2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲 三角恒等变换与解三角形
[做真题]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A.1
5 B.55
C.33
D.255
详细分析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1
－sin 2α.因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2，所以cos α＝
1－sin 2 α，所以2sin α1－sin 2 α＝1－sin 2 α，解得sin
α＝
5
5
，故选B. 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b
c
＝( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
详细分析：选 A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得b
c
＝6.故选A. 3．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝________．
详细分析：法一：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝1
5，所以tan α－tan 5π41＋tan αtan
5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15
，解得tan α
＝32
. 法二：因为tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－5π4＝1
5，
所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－5π4＋tan
5π41－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－5π4tan 5π4＝1
5＋11－15×1＝3
2
.
答案：32
4．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C
2
＝b sin A .
(1)求B ；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .
因为sin A ≠0，所以sin A ＋C
2
＝sin B .
由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B
2.
因为cos B 2≠0，故sin B 2＝1
2，因此B ＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝
3
4
a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋1
2.
由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，
所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <3
2.
因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛
⎭⎫
38
，32. [明考情]
1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．
2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般．
3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17、18题位置上，难度中等．
三角恒等变换及求值(综合型)
[知识整合
]
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β
.
二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
[典型例题
]
(1)若2cos 2θ
cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A.1
3 B.23 C ．－23
D ．－13
(2)若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝55，cos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝
310
10，则β－α＝( ) A.π
6 B.π4 C.π3 D.π12
(1)因为
2cos 2θ
cos ⎝
⎛⎭⎪
⎫θ＋π4＝3sin 2θ，
所以
2（cos 2θ－sin 2θ）
cos θcos π4－sin θsin
π
4
＝3sin 2θ， 即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ， 两边平方得：4(1＋sin 2θ)＝3sin 22θ， 即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0.
解得：sin 2θ＝2(舍去)或sin 2θ＝－2
3
.
(2)由sin α＝55，及α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝255，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β＝31010，及β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，得cos β＝
1010，所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝31010×255－1010×55＝22
，又因为β－α∈(－π2，π2)，所以β－α＝π
4
.
【答案】 (1)C (2)B
三角函数恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
[对点训练]
1.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( ) A.1
2 B.22
C ．1
D. 2
详细分析：选D.3cos 15°－4sin 215°cos 15° ＝3cos 15°－2sin 15°×2sin 15°cos 15° ＝3cos 15°－2sin 15°sin 30°
＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2. 2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3
4，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )
A.7
25 B.925 C.1625
D.2425
详细分析：选B.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，故cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－α＝
1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2－2α2＝
1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，其中sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1
＝－750，故1
2＋sin αcos α
＝925
. 3．(一题多解)(2019·福州市质量检测)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1
2，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝( )
A ．0 B.1
2 C ．1
D.32
详细分析：选C.法一：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2得，θ＝π3，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3＝cos 0＝1，故选C.
法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2得，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3
2
， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6sin π
6＝1，故选C.
正弦定理与余弦定理的应用(综合型)
[知识整合]
正弦定理及其变形
在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin
A ＝a
2R
，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．
余弦定理及其变形
在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；
变形：b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
.
三角形面积公式
S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2
ac sin B .
[典型例题]
(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin
C )2＝sin 2A －sin B sin C .
(1)求A ；
(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .
【解】 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2.
因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.
(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32
cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－2
2
.
由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝2
2
，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)
＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24
.
正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
[对点训练]
1．(2019·济南市模拟考试)在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝10，cos A ＝25
5，则△ABC 的
面积为( )
A.5
2 B ．5 C ．10
D.
102 详细分析：选A.由AC ＝5，BC ＝10，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－4AB －5＝0，解得AB ＝5，而sin A ＝
1－cos 2A ＝
55，故S △ABC ＝12×5×5×55＝5
2
.选A. 2．(2019·贵阳市第一学期监测)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2a cos C ＋c ＝2b ，则角A ＝________．
详细分析：由题意，2a cos C ＋c ＝2b ，利用正弦定理，得2sin A cos C ＋sin C ＝2sin B ，(1)，
将sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C 代入(1)式得sin C ＝2cos A sin C ，又sin C ≠0，故cos A ＝1
2，所以A ＝π3
.
答案：π3
3．(2019·洛阳市统考)如图，四边形ABCD 中，AC ＝3BC ，AB ＝4，∠ABC ＝π
3
.
