九年级数学“二次函数定义及其图像性质”知识点、例题、考题-2018版详解

2018-2019学年九年级（上）数学-专属资料
二次函数性质及其图像
一、知识点总结
知识点一：二次函数的定义
1.二次函数的定义:
般地，形如y二ax2・bx・c （ a ,b,c是常数，a = 0 ）的函数，叫做二次函数. 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
知识点二：二次函数的图象与性质二二抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点__ 2
2.二次函数y =a x - h ］亠k的图象与性质
（1）二次函数基本形式y =ax2的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小
(2) y =ax2c的图象与性质：上加下减氏的符号幵口方向顶鈕标对称轴
a>0向上S)F轴x<o时，$随x的増大而减屮多eO时，*随龙的增犬而増犬；x=o时』y有最小值亡■
l°J卜(0“)轴工vO时，$随工的増大而増大；
耳>0时，｝■'随x的増大而/咸小9 X"时，$有最大値―
y=2x*-2
2 、_ ”
(3) y=ax-h的图象与性质：左加右减
&的符号幵口方冋顶点坐标対称轴性质
a >0向上x~h Y附寸# F随耳的壇大而屈小F 八弁时,T随工的增犬而増;
b 工=为时，y有最/卜值0.
£J<0向下（竹0）= <由时，y随工的增大而増大』；x"时』y随耳的堵犬而屈小i s时，〕・有最大值0・
(4)二次函数y =a x - h $ *的图象与性质
应的符号开口方冋顶魁标对称轴性质
a >0问上(扎灯x=ti 工“时』y随工的增大而満小, H汀时'$随H的増大而増大；"闪时，y有最小值A
a<0向下亦)x~h “加办，随工的増大而增大$ X>h^,?V随工的増大而减小』x =舟时，T有最大值上-
3.
二次函数y =ax 2 bx c 的图像与性质
(1) 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x = ，顶点坐标为•
2a
J 2a
2 二次函数图象的平移
平移步骤：
2
17、将抛物线解析式转化成顶点式 y=a(x-h)+k ，确定其顶点坐标(h,k )； ② 可以由抛物线y 二ax 2经过适当的平移得到。

具体平移方法如下：
4ac _b 2 :
4a
」
(2) 当a <0时，抛物线开口向下，对称轴为x 二—匕，顶点坐标为
2a
当x ：：：_P 时，y 随x 的增大而增大；当x.—卫时，y 随x 的增大而减小；当x —卫时，y 有 2a
2a
2a
2
最大值•
4a
4. 二次函数常见方法指导
(1)二次函数y =ax 2 bx c 图象的画法
① 画精确图 五点绘图法(列表-描点-连线)
利用配方法将二次函数y =ax 2 ・bx ・c 化为顶点式y =a(x -h)2，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 ②
画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴的交点，顶点.
当--时，y 随x 的增大而减小；当x._卫时，y 随x 的增大而增大；当
2a
2
最小值4aC _b
4a
2a
/ 2
、
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”. (3) 用待定系数法求二次函数的解析式
① 一般式：匸一'.已知图象上三点或三对(x, y )，的值，通常选择一般式. ② 顶点式：匸一，，：'.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式• ③ 交点式-二.已知图象与*轴的交点坐标°、匸，通常选择交点式. (4) 求抛物线的顶点、对称轴的方法
① 公式法： y = ax 2+bx + c=a x + 屯］+ 4ac-b ，.•.顶点是(一 b ，4ac b )，对称轴是直线
l 2a 丿 4a 2a 4a
b
x
.
2a
② 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a(x-hf+k 的形式，得到顶点为(h, k)，对称轴是直线x =h .
③ 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平 分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 .
(5) 抛物线y 二ax 2 bx c 中，a,b,c 的作用
① a 决定开口方向及开口大小，这与 y =ax 2中的a 完全一样. ② b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线y 二ax 2 bx c 的对称轴是直线x b ，故
2a
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y=a(x_h)
2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
4 y=ax 2
+k
y=ax
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位 向上(k>0)【或下(k<0) 平移|k |个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】 平
移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
y=a(x h)2
+k
如果b = 0时，对称轴为y 轴；
如果
b
0 （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；
a
如果-0 （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
a
③ c 的大小决定抛物线y = ax 2 • bx • c 与y 轴交点的位置
当x =0时，y =c ，所以抛物线y=ax 2，bx ，c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果c =0，抛物线经过原点； 如果c 0 ,与y 轴交于正半轴;
如果c 0 ,与y 轴交于负半轴.
