湖北省宜城市2018-2019学年八年级下学期期末数学试题(解析版)

宜城市2018—2019学年度下学期期末学业水平测试
八年级数学
一、选择题
1. 中的x的取值范围是（）
A. x＜﹣2
B. x≤﹣2
C. x＞﹣2
D. x≥﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．
【详解】由题意，得
2x+4≥0，
解得x≥-2，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
2. 下列二次根式中能与）
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【详解】A
B；
C
D3不能与
故选B．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
3. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A. 5 B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A 【解析】
分析：直接根据勾股定理求解即可． 详解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
故选A ．
点睛：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 4. 某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如下表：
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ） A. 90，87.5 B. 90，85 C. 90，90 D. 85，85
【答案】C 【解析】 【分析】
根据中位数（按由小到大顺序排列，最中间位置的数）、众数（出现次数最多的数）的概念确定即可. 【详解】解：90分出现了4次，出现次数最多，故众数为90；将9位同学的分数按从小到大排序为80,85,85,85,90,90,90,90,95，处于最中间的是90，故中位数是90. 故答案为C
【点睛】本题考查了中位数和众数，准确理解两者的定义是解题的关键.
5. 某组数据方差的计算公式是(
22221281
[(4)(4)4)8
S x x x ⎤=
-+-+⋯-⎦中，则该组数据的总和为( ) A. 32 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
样本方差(
2
222121
[()())n S x x x x x x n
⎤=
-+-+⋯+-⎦，其中n 是这个样本的容量，x 是样本的平均数.利用此公式直接求解．
【详解】由(
2
2221281
[(4)(4)4)8
S x x x ⎤=
-+-+⋯-⎦知共有8个数据，这8个数据的平均数为4， 则该组数据的综合为4832⨯=， 故选A ．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义． 6. 已知点1(1,)y -，2(1,)y ，3(2,)y -都在直线y x =-上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A. 123y y y >> B. 123y y y <<
C. 312y y y >>
D. 312y y y <<
【答案】C 【解析】 【
分析】
y x =-中，10k =-<,所以y 随x 的增大而减小，依据三点的x 值的大小即可确定y 值的大小关系.
【详解】解：
10k =-<
∴y 随x 的增大而减小
又
211-<-<
∴312y y y >>
故答案为C
【点睛】本题考查了一次函数的性质，正确理解并应用其性质是解题的关键.
7. 在ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BEDF 一定为平行四边形的是（ ） A. AE CF = B. ABE CDF ∠=∠ C. //BF DE D. BE DF =
【答案】D 【解析】 分析】
数形结合，依题意画出图形，可通过选项所给条件证三角形全等，再根据平行四边形的判定定理判断即可. 【详解】解：如图所示，
A.四边形ABCD 是平行四边形,AD BC AD BC ∴=DAE BCF ∴∠=∠
又
AE CF =ADE BCF ∴∆≅∆ （SAS ）,DE BF AED CFB ∴=∠=∠
DEF BFE ∴∠=∠ DE BF ∴ ∴四边形BEDF 是平行四边形，故A 选项正确.
B ．四边形ABCD 是平行四边形,AB
CD AB CD ∴=BAE DCF ∴∠=∠
又
ABE CDF ∠=∠ADE BCF ∴∆≅∆ （ASA ）,BE DF AEB CFD ∴=∠=∠
BEF DFE ∴∠=∠DE BF ∴ ∴四边形BEDF 是平行四边形，故B 选项正确.
C.
四边形ABCD 是平行四边形,AD
BC AD BC ∴=DAE BCF ∴∠=∠
DE BF ∥DEF BFE ∴∠=∠AED CFB ∴∠=∠ADE BCF ∴∆≅∆ （AAS ）DE BF ∴=,
∴四边形BEDF 是平行四边形，故C 选项正确. D.
四边形ABCD 是平行四边形,,AB
CD AB CD ∴=BAE DCF ∴∠=∠,再加上BE DF =并不能证
明三角形全等，也不能通过平行四边形的判定定理直接证明，故D 选项错误. 故答案为D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，灵活运用选项所给条件，结合平行四边形的性质证三角形全等是解题的关键.
