交点坐标及两点间距离

交点坐标及两点间距离
知识点一 两直线的交点坐标
已知直线：l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，点A (a ，b )． (1)若点A 在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，则有：Aa ＋Bb ＋C ＝0. (2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有：
⎩
⎪⎨⎪⎧
A 1a ＋
B 1b ＋
C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0. 知识点二 两直线的位置关系
方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2
＝0的解
一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系
相交
重合
平行
知识点三 两点间的距离公式 (1)条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． (2)结论：|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.
(3)特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2.
类型一 直线恒过定点问题
例1 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．
证明 方法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0； 令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y －11＝0，
x ＋4y ＋10＝0，
得两条直线的交点坐标为(2，－3)．
将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．
方法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.
由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －1＝0，
－x ＋3y ＋11＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－3.
所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，
其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示所有直线必过定点(x 0，y 0)．
跟踪训练1 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________________． 答案 (9，－4)
解析 方法一 取m ＝1，得直线y ＝－4.
取m ＝1
2，得直线x ＝9.故两直线的交点为(9，－4)，
下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4)．
将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)·9－4·(2m －1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4)．
方法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0， ∵对任意m 该方程恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝9，y ＝－4，
故直线恒过定点(9，－4)． 类型二 对称问题
命题角度1 关于点对称问题
例2 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． 解 (1)根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点， 设P ′点的坐标为(x ，y )，
则根据中点坐标公式得⎩⎨⎧
a ＝x ＋x 02
，b ＝y ＋y
2，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2a －x 0，
y ＝2b －y 0.
所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)．
(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y )， 则此点关于点(2，－1)的对称点为M 1(4－x ，－2－y )， 且M 1在直线3x －y －4＝0上， 所以3(4－x )－(－2－y )－4＝0， 即3x －y －10＝0.
所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.
方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A (0，－4)，B (1，－1)， 则点A (0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A 1(4,2)， 点B (1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B 1(3，－1)． 可得直线A 1B 1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.
反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎨⎧
x 0
＝x 1
＋x
2
2
，y 0
＝y 1
＋y
2
2
.
(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．
跟踪训练2 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0 答案 D
解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.
在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 命题角度2 关于轴对称问题
例3 点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)
答案 B
解析 设对称点坐标为(a ，b )， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
a －32＋
b ＋42－2＝0，
b －4
a ＋3＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝5，即Q (－2,5)．
反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题
求P (x 0
，y 0
)关于Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(x ，y )时，利用⎩⎪⎨⎪⎧
y －y 0x －x 0
·(－A
B
)＝－1，A ·x 0
＋x 2＋B ·y 0
＋y
2
＋C ＝0可
以求P ′点的坐标．
(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于直线l 对称，①l 1上任意一点关于直线l 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于直线l 的对称点必在l 1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l 1，l 2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点． 跟踪训练3 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程．
解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )， 由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得
⎩⎨⎧
b a ·(－43
)＝－1，8×a 2＋6×b
2＝25，
解是⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝3，
∴点A 的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又∵反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3.
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3，
8x ＋6y ＝25，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝78，
y ＝3，
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)．
类型三 运用坐标法解决平面几何问题
例4 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．
证明 设BC 所在边为x 轴， 以D 为原点，建立坐标系， 如图所示，设A (b ，c )，C (a,0)， 则B (－a,0)． ∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2， |AC |2＝(a －b )2＋c 2， |AD |2＝b 2＋c 2， |DC |2＝a 2，
∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．
反思与感悟 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．
(2)用坐标表示有关的量． (3)将几何关系转化为坐标运算． (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
跟踪训练4 已知：等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线为AC 和BD .求证：|AC |＝|BD |. 证明 如图所示，建立直角坐标系，
设A (0,0)，B (a,0)，C (b ，c )，则点D 的坐标是(a －b ，c )， ∴|AC |＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2， |BD |＝(a －b －a )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2. 故|AC |＝|BD |.
1．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.17
答案 D
解析 由题意知⎩⎨⎧
1＝x －22
，
y ＝5－3
2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝1.
∴P (4,1)，则|OP |＝42＋12＝17.
2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( ) A ．12 B ．10 C ．－8 D ．－6 答案 B
解析 将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10，故选B.
3．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________． 答案 (－1，－2)
解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．
4．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．
答案 x －y ＋1＝0
解析 线段PQ 的垂直平分线就是直线l ， 则k l ·k PQ ＝k l ·4－2
1－3＝－1，
得k l ＝1，PQ 的中点坐标为(2,3)， ∴直线l 的方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0.
5．已知直线λ：5ax －5y －a ＋3＝0.
(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明 直线l 的方程可化为y －35＝a (x －1
5)，
所以不论a 取何值，直线l 恒过定点A (15，3
5)，
又点A 在第一象限，
所以不论a 取何值，直线l 恒过第一象限． (2)解 令x ＝0，y ＝3－a
5，
由题意，3－a
5≤0，解得a ≥3.