5.
函数y 二ax 2，bx ＜，当y = 0时，
得到一元二次方程ax 2 bx ^0，那么一元二次方程的解就 是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 X 轴的交点情况决定一元二次方程
根的情况.
x 轴有两个交点，这时己匸丄山「'L ，则方程有两个不相等实根; x 轴有且只有一个交点，这时丄・ 為、，则方程有两个相等实根;
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系:
⑴当二次函数的图象与 ⑵当二次函数的图象与
（3）当二次函数的图象
与
x 轴没有交点，这时丄丄 ■ -?
，则方程没有实根 二次函数与一元二次方程的关系
6.
(1) y轴与抛物线y =ax2• bx c得交点为(0,c).
(2) 与y轴平行的直线x = h与抛物线y =ax2■ bx ■ c有且只有一个交点(h , ah 2bh c).
(3) 抛物线与x轴的交点
二次函数y =ax2• bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标捲、x?，是对应一元二次方程ax2 bx ^0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点u厶・0=抛物线与x轴相交；
②有一个交点(顶点在x轴上)u =0：二抛物线与x轴相切；
③没有交点=.「：：0二抛物线与x轴相离.
(4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx k的两个实数根.
(5) —次函数y = kx • n k = 0的图像I与二次函数y二ax2• bx • c a = 0的图像G的交
y — kx 亠n
点，由方程组2的解的数目来确定：
、y=ax +bx+c
①方程组有两组不同的解时 =I与G有两个交点；
②方程组只有一组解时=I与G只有一个交点；
③方程组无解时二I与G没有交点.
(6) 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y =ax 2 • bx • c 与x 轴两交点为
A%,。

, B x 2,0，由于x 1、x 2是方程ax 2 bx 0的两个根，故
、例题精讲
第一讲：
【类型一】二次函数的识别 下列函数哪些是二次函数？
2；
1
(1)
y = 2-x ； (2) y =右;
(3) y = 2x (1 + 4x ); (4) y = x 2 — (1 + x )2.
1
解析：(1)是二次函数；(2) -2 是分式而不是整式，不符合二次函
X — 1
1
数的定义式，故 y = —;不是二次函数；(3)把y = 2x (1 + 4x )化简为y =
x — 1
8x 2 + 2x ,显然是二次函数； ⑷y = X 2— (1 + x )2化简后变为y =— 2x — 1,
它不是二次函数而是一个一次函数.
解：二次函数有(1)和(3).
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准： ①所表示的
函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量； ③所含自变 量的关系式最
高次数为 2,且函数关系式中二次项系数不等于 0.
【类型二】确定二次函数中待定字母的取值
如果函数y = (k + 2)xk 2 — 2是y 关于x 的二次函数，则k 的值为 多少？ 解析：紧扣二次函数的定义求解.注意易错点为忽视 k + 2工0的条
件.
k 2— 2 = 2,
k =± 2,
解：根据题意知|
解得|
二k = 2.
Ik + 2 工 0, l k ^ — 2,
x 1 x 2 =-
,X i X 2 =
AB =捲—x 2
=X i - X 2
=
c a
2
x 2
—4X X
.b 2-4ac
a
方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a M0；②自变量最高次数为2 的二次三项式ax2+ bx+ c.
【类型三】求函数值
[WB当x = —3时，函数y= 2—3x—x2的值为__________ .
解析：把x= —3直接代入函数的表达式得y = 2 —3X ( —3) —( —3)2 =2+ 9—9= 2.即函数的值为2.
方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值.用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变.
【类型四】确定自变量的取值当x = 时，函数y= x2+ 5x—5的函数值为1.
解析：令y= 1,即x2+ 5x—5= 1,解这个一兀二次方程得x i = —6, X2= 1.即x= —6 或1.