8. 如图，在ABC ∆中，4AB =，5BC =，8AC =．点D ，E ，F 分别是相应边上的中点，则四边形DFEB 的周长等于（ ）
A. 8
B. 9
C. 12
D. 13
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形中位线的性质及线段的中点性质求解即可. 【详解】解：
点D ，E ，F 分别是相应边上的中点
EF DF ∴、是三角形ABC 的中位线
11
2222
EF AB AB ∴=
===，BD 同理可得，1515
2222DF BC BC ∴====，BE
∴四边形DFEB 的周长55
22922
EF BD DF BE =+++=+++=
故答案为B
【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练运用三角形中位线的性质求线段长是解题的关键. 9. 如图，直线y=kx +3经过点（2，0），则关于x 的不等式kx +3＞0的解集是（ ）
A. x ＞2
B. x ＜2
C. x≥2
D. x≤2
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用函数图象判断不等式kx+3>0的解集在x 轴上方,进而得出结果. 【详解】由一次函数图象可知 关于x 的不等式kx+3>0的解集是x<2 故选B.
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质和一元一次不等式及其解法，解题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式之间的内在联系. 10. 如图，在平面直角坐标系中，
OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为(8,4)，若直线经过点
(2,0)D ，且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式（ ）
A. 2y x =-
B. 24y x =-
C. 1
12
y x =
- D. 36y x =-
【答案】A 【解析】 【分析】
由直线将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分可知直线必过平行四边形对角线的交点，交点即为BO 中点，定点B 的坐标为(8,4)，故其中点为(4,2)，可用待定系数法确定直线DE 的表达式.
【详解】解：由直线将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分可知直线必过平行四边形对角线的交点，交点即为BO 中点，定点B 的坐标为(8,4)，故其中点为(4,2)，设直线的表达式为y kx b =+，将点(2,0)D ，
(4,2)代入y kx b =+得：
0224k b
k b =+⎧⎨
=+⎩ 解得12k b =⎧⎨=-⎩
所以直线的表达式为2y x =- 故答案为A
【点睛】本题主要考查了平行四边形中心对称的性质及待定系数法求直线表达式，明确直线过平行四边形对角线的交点是解题的关键.
二、填空题
11. 计算-_______________．
【答案】 【解析】 【分析】
==
）及同类二次根式的概念化简即可.
【详解】解：-
=
56515=-⨯
6535=- 35=
故答案为35
【点睛】本题考查了二次根式的化简，综合运用二次根式的相关概念是解题的关键. 12. 若以二元一次方程20x y b +-=的解为坐标的点（x ，y ） 都在直线1
12
y x b =-+-上，则常数b ＝_______. 【答案】2. 【解析】 【分析】
直线解析式乘以2后和方程联立解答即可．
【详解】因为以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点（x ，y ）都在直线1
12
y x b =-+-上， 直线解析式乘以2得2y=-x+2b-2，变形为：x+2y-2b+2=0 所以-b=-2b+2， 解得：b=2， 故答案为2．
【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以2后和方程联立解答． 13. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC 中，∠ACB=90º， AC+AB=10， BC=3，求AC 的长，若设AC=x ， 则可列方程为________________．
【答案】()2
22
310x x +=-
【解析】 【分析】
设AC=x ，则AB=10-x ，再由222AC BC AB +=即可列出方程． 【详解】解：∵AC x =，且10AC AB +=， ∴10AB x =-，
在Rt △ABC 中，由勾股定理有：222AC BC AB +=，
即：()2
22
310x x +=-，
故可列出的方程为：()2
22
310x x +=-， 故答案为：()2
22
310x x +=-．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
14. 为了估计湖里有多少鱼，我们从湖里捕上150条鱼作上标记，然后放回湖里去，经过一段时间再捕上300条鱼，其中带标记的鱼有30条，则估计湖里约有鱼_______条． 【答案】1500 【解析】 【分析】
300条鱼里有30条作标记的，则作标记的所占的比例是30÷300=10%，即所占比例为10%．而有标记的共有150条，据此比例即可解答． 【详解】150÷（30÷300）=1500（条）． 故答案为1500
【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体．
15. 已知菱形ABCD 的边长为4，120B ︒∠=，如果点P 是菱形内一点，且PA PC ==BP 的长为___________． 【答案】1或3 【解析】 【分析】
数形结合，画出菱形，根据菱形性质及勾股定理即可确定BP 的值 【详解】解：连接AC 和BD 交于一点O ， 四边形ABCD 为菱形
BD ∴垂直平分AC, 1
602
ABO ABC ︒∠=
∠= 9030BOA BAO ︒︒∴∠=∠=，
1
22
BO AB ∴=
= 222224212AO AB BO ∴=-=-=
13PA PC ==
∴点P 在线段AC 的垂直平分线上，即BD 上
在直角三角形APO 中，由勾股定理得2221213PA AO PO PO =+=+=
21213PO ∴+=
213121PO ∴=-=
1PO ∴=
如下图所示，当点P 在BO 之间时，BP=BO-PO=2-1=1;
如下图所示，当点P 在DO 之间时，BP=BO+PO=2+1=3
故答案为1或3
【点睛】本题主要考查了菱形的性质及勾股定理，熟练应用菱形的性质及勾股定理求线段长度是解题的关键.