(1)求∠ACB ；
(2)若∠ADC ＝2π
3，四边形ABCD 的周长为10，求四边形ABCD 的面积．
解：(1)设BC ＝a ，则AC ＝3a ，
由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， 得3a 2＝42＋a 2－2×4·a ·12，所以a 2＋2a －8＝0，
所以a ＝2或a ＝－4(舍去)， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2， 所以∠ACB ＝π
2
.
(2)因为四边形ABCD 的周长为10，AB ＝4，BC ＝2， 所以AD ＋CD ＝4.
又AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ，
即12＝AD 2＋DC 2＋AD ·DC ＝(AD ＋DC )2－AD ·DC ， 所以AD ·DC ＝4.
所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin 23
π＝ 3.
所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝23＋3＝3 3.
与解三角形有关的交汇问题(交汇型)
[典型例题]
已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (∠BAC )＝2，c ＝5，cos B ＝1
7，
求中线AD 的长．
【解】 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，
所以最小正周期T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6.
因为f (∠BAC )＝2， 所以sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2∠BAC －π6＝1，
所以2∠BAC －π6＝π2，所以∠BAC ＝π
3，
又cos B ＝1
7，
所以sin B ＝43
7
，
所以sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32×17＋12×437＝5314
. 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin ∠BAC
， 得
55314
＝a 32
， 所以a ＝7，所以BD ＝7
2
.
在△ABD 中，由余弦定理得AD 2
＝AB 2
＋BD 2
－2AB ·BD ·cos B ＝52
＋⎝⎛⎭⎫722
－2×5×72×1
7
＝1294
. 所以
AD ＝
1292
.
(1)该题是解三角形与三角函数的综合型问题，三角函数在该题中的作用就是利用函数值
给出三角形的内角∠BAC ，此时的条件类型就是两角一边，利用正、余弦定理求解即可．
(2)中线的求解，也可以利用向量法，显然AD →＝12(AB →＋AC →
)，然后利用向量数量积运算即
可求得结果．
(3)求解三角函数与解三角形的综合问题，关键是准确找出题中的条件，并在三角形中准确标出数据，如本题，根据已知将问题转化为三角形中相关数据的求解，然后根据条件的类型和所求建立相应的数学模型，最后利用正弦定理或余弦定理解决相应的问题即可．
[对点训练]
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2
＋ac －bc ，则c
b sin B
＝( )
A.3
2 B.233
C.
33
D. 3
详细分析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sin C ＝32sin C ，
由正弦定理得，
c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 3
2
sin C ＝23
3.故选B. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A 2＝255，AB →·AC →
＝3，则
△ABC 的面积为________．
详细分析：由AB →·AC →
＝3，得bc cos A ＝3， 又cos A ＝2cos 2A
2－1＝2×⎝⎛⎭⎫2552
－1＝35，
所以sin A ＝45，bc ·3
5＝3，
所以bc ＝5.
由sin A ＝45及S △ABC ＝1
2bc sin A ，
得S △ABC ＝2. 答案：2
一、选择题
1．(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A ．－15
7 B.157 C ．－
158
D.
158
详细分析：选B.由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan θ＝15
15
，则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×
15
151－⎝⎛
⎭
⎫15152＝157，故选B. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝5
5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )
A ．4 2 B.30 C.29
D ．2 5
详细分析：选A.因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭
⎫552
－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－3
5＝32，所以AB ＝4 2.故选A.
3．(2019·成都市第二次诊断性检测)若α，β都是锐角，且sin α＝255，sin(α－β)＝10
10，
则sin β＝( )
A.72
10 B.22
C.12
D.110
详细分析：选B.因为sin α＝
255，α为锐角，所以cos α＝5
5
. 因为α，β均为锐角，所以0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜－β＜0，所以－π2＜α－β＜π
2，
又因为sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝310
10，所以sin β＝sin[α－(α
－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝55050＝2
2
.
4．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－14
4，则2cos 2
θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π
4＋θ＝( )
A.2
3 B.43 C.34
D.32 详细分析：选D.由sin θ－cos θ＝－
144
， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74
.
因为θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3
4
.
故
2cos 2θ－1
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32
.