方法总结：求二次函数自变量的值实际上就是解一兀二次方程.直接
转化为关于自变量的一元二次方程，通过解方程确定自变量的取值. 探究点二：列二次函数的解析式
一个正方形的边长是12cm,若从中挖去一个长为2x cm,宽为(x
+ 1)cm的小长方形.剩余部分的面积为y cm.
(1) 写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
(2) 当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？
解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代
数式表示出来.如图所示.
解：(1) y = 122—2x(x+ 1)，即y= —2x2—2x+ 144,二y 是x 的二次函数.
(2) 当x = 2或4时，相应的y的值分别为132cm或104cm.
方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型.许多实际问题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数
二次函数模型某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时,
关系式，并求出自变量x的取值范围.
解析：根据题意可知：实际商品的利润为(60 —x —40)，每星期售出
商品的数量为(300 + 20x)，则每星期售出商品的利润为y = (60 —x —
40)(300 + 20x )，化简，注意要求出自变量 x 的取值范围.
解：由题意，得：y = (60 - x - 40)(300 + 20x ) = (20 - x )(300 + 20x ) =-20x 2 + 100x + 6000，自变量x 的取值范围为 0W x <20.
方法总结：销售利润=单位商品利润 x 销售数量；商品利润=售价一 进价.
第二讲:
【类型一】图象的识别
有可能是( )
1 2 为时间，因此函数 h = ^gt 2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第 一象限，是抛物线的一部分，故选 A.
方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义. 探究点二：二次
函数 y = ax 2的性质 【类型一】利用图象判断二次函数的增减性 已知a z 0,在同一直角坐标系中，函数 y = ax 与y = ax 2的图象
方法总结： 分a > 0与a v 0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊
已知h 关于t 的函数关系式为h =2gt 2( g 为正常数，t 为时间),
则函数图象为(
解析：本题进行分类讨论：(1)当a >0时，函数y = ax 2的图象开口向 上，函数y = ax 图象经过一、三象限，故排除选项 B ; (2)当
a v 0时，函 数y = ax 2的图象开口向下，函数 y = ax 图象经过二、四象限，故排除选项 D ；又因为在同一直角坐标系中，函数 y = ax 与y = ax 2的图象必有除原点 (0 , 0)以外的交点，故选择C.
点，采取“排除法”. 【类型二】实际问题中图象的识别 解析：根据h 关于
g 为正常数，t
题:
(1) 在y 轴左侧图象上任取两点 A (x i , y i ), B (X 2, y 2)，使X 2<x i <0,试
作出函数 y = - x 2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问
比较y i 与y 2的大小； (2) 在y 轴右侧图象上任取两点 C (X 3, y 3), D (x 4, y 4)，使X 3>X 4>0, 试比较y 3与屮的大小； (3) 由(1)、(2)你能得出什么结论？ 解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用 的方法. 解：(1)图象如图所示，由图象可知 y i >y 2, (2)由图象可知y 3<y 4；⑶ 在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小. 1 1 V 7 Z 2 x 一 1- \ < 方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在 草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误. 【类型二】二次函数的图象与性质的综合题 已知函数y = 3)xmi + 3nn- 2是关于x 的二次函数. (1)求n 的值; ⑵ 当n 为何值时，该函数图象的开口向下? (3) 当n 为何值时，该函数有最小值？ (4) 试说明函数的增减性. 2 n + 3 m- 2= 2, 解析：(1)由二次函数的定义可得 c 故可求n 的值. l n + 3工0, ⑵图象的开口向下，贝U n^3v0； ⑶函数有最小值，则n+ 3>0；
=—4或n = 1时，原函数为二次函数.
(2) I 图象开口 向下，n + 3v 0,二 n v — 3,「. n= — 4. •••当 n = — 4 时，该函数图象的开口向下.
(3) v 函数有最小值，• n + 3>0, n>— 3, • n = 1 ,•当 n = 1 时， 原函数有最小值.
(4) 当n = — 4时，此函数为y = — x 2,开口向下，对称轴为 y 轴，当 x v 0时，y
⑷ 解: 函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定. (1)根据题2 n + 3n- 2 = 2, i n + 3 工 0, 解得n =
l n ^ — 3.
n = 1,
二当
随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
当n= 1时，此函数为y = 4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x v0
上， 高， 轴两方面的因素，因此最好画图观察.
