娄底市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

娄底一中2020 ~ 2021学年第一次阶段性考试 高二数学 试题
时量:120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分） 1
．
“
1,1
x y >>” 是 “
2
x y +>” 的
（ )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若关于x
的不等式0x b x a
-≤+的解集是
{|23}
x x <≤，则
( )
A ．2,3a b ==
B ．3,2a b ==
C ．3,2a b ==-
D ．
2,3a b =-=
3．已知x ,y 满足约束条件
2010220
x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩，则
1
z x y =--的最小值为
( ) A ．3-
B ．2-
C ．0
D ．1
4．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定
值"，命题乙是“点P 的轨迹是以
A 、B
为焦点的椭圆"，那么甲是乙的
（ )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5
．
已
知
0,0,24
a b a b >>+=,则
ab
的最大值为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．4 D
．
6．设0
m n +>,则关于
x
的不等式()()0
m x n x -+>的解是
（ )
A ．x n <-或x m >
B ．n x m -<<
C ．x m <-或x n >
D ．m x n -<<
7．已知0>x ,0>y ，且3是x
3与y
3的等比中项，则134x y x y
+-+的最小值是 ( ）
A ．2
B ．22
C ．4
D ．32
8．已知关于x 的不等式23x x m
-+-<有解，则实数m 的取值范围
( ）
A ．1m <
B ．1m ≤
C ．1m >
D ．1m ≥
9．已知椭圆
2
22
1(02)4y x b b +=<<的左、右焦点分别为1
2
,F F ，过1
F 的直线交
椭圆于,A B 两点．若2
2
||||AF BF +的最大值为5，则b 的值为
( ） A ．1
B
C ．32
D
10．已知1
F 、2
F 是椭圆C ：
2
222
1(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上,
线段2
PF 与圆2
22
x
y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2
PF 的中点，则
22
a e b
+(其中
e
为椭圆的离心率）的最小值为
( ) A
B C D
11．给出下列四个结论中，正确的有 （多选) ( ）
A ．若命题20
0R,10
p x x
x ∃∈++<：， 则2
R,10
p x x
x ⌝∀∈++≥：；
B ．“(3)(4)0x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；
C ．命题“若0m >，则方程2
x x m +-=有实数根”的逆
否命题为:
“若方程2
x
x m +-=没有实数根，则m ≤0"；
D ．“若2
2
am
bm <，则a b <”的逆命题为真命题．
12．动点(,)M x y 分别到两定点5,0),(5,0)
-（连线的斜率的乘积为5
162-，设(,)M x y 的
轨迹为曲线C ,1
2
,F F 分别为曲线C 的左、右焦点，则下列命题中正
确的有（多选）（ ）
A ．曲线C 的焦点坐标为1
23,0),(3,0)
F
F -（；
B ．若
1
2
03F M F ∠=︒，则12
F MF S
∆=;
C ．1
2
F MF ∆的内切圆的面积的面积的最大值为94
π；
D ．设3(,2)2A ，则1
MA MF +的最小值为152
． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为2，最大值为8，
则该椭圆的短轴长为 ．
14．命题p :x 2＋2x －3>0，命题q ：113x
>-,若 q 且p 为真，则x 的取值范围是_____．
15．已知:p 2
230x
x --<,2:60
q x ax --<，若p 是q 充分不必要条件，则实数a 的
取值范围是 ．
16．已知设命题p ：1
x 和2
x 是方程2
20
x
mx --=的两个实根，不等式21253||
a a x x --≥-对任意实数
[1,1]
m ∈-恒成立；命题
q :2000,210
x R ax x ∃∈+->．若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围
是 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分) 已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x
轴上，其右焦点到直线
220
x y -+= 的距离为3。

（1)求椭圆的方程； （2）直线31
3
y x =
+与椭圆交于P 、
N 两点，求||PN ．
18．(本小题满分12分) 设命题p ：方程
2
2112y x m m
+=--表示焦点在y 上
的椭圆;
命题q ：实数m 满足2
27120(0)
m
am a a -+<>．
（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分） 已知函数224()3,()21
f x x
g x x x a a
x =+-=-+--．
(1）若24x ≤≤,求函数()f x 的最值；
（2）对∀1[24]
x ∈，，总∃
0[24]
x ∈，，使得1
()()f x g x =成立,求实数a 的
取值范围．
20．(本小题满分12分) 如图所示,常德一花园小区根据业主要求,
将一矩形花坛ABCD (其中3AB =米，2AD =米）扩建成一个更大的矩形绿化休闲区AMPN ，其中原来的矩形花坛改建成风雨休闲亭，剩下的六边形BCDNPM 区域为绿化区域．
要求如下:点B 点在AM 上，点D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ．
（1）要使六边形绿化区域BCDNPM 的面积大于21平方米，则DN 的长应在什么范围内?
