数学-江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期学业质量阳光指标调研数学试卷(含答案)

苏州市2021－2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高三数学 2022.01
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．设i 为虚数单位，若复数(1－i)(1＋a i)是纯虚数，则实数a 的值为
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2．设集合A ＝{x ∈N *|1＜log 2x ＜3}，B ＝{1，2，3，4}，则集合A ∪B 的元素个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．已知圆锥的高为6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
A ．2 2
B ．2 3
C ．2 6
D ．4 2 4．在△ABC 中，∠BAC ＝π2，点P 在边BC 上，则“AP ＝1
2
BC ”是“P 为BC 中点”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 3＋S 6＝1
5，则a 3a 3＋a 6
＝
A ．215
B ．14
C ．516
D ．1
3
6．北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A ，B 两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是
A ．59
B ．89
C ．1718
D ．3536
7．已知a ＞b ＋1＞1，则下列不等式一定成立的是
A ．|b －a |＞b
B ．a ＋1a ＞b ＋1
b C ．b ＋1a －1＜e b
ln a D ．a ＋ln b ＜b ＋ln a
8．若斜率为k (k ＞0)的直线l 与抛物线y 2
＝4x 和圆M ：(x －5)2
＋y 2＝9分别交于A ，B 和C ，D 两点，且AC ＝BD ，则当△MCD 面积最大时k 的值为
A ．1
B ． 2
C ．2
D ．2 2
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则
(图1) (图2)
A ．→EH ∥→FC
B ．→AH ·→BE ＝0
C ．→EG ＝→EH ＋→EF
D ．→EC ·→EH ＝→EC ·→
ED 10．下列命题正确的是
A ．若z 1，z 2为复数，则|z 1z 2|＝|z 1|⋅|z 2|
B ．若→
a ，→
b 为向量，则|→
a ·→
b |＝|→a |·|→
b |
C ．若z 1，z 2为复数，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0
D ．若→
a ，→
b 为向量，且|→
a ＋→
b |＝|→
a －→
b |，则→
a ·→
b ＝0 11．已知函数f (x )＝14x 3＋1
2
ax 2＋1，则
A ．∀a ∈R ，函数f (x )在R 上均有极值
B ．∃a ∈R ，使得函数f (x )在R 上无极值
C ．∀a ∈R ，函数f (x )在(－∞，0)上有且仅有一个零点
D ．∃a ∈R ，使得函数f (x )在(－∞，0)上有两个零点
12．甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间[1.2，2.4]内，则这五个点数
A ．众数可能为1
B ．中位数可能为3
C ．一定不会出现6
D ．出现2的次数不超过两次 三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．记数列{a n }的前n 项积为T n ，写出一个同时满足①②的数列{a n }的通项公式：a n ＝ ． ①{a n }是递增的等比数列；②T 3＝T 6．
14．设点P 是曲线y ＝x －3
2ln x 上的任意一点，则P 到直线y ＝－x 的最小距离是 ．
15．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若点F 2关于双曲
线C 的渐近线的对称点E 在C 上，则双曲线C 的离心率为 ．
16．已知直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝BB 1＝2，D ，E 分别为棱A 1C 1，AB 的中点过点B 1，D ，E 作平面α将此三棱柱分为两部分，其体积分别记为V 1，V 2(V 1＜V 2)，则V 2＝ ；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 在①MC ＝2MB ；②sin C ＝
21
14
；③S △ABM ＝3这三个条件中任选一个，补充在下面问题(2)的横线上，并解答下列题目．
在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝27，b sin B ＋C
2＝a sin B ．
(1)求A ；
(2)若M 为边AC 上一点，且∠ABM ＝∠BAC ， ，求△ABC 的面积． (注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)
18．(本小题满分12分)
若数列{a n }满足a n ＋m ＝a n ＋d (m ∈N *，d 是不等于0的常数)对任意n ∈N *恒成立，则称{a n }是周期为m ，周期公差为d 的“类周期等差数列”．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．
(1)求证：{a n }是周期为2的“类周期等差数列”，并求a 2，a 2022的值； (2)若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n ．
19．(本小题满分12分)
2021年8月国务院印发《全民健身计划2021－2025》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等．在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动．某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查．
(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关?
附：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中n＝a＋b＋c＋d．
(1)根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关?