探究点三：确定二次函数 y = ax 2的表达式 【类型一】利用图象确定 y = ax 2的解析式
一个二次函数y = ax 2( a z 0)的图象经过点 A (2 , - 2)关于坐标轴
的对称点B,求其关系式.
解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2 , - 2)关于坐标轴的对称点 不是一个点，
而是两个点.点
A (2 , - 2)关于x 轴的对称点
B i (2 , 2)，点
A (2 , - 2)关于y 轴的对称点B( -2,- 2). 解：•.•点
B 与点A (2 , - 2)关于坐标轴对称，二B(2 , 2), B 2( - 2,
2 2 1 1
-2).当 y = ax 的图象经过点 B(2 , 2)时，2= a X2，二 a = ，二 y =
x 2；当 y = ax 2 的图象经过点 B( - 2,- 2)时，一2 = a x ( - 2)2，二 a =-
1 1
2 1 2 1 2
2，二y =-歹.二二次函数的关系式为 y =歹 或y =-尹・
方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方 法逐一进行讨论，从而求得多个答案.
【类型二】二次函数 y = ax 2的图象与几何图形的综合应用 b )，求:
(1)
a ,
b 的值；
(2) 函数y = ax 2的图象的顶点 M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点 B 的坐标.
解析：直线与函数y = ax 2的图象交点坐标可利用方程求解.
解：(1)：点A (1 , b )是直线与函数y = ax 2图象的交点，二点 A 的坐 _ b = a x1, a =- 1, 标满足二次函数和直线的关系式，二 -c 彳c 二- 彳
b = 2x 1- 3, l b =— 1.
(2)由(1)知二次函数为y =— x 2，顶点M 即坐标原点)的坐标为(0 ,
2
0)，由一x = 2x — 3,解得 X 1= 1, X 2 =- 3,二 y 1=- 1, y 2 =- 9，二直线
与抛物线的另一个交点 B 的坐标为(一3,- 9). 【类型三】二次函数 y = ax 2的实际应用
y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大.
方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当 a >0时，开口向 顶点最低，此时纵坐标为最小值；当 a v 0时，开口向下，顶点最 此时纵坐标为最大值.考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称
时， 已知二次函数 y = ax 2(a z 0)与直线 y = 2x - 3相交于点
A (1 ,
如图所示，有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离0M为
3m 跨度AB= 6m.
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关
系式；
(2) —艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板，要
使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
解析：可令0为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关
系式为y= ax2.由题意可得B点的坐标为(3 , - 3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.
解：(1)以0点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y = ax2.由题意可得B
点坐标为(3 , - 3)，二一3= a x32，解得a=-右二抛物线的函数关系式
为y=-3x2.
1 2 i i
⑵当x= 1时，y=- 1 = —3. v0M= 3,二木板最咼可堆放3—3
8 r =3(米).
方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想.
第三讲
【类型一】用一般式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象经过点(一1,- 5) , (0，- 4)和(1 , 1)，求这个二次函数的解析式.
解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y= ax2+ bx + c( a z 0).
解：设这个二次函数的解析式为y= ax2+ bx + c(a z0)，依题意得:
a—b+ c=—5, a= 2,
c=- 4, 解这个方程组得：b= 3,二这个二次函数的解析式为
a+ b+ c = 1, c= —4.
2
y= 2x + 3x —4.
方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y= ax2+ bx+ c,转化成一个三元一次方程组，以求得a, b, c的值.
已知二次函数的图象顶点是(—2, 3)，且过点(一1, 5)，求这个【类型二】用顶点式确定二次函数解析式
二次函数的解析式.
解：设二次函数解析式为y= a(x—h)2+ k，图象顶点是(一2, 3)，二h=—2, k = 3，依题意得：5 = a( —1 + 2)2+ 3,解得a= 2, —y = 2(x + 2)2+ 3 = 2x2+ 8x+ 11.
