
≤tsφ(1)+(1-t)sφ(0)=tslnf(x1)+(1-t)slnf(x2)
=ln(f(x1))ts(f(x2))(1-t)s
即故f(x)为I上的几何s-凸函数.
必要性∀x1,x2∈I及∀t1,t2∈[0,1]，由正数幂平均的性质⊆I,令则∀α∈[0,1]，同样有
若f(x)为I上的几何s-凸函数，则∀t1,t2∈[0,1]及∀α∈[0,1]，有
故∀x1,x2∈I)是[0,1]上的s-凸函数.
同理可证定理的后半部分成立.
定理3 设I⊆R+，s∈(0,1]，f:IR+，则f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数的充要条件是∀x1,x2,x3∈I且x1<x2<x3，有
(lnx3-lnx2)slnf(x1)-(lnx3-lnx1)slnf(x2)+(lnx2-lnx1)slnf(x3)≥(≤)0
(5)
证明必要性∀x1,x2,x3∈I且x1<x2<x3，设则若f(x)为I上的几何s-凸函数，则
注意到s∈(0,1]且(lnx3-lnx1)s>0，将上式整理得
(lnx3-lnx2)slnf(x1)-(lnx3-lnx1)slnf(x2)+(lnx2-lnx1)slnf(x3)≥0
由于以上证明步步可逆，所以充分性成立.
若f(x)为I上的几何s-凹函数，则上述证明中的不等号反向，所以定理3的后半部分得证.
定理4 设I⊆R+,A⊆R+,B⊆I，f:IR+,μ:AB，则
(i)若y=f(u)是I上严格递增的几何s-凸函数，u=μ(x)是A上的几何凸函数，则
y=f(μ(x))是A上的几何s-凸函数；
(ii)若y=f(u)是I上严格递减的几何s-凸函数，u=μ(x)是A上的几何凹函数，则y=f(μ(x))是A上的几何s-凸函数；
(iii)若y=f(u)是I上严格递增的几何s-凹函数，u=μ(x)是A上的几何凹函数，则y=f(μ(x))是A上的几何s-凹函数；
(iv)若y=f(u)是I上严格递减的几何s-凹函数，u=μ(x)是A上的几何凸函数，则y=f(μ(x))是A上的几何s-凹函数.
证明仅证(i)，同理可证(ii)、(iii)、(iv).
显然，∀x1,x2∈A及∀t∈[0,1]，有⊆I,因为u=μ(x)是A上的几何凸函数，y=f(u)是I上严格递增的几何s-凸函数，所以
根据定义4，y=f(μ(x))是A上的几何s-凸函数.
定理5 设I⊆R+, s∈(0,1]，若fi(x)(i=1,2,…,n)是I上的几何s-凸(凹)函数，则(x)是I上的几何s-凸(凹)函数.
证明因为fi(x)(i=1,2,…,n)是I上的几何s-凸函数，所以∀x1,x2∈I及∀t∈[0,1]，有
⟹
故，是I上的几何s-凸函数.
同理可证定理的后半部分成立.
2 几何s-凸函数的Jensen型不等式
定理6 设I⊆R+, s∈(0,1]，若f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数，则∀xi∈I及∀有
(6)
若f(x)为I上的几何s-凹函数，则不等式(6)中的不等号反向.
证明 (用数学归纳法). 设f(x)为I上的几何s-凸函数，当n=1时，t1=1，此时不等式(6)成为恒等式，所以n=1时定理成立.
当n=2时，∀x1,x2∈I及∀t1,t2∈R+，且t1+t2=1，由几何s-凸函数的定义4有
所以，当n=2时定理成立.
假设当n=k时定理成立，即f(x)为I⊆R+上的几何s-凸函数时，∀xi∈I及∀有
则当n=k+1时，∀xi∈I,∀并注意到根据归纳假设和几何s-凸函数的定义4，有
即当n=k+1时，不等式(6)成立，故对于一切自然数，若f(x)为I上的几何s-凸函数，则不等式(6)成立，因此定理成立.
同理可证f(x)为I上的几何s-凹函数时定理成立.
定理6的一个等价形式：
定理7 设I⊆R+, s∈(0,1]，若f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数，则∀xi∈I及
∀pi∈R+,(i=1,2,…，n)，有
若令p1=p2=…=pn，则有
推论设I⊆R+, s∈(0,1]，若f(x)为I上的几何s-凸(凹)函数，则∀xi∈I(i=1,2,…，n)，有
3 几何s-凸函数的一个Hermite-Hadamard型不等式
定理8 设s∈(0,1]，若f(x)为[a,b]⊆R+上的几何s-凸函数，则
(7)
若f(x)为[a,b]上的几何s-凹函数，则不等式(7)中的不等号反向.
为证明定理8，先给出s-凸函数的Hermite-Hadamard不等式：
引理1[19] 设s∈(0,1]，若f(x)为[a,b]⊆R+上的s-凸函数，则
(8)
若f(x)为[a,b]上的s-凹函数，则不等式(8)中的不等号反向.
下面，我们运用引理证明定理8.
证明因为f(x)为[a,b]⊆R+上的几何s-凸函数，所以由定理1知g(x)=lnf(ex)是[lna,lnb]上的s-凸函数，因此由引理有g(x)在[lna,lnb]上的Hermite-Hadamard 不等式
⟹⟹
若f(x)为[a,b]上的几何s-凹函数，则证明中的不等号反向，故定理的后半部分得证. 证毕.
注：当s=1时，不等式(7)即为这就是文献[20]定理1的结果.
【相关文献】
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