16. 如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．
【答案】207
【解析】 【分析】
由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【详解】解：
四边形ABCD 是矩形,
∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠=
DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的
∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=
B E ∴∠=∠
又
,FOE POB OP OF ∠=∠=
∴OEF OBP ∆≅∆（AAS ）
,EF BP OE OB ∴==
BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==
设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==-
5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+
在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：
222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=-
解得67
x =
620277
AF ∴=+
= 故答案为
207
【点睛】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.
三、解答题
17. 已知：21a
=+，21b =-，求2222a b ab a b
+++-的值．
【答案】3 【解析】 【分析】
直接将,a b 代入求值比较麻烦，因此，可将原式化为含有,a b ab -的式子，再计算出 ,a b ab -的值代入即可.
【详解】解：∵21a =
+，21b =-，∴2a b -=，1ab =．
∴原式22()32()231223a b ab a b =-++-=+⨯-⨯=．
【点睛】本题考查了乘法公式，灵活应用乘法公式将整式变形是解题的关键. 18.
我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部
85
100
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部
85
80
100
（2）初中部成绩好些（3）初中代表队选手成绩较为稳定 【解析】
解：（1）填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部
85
80
100
（2）初中部成绩好些．
∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高， ∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些． （3）∵
，
222222
S 7085100851008575858085160=-+-+-+-+-=高中队（）（）（）（）（），
∴2S 初中队＜2
S 高中队，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答． （2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可． （3）分别求出初中、高中部的方差比较即可．
19. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到0.12 1.414≈3 1.732≈）
【答案】船向岸边移动了大约3.3m ． 【解析】 【分析】
由题意可求出CD 长，在,Rt ACD Rt ABC ∆∆中分别用勾股定理求出AD,AB 长，作差即可. 【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，90CAB ︒∠=，13BC m =，5AC m =， ∴22AB 13512(m)=-=．
∵此人以0.5m /s 的速度收绳，6s 后船移动到点D 的位置， ∴130.5610(m)CD =-⨯=．
∴222210553()AD CD AC m =-=-=． ∴1253 3.3()BD AB AD m =-=-≈． 答：船向岸边移动了大约3.3m ．
【点睛】本题是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理求线段长是解题的关键, 20. 已知一次函数1y kx b =+的图象如图所示，
（1）求k b ，的值；
（2）在同一坐标系内画出函数2y bx k =+的图象；
（3）利用（2）中你所面的图象，写出12y y >时，x 的取值范围. 【答案】（1）2
2
b k =⎧⎨
=-⎩；（2）详见解析；（3）1x <
【解析】 【分析】
（1）由图像可知A,B 点的坐标，将点坐标代入一次函数表达式即可确定k b ，的值；（2）取直线2y bx k
=+与x 轴，y 轴的交点坐标，描点，连线即可；（3）
12y y >时，x 的取值范围即直线1y kx b =+在直线2y bx k =+上方图像所对应的x 的取值，由图像即可知. 【详解】解：（1）由图像可知，(0,2)A ，(1,0)B ． 将(0,2)A ，(1,0)B 两点代入1y kx b =+中，
得20b k b =⎧⎨+=⎩，解得22b k =⎧⎨=-⎩
．
（2）对于函数222y x =-， 列表： x 0 1 y ﹣2
图象如图：
（3）由图象可得：当12y y >时，x 的取值范围为：1x <．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，确定函数k,b 值，画函数图像，根据图像写不等式解集，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键.