方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，贝V设顶点式为y= a(x —h)2+ k.顶点坐标为(h, k)，对称轴方程为x = h,极值为当x = h 时，y极值=k来求出相应的数.
【类型三】根据平移确定二次函数解析式
D将抛物线y= 2x2—4x+ 1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式.
解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y = 2x2—4x+ 1化
成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式.
解：y = 2x2—4x + 1 = 2(x2—2x + 1) —1 = 2(x —1)2—1,该抛物线的顶点坐标是(1 , —1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1 —3, —1 —2)，即(一2,—3)，所以平移后抛物线的解析式为y= 2( x + 2)2—3.即y= 2x2+ 8x+ 5.
方法总结：抛物线y= a(x—h)2+ k的图象向左平移mn>0)个单位，向上平移n( n>0)个单位后的解析式为y = a(x —h+ m)2+ k+ n；向右平移nmn>0)个单位，向下平移n( n>0)个单位后的解析式为y= a(x—h—m)2+ k
—n.
已知二次函数y= 2x2—12x+ 5,求该函数图象关于x轴对称的图【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式
象的解析式.
解析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形
状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数.
解：y= 2x2- 12x+ 5= 2(x- 3)2- 13,顶点坐标为(3 , - 13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3 , 13)，所以对称后的图象的解析式为y = -2(x-3)2+ 13.
方法总结：y= a(x- h)2+ k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y=- a(x —h)2—k.
【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用
(2014 •湖北咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
温度t/ C-4-2014
植物高度增长
量
I /mm4149494625
科学家经过猜想，推测出I与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为___________________________ °C .
解析：设I与t之间的函数关系式为I = at2+ bt + c,把(一2, 49)、
[4a- 2b+ c = 49, j^a=- 1,
(0 , 49)、(1 , 46)分别代入得：c= 49, 解得b=- 2, /. I =
la+ b+ c= 46, lc= 49.
-12- 2t + 49,即I =-(t + 1)2+ 50,二当t =- 1 时，I 的最大值为50. 即当温度为—1C 时，最适合这种植物生长.故答案为—1.
方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法.用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解.
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是()
2 2
A. y = x + 2x-3 B . y= x + 2x + 3
2 2
C. y = x —2x+ 3 D . y= x —2x + 1
解析：选项A 中b2-4ac = 22-4X 1 x ( - 3) = 16>0,选项B 中b2- 4ac= 22-4x 1x 3=- 8v 0,选项C 中b2-4ac= ( -2)2-4x 1x 3=- 8v 0,选项D中b2-4ac= ( - 2)2- 4x 1x 1 = 0,所以选项D的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.
【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与x 轴交于(1 , 0), (3 , 0)两 点，则它的对称轴为 ______________________________ .
解析：V 点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0)，二 对称轴的方程是x = 2. 方法总结：
解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，贝何以简
化计算过程.
【类型三】利用函数图象与 x 轴交点情况确定字母取值范围
1
若函数y = mX + ( m+ 2)x +㊁耐1的图象与 x 轴只有一个交点，
那么m 的值为( )
A . 0
B . 0 或 2
C. 2 或—2 D . 0, 2 或—2
解析：若m^0,二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次
方程的根的判别式为零来求解；若
m = 0，原函数是一次函数，图象与 x
2 1 轴也有一个交点.由(n + 2) — 4m ㊁耐1) = 0,解得 m = 2或一2,当 m= 0 时原函数是一次函数，图象与
x 轴有一个交点，所以当 m= 0, 2或一2
时，图象与x 轴只有一个交点.
方法总结：二次函数y = ax 2 + bx + c ,当b 2— 4ac >0时，图象与x 轴 有两个交点；当b 2— 4ac = 0时，图象与x 轴有一个交点；当 b 2 — 4ac v 0 时，图象与x 轴没有交点. 【类型四】利用抛物线与 x 轴交点坐标确定一元二次方程的解
x 2 + ax + b = 0 的解是（ ）
A .无解
B. x = 1
小兰
画了y =x 2+ ax + b 的图象如图，则关于 的方程
C. x = —4
D. x =—1 或x = 4
解析：T二次函数y=x2+ ax + b的图象与x轴交于（一1, 0）和（4 ,
0），即当x=—1 或4 时，x2+ ax+ b= 0,二关于x 的方程x2+ ax+ b = 0 的解为X1=—1, X2= 4,故选D.