所以a 的取值范围为[3，＋∞)．
1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋
λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2
＝0求解定点．
2．有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称：
①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2a －x ，
y ′＝2b －y .
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称：
①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有
⎩⎪⎨⎪
⎧
n －b m －a
×(－A
B )＝－1，
A ·a ＋m 2＋
B ·b ＋n 2＋
C ＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
课时作业
一、选择题
1．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 答案 B
解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝4，y ＝－2，
∴交点坐标为(4，－2)，
代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.
2．直线l 1：x ＋my －6＝0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0只有一个公共点，则( ) A ．m ≠－1且m ≠3 B ．m ≠－1且m ≠－3 C ．m ≠1且m ≠3 D ．m ≠1且m ≠－1 答案 A
解析 两线相交，其系数关系为1×3－m (m －2)≠0， 解得m ≠3且m ≠－1.
3．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( ) A ．5 2 B ．2 5 C ．510 D ．10 5
答案 C
解析 点A (－3,5)关于x 轴的对称点的坐标为A ′(－3，－5)．
光线从A 到B 的距离是|A ′B |＝[2－(－3)]2＋[10－(－5)]2＝510.
4．已知M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，且直线MN 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－3)
B ．(2,1)
C ．(2,3) B ．(－2，－1)
答案 C
解析 设点N 的坐标为(x ，x ＋1)，
∵直线MN 与直线x ＋2y －3＝0垂直， ∴k MN ·(－1
2
)＝－1，
∴k MN ＝2，即(x ＋1)－(－1)
x －0＝2，
解得x ＝2，
故点N 的坐标为(2,3)．
5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.
895
B.175
C.135
D.115
答案 C
解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝
13
5
. 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0
答案 A
解析 由已知得A (－1,0)，P (2,3)， 由|P A |＝|PB |，得B (5,0)，
由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.
7．点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．0 答案 A
解析 ∵点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1. 二、填空题
8．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________． 答案 (－4，－1)
解析 设对称点坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
y 0－5x 0－2×(－1)＝－1，x 0
＋22＋y 0
＋52＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝－4，
y 0＝－1.
9．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________． 答案 (6，－8)
解析 ∵3a －4b ＝1，∴b ＝34a －1
4
，
则直线ax ＋by －2＝0，可化为ax ＋(34a －1
4)y －2＝0，
即为y ＋8＝a (4x ＋3y )，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－8，4x ＋3y ＝0得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝6，y ＝－8.∴直线过定点(6，－8)． 10．设a ＋b ＝k (k ≠0，k 为常数)，则直线ax ＋by ＝1恒过定点________． 答案 (1k ，1k
)
解析 由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a )y ＝1， 即a (x －y )＋ky －1＝0， 若其对于任何a ∈R 都成立，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝1k
，y ＝1k .
11．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________． 答案 (－32，5
2
)
解析 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)， 由题意可知|PM |＝|PN |，
即(a ＋2)2＋(a ＋4＋4)2＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2， 解得a ＝－3
2
，
故P 点的坐标是(－32，5
2)．
三、解答题
12．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：
(1)l 1与l 2相交于一点P (m,1)；
(2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)；
(3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.
解 (1)把P (m,1)的坐标分别代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝13
，n ＝－739
. (2)显然m ≠0.
∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－4，n ＝20. (3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l 1的方程为8y ＋n ＝0，l 2的方程为2x －1＝0，∴－8＋n ＝0，解得n ＝8，∴m ＝0，n ＝8.
而m ≠0时，直线l 1与l 2不垂直．
综上可知，m ＝0，n ＝8.
13．过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．
解 方法一 过点M 与x 轴垂直的直线显然不符合要求，
故设所求直线方程为y ＝kx ＋1，
若与两已知直线分别交于A 、B 两点，
则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0和⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0， 可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2
. 由题意得73k －1＋7k ＋2
＝0，∴k ＝－14， 故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.
方法二 设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，
点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，
由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．
又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，
所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，
得t ＝4，即A (－4,2)，B (4,0)．
由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0.
四、探究与拓展
14．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 D
解析 当直线4x ＋y ＝4与直线mx ＋y ＝0平行时，m ＝4；
当直线4x ＋y ＝4与直线2x －3my ＝4平行时，－4＝23m ，即m ＝－16
；当直线mx ＋y ＝0与直线2x －3my ＝4平行时，－m ＝23m ，无解；当三条直线交于一点时，联立⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝44－m ，y ＝－4m 4－m ，
代入2x －3my ＝4，解得m ＝23
或m ＝－1.综上所述，满足条件的m 值有4个． 15．已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)．
(1)求AB 的中垂线方程；
(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；
(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．
解 (1)因为8＋22＝5，－6＋22
＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)，
因为k AB ＝－6－28－2
＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34
， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34
(x －5) 即3x －4y －23＝0.
(2)由(1)知k AB ＝－43
， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43
(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.
(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，
由⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝34，
4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，
解得⎩⎨⎧ m ＝－145，n ＝－85，
所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145
＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127
(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。