宁阳县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

宁阳县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学
一、选择题
1． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ） A ．
y=
B ．y=2
C ．
x=
D ．y=﹣2
2． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）
=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3． 已知
tanx=，则sin 2
（+x ）=（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
4． 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
5． 设F 1，F 2
是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等
于（ ） A
．
B
．
C ．24
D ．48
6． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
7． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则
=（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．13
8． 二项式（x 2
﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ）
A ．20
B ．24
C ．30
D ．36
9． 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
10．函数2
()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 11
．若
，
，且
，则λ与μ的值分别为（ ）
A
．
B ．5，2
C
．
D ．﹣5，﹣2
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
12．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）
A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β
二、填空题
13．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．
14．已知变量x，y，满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为．
15．已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是．
16．满足tan（x+）≥﹣的x的集合是．
17．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是．
18．1785与840的最大约数为．
三、解答题
19．选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．
20．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：
（Ⅰ）集合M，N；
（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．
21．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
22．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
23．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．
24．某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？ （3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率．
25．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC =. （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
26．已知f （x ）=|x ﹣1|+|x+2|． （1）解不等式f （x ）≥5；
（2）若关于x 的不等式f （x ）＞a 2
﹣2a 对于任意的x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
宁阳县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
2．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
3．【答案】D
【解析】解：tanx=，则sin2（+x）===+
=+=+=，
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．
4．【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．
故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
5．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
6．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
7．【答案】D
【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，=4，
∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，
∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4），
解得=13．
故选：D．
【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．
8．【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x3项的系数之和为20，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
9．【答案】B
【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，
∵P（95≤ξ≤105）=0.32，
∴P（ξ≥115）=（1﹣0.64）=0.18，
∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9
故选：B．
【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
10．【答案】B
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质．
11．【答案】A
【解析】解：由，得．
又，，
∴，解得．
故选：A．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．
12．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），
故斜率为=，
∴由斜截式可得直线l的方程为，
故答案为．
【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
14．【答案】
【解析】解：作的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，
验证知在点A（1，2）时，
z1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log4（2x+y+4）最大是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15．【答案】．
【解析】解：∵∠A=120°，•=﹣2，
∴||•||=4，
又∵点G是△ABC的重心，
∴||=|+|==≥=
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是向量的模，三角形的重心，基本不等式，其中利用基本不等式求出|+|的取
值范围是解答本题的关键，另外根据点G是△ABC的重心，得到=（+），也是解答本题的关键．
16．【答案】[kπ，+kπ），k∈Z．
【解析】解：由tan（x+）≥﹣得+kπ≤x+＜+kπ，
解得kπ≤x＜+kπ，
故不等式的解集为[kπ，+kπ），k∈Z，
故答案为：[kπ，+kπ），k∈Z，
【点评】本题主要考查三角不等式的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．
17．【答案】．
【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），
∴a+b﹣1=0，即a+b=1，
∴ab≤=
当且仅当a=b=时取等号，
故ab的最大值是
故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
18．【答案】105．
【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．
∴840与1785的最大公约数是105．
故答案为105
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，，
∴a=2；
（Ⅱ）记，
∴h（x）=
∴|h（x）|≤1
∵恒成立，
∴k≥1．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得x＞，∴M={x|x＞}．
由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．
（2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或x＞3}，
∴C R（M∪N）=．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即⇒b=1，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{a n}的通项式为a n=．
（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2=﹣，
所以数列{}的前n项和为﹣．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
∴当，
∴f （x ）的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f （x ）图象的大致形状及走向，
∴当
的图象有3个不同交点，
即方程f （x ）=α有三解．
24．【答案】
【解析】解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与
相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关
（2）由数据可估计在节能意识强的人中，年龄大于50岁的概率约为
∴年龄大于50岁的约有
（人）
（3）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的
（人），
年龄大于50岁的5﹣1=4人，记这5人分别为a ，B 1，B 2，B 3，B 4．
从这5人中任取2人，共有10种不同取法：（a ，B 1），（a ，B 2），（a ，B 3），（a ，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）， 设A 表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”， 则A 中的基本事件有4种：（a ，B 1），（a ，B 2），（a ，B 3），（a ，B 4）
故所求概率为
25．【答案】（1）2=AD ；（2）3
π
=
B .
【
解
析
】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.
26．【答案】
【解析】解：（1）不等式即|x﹣1|+|x+2|≥5，由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，
而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2﹣2a．
而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，
∴3＞a2﹣2a，解得﹣1＜a＜3，
故所求的a的取值范围为（﹣1，3）．。