(2)为了推广全面健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加．市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元．求补贴金额的分布列及数学期望(四舍五入精确到元)．
20．(本小题镇分12分)
如图，在四面体ABCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．
(1)若AG//平面CEF，求线段CF的长；
(2)若二面角A－BD－C的大小为30°，求CE与平面ABD所成角的大小．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线P A与直线PB的斜率之积为－1
4．记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若点M为曲线C上的任意一点(不含短轴端点)，点D(0，1)，直线AM与直线BD交于点Q，直线DM与x轴交于点G，记直线AQ的斜率为k1，直线GQ的斜率为k2，求证：k1－2k2为定值．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ln(e x－1)－ln x．(1)判断f(x)的单调性，并说明理由；
(2)若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)，求证：对任意n∈N*，a n＞a n＋1＞1
2n ．
苏州市2021—2022学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高三数学参考答案
一、选择题： 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共计 40 分． 每小题给出的四个选项中， 只
多项符合 题目要求， 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得
0 分．
13． 5) (1>n a a - 14．
15． 16． 726;69
π
四、解答题：本题共 6 小题， 共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解： (1)由条件 sin
sin 2B C b a B += 得 sin 90sin 2A b a B ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以 cos sin 2A b a B =， 由正弦定理得 sin cos sin sin 2A B A B =， 又 ABC 中， sin 0B ≠， 所以 cos sin 2
A
A =， 即
2sin cos cos 222A A A =，
又 0180A <<， 所以 cos 02A ≠， 则 1
sin 22
A =， 所以 60A =．
(2)由(1)得 60A =， 由条件 ABM BAC ∠∠= 可知 ABM 为等边 三角形， 若选①： 2
MC MB =， 不妨设 ,2MB x MC x ==，
在 BCM 中申余弦定理得 222244cos120x x x a +-=， 解得 2x =， 所以 2,4MA MB MC ===，
ABC 的面积为
11
sin sin 22
AB AM A MB
MC BMC ∠⋅⋅+⋅⋅=；
若选②
sin C = 由止弦定理得 sin sin a
c A C =， 解得 2c =， 由余弦远理 2222cos a b c bc A =+-， 解得 6b = (负值舍去)，
所以
ABC 的而积为 1
sin 2
bc A =
若选③， ABM S =， 由等边二角形 ABM 的面积为 ， 可得其边长为 2 ， 即 2c AB ==， 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-， 解得 6b = (负值舍去)，
所以 ABC 的面积为 1
sin 2
bc A =
18．(1)证明： 由 141,1n n a a n n ++=+= 时， 125a a +=， 所以 24a =，
且 1245n n a a n +⋅+=+，
两式相减得 24n n a a +-=， 所以 {}n a 是周期为 2 的 “类周期等差数列”，且周期公差为 4 ， 所以 ()2022220222244044a a =+-÷⨯=． (2) 因为 +1n n n b a a =-，
所以 {}n b 的前 n 项和 11n n T a a +=-，
由(1)得 {}n a 是周期为 2 ， 周期公差为 4 的 “类周期等差数列”，
所以当 n 为奇数时， 1n + 为偶数， ()12122422n a a n n +=++-÷⨯=+， 所以 21n T n =+；
当n 为偶数时， 1n + 为奇数， ()11112421n a a n n +=++-÷⨯=+， 所以 2n T n = ；
综上，*21,21,
.2,2,
n n n k T k n n k +=-⎧=∈⎨
=⎩N
19．解：(1)设 0H ：“愿意把瑜伽作为健身方式” 与性别无关．
()()()()22
2
()100(2501000)9.8907.879,50506535
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯ 则能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作：为主要健身方式” 与性别有
关． 答： 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 “愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别 标关．
(2)从上述参与调查的 100 人中选择 “愿意” 的人按分层抽样抽出 13 人，
则有男性： 2513565⨯= 人， 女性： 4013865
⨯= 人， 设补贴金额为变量 X ， 则 X 的可能值为 1000,1500,2000．
()()()211
2858522213
1314205
1000,1500,2000393939
C C C C P X P X P X C C C =========
()14205
1000150020001385393939
E X =⨯
+⨯+⨯≈元 答： 补贴金额的数学期望是 1385 元．
20．解： (1) 由 //AG 平面 ,CEF AG ⊂ 平面 ABD ， 平面 CEF ⋂ 平面 ABD EF =， 得 //AG EF ， 又 E 为线段 AB 的中点， 所以 F 是 BG 中点．
因为 ABD 是边长为 2 的等边 三角形， G 为线段 BD 的中点， AG BD ⊥，
BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角 三角形， 得 12
FG =
．
连结 CG ， 得 CG BD ⊥ 且1CG =．
Rt CFG 中，
CF == (2)CG ⊥ ,BD AG BD ⊥， 作 AH ⊥ 而 AGC ， 垂足为 H ，
由二面角 A BD C -- 的大小为 30 ， 得 AGH ∠ 为二面角 A BD C -- 的平面角， 30AGH ∠=，
易求 32HG =， 在 AG 上取 Q 点， 使 1
3
AQ AG =， 连接 CQ ， 以 C 为坐标原点，
分别以 CB ，,CD CQ 为 ,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系．
则 (
)
)(
)
0,0,0,,,C B
D A ⎛ ⎝
⎭，
2,,884442E AD ⎛⎛-=- ⎝⎭⎝⎭．设面 ABD 的法向量为 (),,x y
z =n ， 由0,
0.