方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解.
探究点二：二次函数y= ax2+ bx + c中的不等关系
抛物线y= ax2+ bx+ c(a v0)如图所示, 则关于x的不等式ax2+ 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
bx+ c>0的解集是（）
A. x v 2
B. x>—3
C. —3v x v 1
D. x v—3 或x> 1
解析：观察图象，可知当—3v x v 1时，抛物线在x轴上方，此时y >0,即卩ax2+ bx+ c>0,二关于x的不等式ax2+ bx + c>0的解集是一3 v x v 1.故选C.
方法总结：抛物线y= ax2+ bx+ c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2+ bx + c > 0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不
等式ax2+ bx+ c v 0的解集.
【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围
2 ________________________________________________
二次函数y = ax + bx+ c（a z0）的图象如图所示，则函数值y>0 时，x的
取值范围是（）
A. x v—1
B. x >3
C. —1 v x v 3
D. x v—1 或x>3
解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为（—1, 0）且其对称轴为x = 1,
则抛物线与x轴的另一个交点为（3 , 0）.当y>0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x v —1,由右边一段图象可知x>
3.因此，x v—1或x> 3.故选D.
x轴的交点坐标是解方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与题的关键.
三、课堂练习
第一讲：二次函数
1. 下列函数中，不是二次函数的是（）
A、y=1-「2x2 B 、y = 2（x 1）2-4
1 2 2
c、y=2（x-1）（x 4）D、y=（x-2）2-x21
2 .在半径为4的圆中，挖去一个边长为xcm的正方形，剩下部分面积为ycm2，则关于y与x之间
函数关系式为（）
2 2 2 2
A、y=：x -4
B、y = 16^-x
C、y=16-x
D、y=x -4
3.在二次函数y=-x2，1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_______ .
4.边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系是
a2 2 a 1
5.已知y =(a-3)x -2是二次函数，则a = _____
6. 某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5 m.如果长方体
的长和宽用x（m）表示，油漆每平方米所需费用是5元,油漆每个长方体所需费用为y元•求y与x 之间函数关系式.
第一讲：二次函数参考答案
2 2
1. D 2 . B 3 . 0 4. S =x 4x 4 5. a —1 6 . y =30x210x
第二讲：二次函数的图象与性质
一、填空题：
k2 -k _4
1. 已知函数y=(k+2) x是关于x的二次函数，则k= _____________ .
2. 已知正方形的周长是acm,面积为Scm2,则S与a之间的函数关系式为 _________
3. 填表：
5.用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框，若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为___________________ .
、选择题:
6.下列结论正确的是()
A.二次函数中两个变量的值是非零实数；
B.二次函数中变量x的值是所有实数；
C.形如y=ax 2+bx+c的函数叫二次函数;
D.二次函数y=ax 2+bx+c中a,b,c的值均不能为零
7. 下列函数中，不是二次函数的是()
1
A.y= 1-血x2
B.y=2(x-1) 2+4;
C.y= 2 (x-1)(x+4)
D.y=(x-2)・2-x2
8. 在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2则y与x的函
数关系式为()
・A.y=二x2-4 B.y=二(2-x) 2; C.y=-(x 2+4) D.y=-二x2+16 二
m2 -2
9. 若y=(2-m) x是二次函数,则m等于()
A. 2 ±
B.2
C.-2
D.不能确定
三、解答题
10. 分别说出下列函数的名称：
2
(1) y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= x (4)y=3x-x 2 (5)y=x
11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:
1 3
（1）d= 2n2- 2n , （2）y=1-x 2, （3）y=-x（x-3）
12、二次函数y=ax 2+c 中，当x=3 时，y=26 ;当x=2 时，y=11 ;则当x=5 时，y= _
13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm。

（1）求这个直角三角形的面积S与其中一条直角边长x之间的函数关系式和自变量围；
（2）求当x=5cm时直角三角形的面积。

14、函数y=ax 2+bx+c （a、b、c是常数），问当a、b、c满足什么条件时,
（1 ）它是二次函数？
（2）它是一次函数？
（3 ）它是正比例函数？
_ / 2 + \ m -m
15、若y = m mx是二次函数，求m的值
x的取值范
第二讲：二次函数的图象与性
质答案 一、填空
丄 1
1.2 或-3
2.S= 16 a2
3. 4 、选择 6.B 7.D 8.D 9.C 三、解答题
10⑴一次函数；⑵二次函数；⑶反比例函数；⑷二次函数；⑸正比例函数
1
3
11、 ⑴ 2，- 2 ⑵-1，1 ⑶-1，3
12、 74
1 25
13、 ⑴ S= 2 x(10-x ),0 v x v 10 ；2) S= 2 cm 2
14、 ⑴当a 工0时；⑵当a=0且b 工0时；⑶当a=0 , c=0 , b 工0时。

15、 m=2
第三讲：二次函数 y=ax 2+bx+c
(a 工0)中的不等关系
1.