21. 如图，在四边形ABCD 中，90BAC ︒∠=，E 是BC 的中点，//AD BC ，//AE DC ，EF CD ⊥于点F ．
（1）求证：四边形AECD 是菱形； （2）若6AB =，10BC =，求EF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）24
5
EF AH == 【解析】 【分析】
（1）由//AD BC ，//AE DC 可知四边形AECD 是平行四边形，由直角三角形中斜边的中线等于底边的一半可知1
2
AE CE BC ==
，依据菱形的判定即可求证.（2）过A 作AH BC ⊥于点H ，AH 为菱形的高，菱形的面积可用两种方式表示出来,CE AH CD EF ⋅⋅，而CD=CE ，所以EF=AH,因而只要求出三角形ABC 面积的两种求法确定AH 即可.
【详解】证明：（1）∵//AD BC ，//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形． ∵90BAC ︒∠=，E 是BC 的中点，∴1
2
AE CE BC ===AD ． ∴四边形AECD 是菱形． （2）过A 作AH BC ⊥于点H ，
∵90BAC ︒∠=，6AB =，10BC =，∴221068AC =-=． ∵1122ABC S BC AH AB AC ∆=
⋅=⋅，∴6824105
AH ⨯==． ∵点E 是BC 的中点，10BC =，四边形AECD 是菱形，∴5CD CE ==． ∵••AECD S CE AH CD EF ==菱形，∴24
5
EF AH ==
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及菱形中的面积问题，能够熟练掌握菱形的判定定理、灵活的表示菱形、三角形的面积是解题的关键.
22. 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
23. 某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
(2)若该节能产品的日销售利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？
(3)若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）
20320(110)
1420(1030)
x x
y
x x
-+≤≤
⎧
=⎨
-<≤
⎩
；（2）日销售利润不超过1040元的天数共有18天；（3）第
5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元.
【解析】
【分析】
（1）这是一个分段函数，利用待定系数法求y与x之间的函数表达式，并确定x的取值范围；
（2）根据利润=（售价-成本）×日销售量可得w与x之间的函数表达式，并分别根据分段函数计算日销售利润不超过1040元对应的x的值；
（3）分别根据5≤x≤10和10<x≤17两个范围的最大日销售利润，对比可得结论．
【详解】（1）设线段AB段所表示函数关系式为y=ax+b（1≤x≤10）；
BC段表示的函数关系式为y=mx+n（10＜x≤30），
把（1,300）、（10,120）带入y=ax+b中得，解得，
∴线段AB表示的函数关系式为y=-20x+320（1≤x≤10）；
把（10,120），（30,400）代入y=mx+n 中得
，解得，
∴线段BC 表示的函数关系式为y=14x-20（10＜x≤30）， 综上所述
.
（2）由题意可知单件商品的
利润为10-6=4(元/件)， ∴当1≤x≤10时，w=4×
（-20x+320）=-80x+1280； 当10＜x≤30时，w=4×（14x-20）=56x-80， ∴
,日销售利润不超过1040元，即w≤1040，
∴当1≤x≤10时，w=-80x+1280≤1040，解得x≥3； 当10＜x≤30时，w=56x-80≤1040，解得x≤20，
∴3≤x≤20，∴日销售利润不超过1040元的天数共有18天.
（3）当5≤x≤17，第5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元. 【点睛】本题考查应用题解方程，解题的关键是读懂题意.