BD AD ⎧⋅=⎪
⎨
⎪⋅=⎩n n 令 1x =， 则 1,y z ==
所以一个法向量(
=n ，
38cos ,2CE CE CE ⋅==
=n n n 则 ,,4
CE π
=n
21．（1）解： 设 (),P x y ， 则直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为
1
224
y y x x ⋅=-+-， 且 2x ≠±，
所化简得 2
21,24
x y x +=≠±且，
所以曲线 C 的方程为 2
21,24
x y x +=≠±且．
(2) 设 ()00,M x y ， 则 001:1y DM y x x -=+， 令 0y =， 则 0
01
x x y -=-， 所以 00,01x G y ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
， ()001
:2,:1,22
y AM y x BD y x x =+=-++
所以Q 点坐标满足 ()000
000000244,2,222 41.
1,222x y y x y x x y x y y y x x y ⎧-+⎧==+⎪⎪+++⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪==-+⎪⎪++⎩⎩
解得 所以00000002444 ,,2222x y y Q x y x y ⎛⎫-+ ⎪++++⎝⎭
所以()()()()0
0000200000000000044122
244244122221
y y y x y k x y x x y y x x y x y y -++==-+-+-++++
++-
()
()
00000222
0000000000041411
,448484822
y y y y y x y x y y y x y y y x ---=
=
=
-++--++-++ 所以()()()()()
000000012
000000222211
22222222y y x x y y y k k x y x x y x --++---=+=+--+-- 22
0000000022000000002242241
24442482
y x y x y x y x x x y x y x y x +--+--===-+--+--
所以122k k -为定值1
2
22．解：(1)()f x 的定义域为 ()0,∞+，
()(
)
1
ln 1ln ln ,r r
e f x e x x
-=--=
()()()()()()2
111
,0,,
11,0,0,
x x x x x e e g x x g x x x h x x e x h x xe -+-'=>=='-+>=>令则令则 所以 ()()11x h x x e =-+ 在
()
0,∞+ 上单调递增， 所以 0x > 时，
()()()1100x h x x e h =-+>=，
所以 ()0g x '>， 所以 ()1
r
e g x x
-= 在 ()0,∞+上单调递增，
所以 ()f x 在 ()0,∞+ 上单调递增．
(2) 设 ()1,0x
n x e x x =-->，
则 ()10r
n x e =->'，
所以 ()n x 在 ()0,∞+ 上单调递增， 所以 0x > 时 ()0n x >， 所以 0x > 时， ()()
ln 1ln ln ln 0x
f x e x x x =-->-=，
故 ()10n n a f a +=>，
11a =， 所以 ()()()()211ln 10,1a f a f e ===-∈， 所以 21a a <， 由(1)知 ()f x 在 ()0,∞+ 上单调递增， 所以 ()()21f a f a <， 即 32a a <， 以此类推， 则有 1n n a a +<，
所以 10n n a a +<<，所以
()
112ln 1ln .11,2
n n n a n n n n a a n n n e a a a a a a e e a ++--=>⇔>- 只需证明 01x << 时， 21x x xe e >-， 设 ()()21,0,1x
x k x xe e x =-+∈，
则 ()2
2221022x x x x x x x k x e e e e e '⎛⎫=+-=+-< ⎪⎝⎭， 所以 ()k x 在 ()0,1 上单调递减， 所以 ()()00k x k >=， 故 01x << 时， 21x x xe e >- 成立，
所以 21n n a a n
a e e >-， 所以 1
12n n a a +>． ， 故 112
n n a a +>， 所以 211111222
n n n n a a a +-⎛⎫>>>>
⎪⎝⎭． 综上所述， 对任意 *11,2n n n n a a +∈>>N ．。