已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示，请根据图象回答下列问题
1 4,
2 1, _8
4
4.y=16-x2
5.y=-x2+4x
(1) a= _______ ,c= _____ .
⑵函数图象的对称轴是 ___________ ,顶点坐标P __________
(3) _______________ 该函数有最____ 值,当x= ___________ 时,y 最值= .
⑷当x _____ 时,y随x的增大而减小.
当x ____ 时,y随x的增大而增大.
(5)抛物线与x轴交点坐标A ________ ,B _______ ；
与y轴交点C的坐标为_________
⑹当y>0时,x的取值范围是___________ ;当y<0时,x的取值范围是_____________
⑺方程ax2 3-5x+c=0中△的符号为 _________ .方程ax2-5x+c=0的两根分别为________
(8)当x=6 时,y ______ 0;当x=-2 时,y ______ 0.
2. 已知下表：
x
012
2 ax
1
2 求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数;
(2) 请你根据上面的结果判断：
①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理
由•
②画出函数y=ax 2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+ bx+c>0?
2 1
3. 请画出适当的函数图象，求方程x2=丄x+3的解.
2
1 2
4. 若二次函数y=- x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).
2
(1) 求这个二次函数的关系式；
(2) 如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是
向左？或者是向上还是向下？应该平移向个单位？
5. 已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对
⑴请你以汽车刹车时的车速 V 为自变量，刹车距离s 为函数，在图所示的坐标系中描点连线,画出函数
(2) 观察所画的函数的图象，你发现了什么？
(3) 若把这个函数的图象看成是一条抛物线
，请根据表中所给的数据，选择三对,求出它的函数关系式
(4) 用你留下的两对数据，验证一个你所得到的结论是否正确
•
As(m)
150* 100* 50"
----- * ---- * --- • --- > 0 50 100 150 v(km/h)
第三讲：二次函数 y=ax 2+bx+c (a 工0)中的不等关系答案
1. (1)a=1;c=4 (2)直线 x= 5, 6 7 8,-9 (3)小；5;-9
2 12 4) 2
4
5 5
27 (4) ; ⑸(1,0);(4,0);(0,4); 6;
; (6)x<1 或 x>4;1<x<4
2 2
8
(7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>
2. (1)由表知，当 x=0 时,ax 2+bx+c=3;当 x=1 时,ax 2=1;当 x=2 时,ax 2+bx+c=
3.
•••a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2.
(2)①在 X 2-2X +3=0 中，TZ=(-2) 2-4 X1 X3=-8<0,
不存在实数X 能使ax 2+bx+c=0.
②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示，
观察图象得出，无论X 取什么实数总有ax 2+bx+c>0.
2
1
画出函数y =x 的图象,画出函数y = 2X +3的图象，
3
这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标2和2
2 1
就是方程X 2=丄X +3的解.
2
4.:(1) Ty= 1 2
-x 2
+bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0)代入上式，得 2
1
2
5
1 2
(2) '-'y=
X 3X = (X 3) 2
2 2
2
•顶点坐标为(-3,2),
3.:在同一坐标系中如答图所示
丿2厂‘
2(-1)2 b ■ [ 5 c = 0 b (-1) c =0。