数学高考一轮复习同步训练(文科) 第61讲《数系的扩充与复数的引入》北师大版选修1-2

课时作业(六十一) [第61讲 数系的扩充与复数的引入]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．[2011·福建卷] i 是虚数单位，1＋i 3等于( )
A ．i
B ．－i
C ．1＋i
D ．1－i
2．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．3
C ．1或3
D ．－1
3．[2011·天津卷] i 是虚数单位，复数1－3i 1－i
＝( ) A ．2－i B ．2＋i
C ．－1－2i
D ．－1＋2i
4．若复数z ＝2i 1－i
，则|z |＝( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2
能力提升 5．[2011·辽宁卷] i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i
7＝( ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i
6．[2011·江西卷] 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( )
A ．－2＋i
B ．2＋i
C ．1－2i
D ．1＋2i
7．[2012·昆明模拟] 已知a －b i 1－i
＝i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( ) A ．1 B ．2
C ．－2
D ．0
8．已知复数z ＝1－2i ，那么1z
＝( ) A.55＋255i B.55－255i
C.15＋25i
D.15－25i
9．若i 为虚数单位，图K61－1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数
z 1＋i
的点是( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H 10．[2012·温州十校联考] 复数z 的共轭复数是(i －1)i ，则1z 2＝________.
11．[2011·江苏卷] 设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．
12．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－i 1＋i 2＝________. 13．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z 的模为________．
14．(10分)若复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，求z 1.
15．(13分)已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)m －1
＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 对应的点位于复平面第二象限；
(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．
难点突破 16．(12分)若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．
课时作业(六十一)
【基础热身】
1．D [解析] 由1＋i 3＝1＋i 2·i ＝1－i ，故选D.
2．B [解析] 由条件知⎩⎨⎧
a 2－4a ＋3＝0，a －1≠0，
∴a ＝3.故选B. 3．A [解析] 1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝4－2i 2＝2－i. 4．D [解析] 方法一：|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i 1－i ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝|－1＋i|＝2，故选D. 方法二：|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i 1－i ＝|2i||1－i|＝22
＝2，故选D. 【能力提升】
5．A [解析] 1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝－i ＋i －i ＋i ＝0，故选A.
6．B [解析] 由题设得x i ＋1＝y ＋2i ，∴x ＝2，y ＝1，即x ＋y i ＝2＋i.故选B.
7．B [解析] 由a －b i 1－i
＝i 得a －b i ＝1＋i ，所以a ＝1，b ＝－1，所以a －b ＝2.故选B. 8．D [解析] 1z ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝1－2i 1＋22＝15－25i. 9．D [解析] 由图中复平面内的点Z ，可知复数z ＝3＋i ，则复数z 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝2－i ，即对应的点应为H ，故选D.
10.i 2 [解析] 因为(i －1)i ＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ，z 2＝－2i ，所以1z 2＝1－2i
＝i 2. 11．1 [解析] 因为z ＋1＝－3＋2i i ＝－3i ＋2i 2i 2
＝2＋3i ，所以z ＝1＋3i ，故实部为1. 12．－3－4i [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣
⎢⎡⎦⎥⎤(3－i )(1－i )22＝(1－2i)2＝－3－4i. 13.10 [解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由(z －2)i ＝1＋i 得a i －b －2i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧ －b ＝1，a －2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝－1，
所以复数z 的模为|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝9＋1＝10. 14．[解答] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝－a ＋b i ，
∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，
∴⎩⎨⎧
(a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1，
则z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.
15．[解答] (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，解得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .
(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧
m (m －2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，
解得m ＝0或m ＝2.
∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．
(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1<0，m 2＋2m －3>0，
解得m <－3或1<m <2，
故当m <－3或1<m <2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．
(4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，
则有m (m －2)m －1
＋(m 2＋2m －3)＋3＝0， 即m (m 2＋2m －4)m －1
＝0，解得m ＝0或m ＝－1±5， ∴当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．
【难点突破】
16．[解答] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R 且b ≠0)，
则z ＋5z ＝(a ＋b i)＋5a ＋b i
＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－5a 2＋b 2i ∈R . 又z ＋3＝a ＋3＋b i ，
依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b .
又由于b ≠0，因此⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝5，b ＝－a －3.
解之得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝－1.
∴z ＝－1－2i 或－2－i.。