24. 在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H （H 不与点D 重合）．通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于E ，连接E ，G 并延长EG 交CD 于F ．
（1）如图1，当点H 与点C 重合时，FG 与FD 的大小关系是_________；CFE ∆是____________三角形. （2）如图2，当点H 为边CD 上任意一点时（点H 与点C 不重合）．连接AF ，猜想FG 与FD 的大小关系，并证明你的结论．
（3）在图2，当5AB =，3BE =时，求ECF ∆的面积．
【答案】（1）FG FD =；等腰直角．（2）详见解析；（3）15
4
【解析】 【分析】
（1）连接AF ，由正方形的性质及折叠的性质已知,AGF ADF CFG CEG ∆≅∆∆≅∆,由全等可知
FG FD =，CF=CE,结合90DCB ︒∠=可确定CFE ∆是等腰直角三角形；（2）连接AF ，由正方形的性质及
折叠的性质已知AGF ADF ∆≅∆，即证FG FD =；（3）设FG x =，依据题意及（2）的结论用含x 的式子确定出Rt ECF ∆的三边长，根据勾股定理求出x 的值，即可求面积. 【详解】解：（1）连接AF ，
∵四边形ABCD 是正方形，∴B D=90BCD ︒∠=∠∠=,AD AB =． 由翻折可知90AGF B D ︒∠=∠=∠=，AG AB AD ==． ∵AF AF =，∴Rt AGF Rt ADF ∆∆≌．… ∴FG FD =． 又
,AC EF AC ⊥平分ECF ∠
∴AC 垂直平分EF ∴EC FC =
∴CFE ∆是等腰直角三角形. 故答案为FG FD =；等腰直角．
（2）连接AF ，
∵四边形ABCD 是正方形的对角线，∴B D 90︒∠=∠=,AD AB =． 由翻折可知90AGF B D ︒∠=∠=∠=，AG AB AD ==． ∵AF AF =，∴Rt AGF Rt ADF ∆∆≌．… ∴FG FD =．…
（3）设FG x =，则5FC x =-，3FE x =+．
在Rt ECF ∆中，222FE FC EC =+，即()()2
2
2
352x x +=-+．
解得
5
4
x=，即FG的长为
5
4
．
∴
515
5
44
CF CD FD
=-=-=；…
∴
11515
2
244
ECF
S
∆
=⨯⨯=．…
【点睛】本题考查了正方形的综合问题，涉及的知识点有正方形的性质、全等三角形的证明、勾股定理，灵活将正方形的性质与三角形的知识相结合是解题的关键.
25. 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，连接BM.
（1）菱形ABCO的边长
（2）求直线AC的解析式；
（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，
①当0＜t＜5
2
时，求S与t之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．
【答案】（1）5；（2）直线AC的解析式y=﹣1
2
x+
5
2
；（3）见解析．
【解析】【分析】
（1）Rt △AOH 中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
（2）根据（1）即可求的OC 的长，则C 的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式； （3）根据S △ABC =S △AMB +S △BMC 求得M 到直线BC 的距离为h ，然后分成P 在AM 上和在MC 上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．
【详解】（1）Rt △AOH 中，
AO 5==，
所以菱形边长为5；
故答案为5；
（2）∵四边形ABCO 是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C （5，0）．
设直线AC 的解析式y=kx+b ，函数图象过点A 、C ，得
5k b 03k b 4+=⎧⎨-+=⎩，解得1
2
52
k b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
直线AC 的解析式1
5
22y x =-+；
（3）设M 到直线BC 的距离为h ，
当x=0时，y=5
2，即M （0，52），53
HM HO OM 422=-=-=，
由S △ABC =S △AMB +S BMC =12AB•OH=12AB•HM+12BC•h ，
12×5×4=1
2×5×3
2+12×5h ，解得h=5
2，
①当0＜t ＜5
2时，BP=BA ﹣AP=5﹣2t ，HM=OH ﹣OM=3
2， S=12BP•HM=1
2×3
2（5﹣2t ）=﹣3
2t+15
4；
②当2.5＜t≤5时，BP=2t ﹣5，h=5
2， S=12BP•h=1
2×5
2（2t ﹣5）=52t ﹣25
4，
把S=3代入①中的函数解析式得，3=﹣32t+15
4，
解得：t=1
2，
把S=3代入②的解析式得，3=5
2t ﹣25
4，
解得：t=37 10
．
∴t=1
2
或
37
10
．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线BC的距离h是关键．
新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。