5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋b sin C
＝2a ，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
详细分析：选 C.因为c sin B ＋b sin C ＝2a ，所以由正弦定理可得，sin C sin B ＋sin B sin C
＝2sin A ≥2
sin C sin B ·sin B
sin C
＝2， 所以sin A ＝1，当sin C sin B ＝sin B
sin C 时，“＝”成立，
所以A ＝π
2
，b ＝c ，
所以△ABC 是等腰直角三角形．
6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2sin 2A ＋b 2
sin 2B ＝2c 2，sin A (1
－cos C )＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →
，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )
A ．36
B ．37
C ．38
D ．39
详细分析：选A.
由正弦定理，知a 2sin 2A ＋b 2
sin 2B ＝2c 2，即2＝2sin 2C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以sin A (1－
cos C )＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，所以A ＝B ＝π
4
.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角
坐标系，则M (2，4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4
cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2
θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2
θ＋16tan 2θ
≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36.
二、填空题 7．若sin ⎝⎛
⎭⎫π3－α＝1
4，则cos ⎝⎛⎭
⎫π3＋2α＝________． 详细分析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α
＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－α－1＝2×116－1＝－7
8.
答案：－7
8
8．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π
3
，则△ABC 的面积为________．
详细分析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3
，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得
62
＝(2c )2
＋c 2
－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝
1
2
×43×23×sin π
3
＝6 3.
法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π
3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋
c 2
－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2
，所以A ＝π2
，所以△ABC 的
面积S ＝1
2
×23×6＝6 3.
答案：6 3 9.
已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷C ，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B 处后再次观察帐篷C ，D ，此时C ，D 分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C ，D 之间的距离为________米．
详细分析：由题意可得∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∠DBA ＝30°，在△ABD 中，∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，AB ＝30，所以∠ADB ＝90°，sin ∠DAB ＝sin 60°＝
BD
BA
，解得BD ＝15 3.在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝60°，AB sin 60°＝BC
sin 45°，解得
BC ＝10 6.在△BCD 中，∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝45°，则由余弦定理得cos ∠CBD ＝cos 45°＝
BC 2＋BD 2－CD 2
2BC ·BD ，即22＝（106）2＋（153）2－CD 2
2×106×153
，得CD ＝515.
答案：515 三、解答题
10．(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b sin ⎝
⎛⎭⎫C －π
3－c sin B ＝0.
(1)求角C 的值；
(2)若a ＝4，c ＝27，求△ABC 的面积．
解：(1)因为b sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
C －π3－c sin B ＝0，
所以sin B ⎝⎛⎭⎫12sin C －3
2cos C －sin C sin B ＝0，
因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，
所以12sin C ＋32cos C ＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
C ＋π3＝0.
因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3
.
(2)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，a ＝4，c ＝27，所以b 2＋4b －12＝0， 因为b ＞0，所以b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×2×3
2
＝2 3.
11．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 2
4S
.
(1)求sin A sin C ；
(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长． 解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝1
2bc sin A ，
又sin B ＝b 2
4S
，所以2bc sin A sin B ＝b 2，
即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝1
2
.
(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝3
4，
所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝1
4，
即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－1
4，
因为0＜B ＜π，所以sin B ＝
15
4
， 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1515
4＝4.
所以sin A sin C ＝ac 16＝1
2
，所以ac ＝8.
因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，
所以(a ＋c )2＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝33，所以a ＋b ＋c ＝33＋15.
12．(2019·福州市质量检测)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为3 6.
(1)求边DE 的长；
(2)若AD ＝3，求sin A 的值．
解：(1)如图，在△ECD 中，S △ECD ＝12CE ·CD sin ∠DCE ＝12×3×5×sin ∠DCE ＝36，
所以sin ∠DCE ＝26
5，
因为0°＜∠DCE ＜90°， 所以cos ∠DCE ＝
1－⎝⎛⎭⎫2652
＝15
， 所以DE 2＝CE 2＋CD 2－2·CE ·CD ·cos ∠DCE ＝9＋25－2×3×5×1
5
＝28，所以DE ＝27.
(2)因为∠ACB ＝90°，所以sin ∠ACD ＝sin(90°－∠DCE )＝cos ∠DCE ＝1
5，
在△ADC 中，AD sin ∠ACD ＝CD
sin A ，
即315＝5sin A ，所以sin A ＝13.。