（2)当AN 的长度为多少时，六边形绿化区域BCDNPM 的面积最小?并求出最小值．
21．(本小题满分12分) 已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，
离心率为
3
2
且经过点M (2 ， 1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上
的截距为(0)m m ≠,l 交椭圆于,A B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； (2）求m 的取值范围；
（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为1
2
,k k ，求1
2
k k
+的值．
22．（本小题满分12分) 设1
2
,F F 是椭圆C ：
2
222
1y x a b +=(0a b >>)的左、右
22
;过点1
F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2
ABF ∆的
周长为
．
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；
（3)在x 轴上是否存在定点M ,使得MA MB ⋅为定值？
若存在，请求出定点坐标；若不存在，请说明理由．
娄底一中2020 ~ 2021学年第一次阶段性考试 高二数学 试题
参 考 答 案(敬请核对后使用）
1～10 ADBBB BDCDC 11．AC 12．ACD 13．8 14．(,3)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞ 15．[1,5] 16．[6,)+∞ 17．（1)2
21
3
x y +=； （2) 2 ．
18．（1）3
(1,)2； （2)13[,]38
． 19．（1）min
max ()
(3)2,()(2)3
f x f f x f ====； （2)[1,2]-．
20．（1）设||DN x =（0x >）米,则||(2)AN x =+米．∵||||
||||
DN DC AN AM =
，∴3(2)||x AM x += ∴||||AMPN
S
AM AN =⋅=
四形2
3(2)x x
+，||||326ABCD
S
AB AD =⋅=⨯=四形
⇒BCDNMP
S =六
形AMPN
S -四形ABCD
S 四
形23(2)6x x
+=-
∴由
BCDNMP
S 六
形21>⇒
2
3(2)6x x
+-21
>（0x >）…………………………… 6分
∴01x <<或4x >即||DN 的长的范围为(0,1)
(4,)
+∞．
（2）由(1）知:
BCDNMP
S 六
形2
3(2)6x x
+=
-236121236618x x x x x ++==++≥=
(0x >)(当且仅当12
3(0)x x x
=>即2x =时，取“="） 此时 ||24
AN x =+=米
即||AN 为4米时，六边形绿化区域BCDNPM 的面积最小,为18
平方米．…12分 21．(1)
2
2182
y x +=; （2）(2,0)(0,2)-⋃； （3)0．
22．（1
）由题意：
4c e a a ⎧
==⎪⎨⎪=⎩，又2
22
a
b c =+ 解得：2
2
a
=，2
1
b
=，2
1c
=
∴
椭圆
C
方程为
221
2
x y +=． ……………………………… 3 分
(2）由题意:AB 的斜率存在且不为0． 又1
(1,0)F -，
∴设AB ：(1)y k x =+，1
1
(,)A x y ，2
2(,)
B x
y ．
则由
2
2
(1)12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒2222(12)4220k x k x k +++-= ∴
22222
122
2
122(4)4(12)(22)04122212k k k k x x k k x x k ⎧
∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩
∵AB 中点的横坐标为
1
2
-,∴
22
21212k k
-=-+，
⇒
k
＝
． …………… 8 分
(3)存在5
(,0)4
M -使得MA MB ⋅为定值． 理由如下：设存在符合题意的点(,0)M t ，则： 当AB 的斜率存在时，由(2)知：
2122
412k x x k +=-
+，
2122
2212k x x k -⋅=
+，
所以1
1
2
21212()()()()MA MB x t y x
t y x t x t y y ⋅=-⋅-=-⋅-+⋅，，
21212()()(1)(1)x t x t k x x =-⋅-++⋅+ 22221212(1)()()k x x k t x x k t =++-⋅+++
2
2222222
224(1)()()1212k k k k t k t k k -=+⋅+-⋅-
++++ 22
2
(41)212t k t k +-=++
要使MA MB ⋅为定值，则
41221t +-=⇒54
t =-，此时
MA MB ⋅=7
16
-．
当
AB 的斜率不存在时,则(,(1,A B --
由5
(,0)4M -得MA MB ⋅=716
-． 综上：存在
5(,0)
4
M -使得
MA MB
⋅为定值
7
16
-． ……………………… 12分。